從函數概念出發：銳角三角函數的生長點

☉江蘇省無錫市金星中學 蕭婷 朱宸材

從函數概念出發：銳角三角函數的生長點

☉江蘇省無錫市金星中學 蕭婷 朱宸材

我們注意到，最新的人教版教材九年級下冊“銳角三角函數”從一個“生活問題”引入，這種數學新知識的教學都想方設法從“生活現實”引入的努力雖然反映了數學來源于生活、服務于生活的價值取向，然而這個情境的設置其基本目的只是為了復習“在直角三角形中，30°所對的直角邊長等于斜邊長的一半”這一性質，而直角三角形的這個性質學生在八年級學習等邊三角形時就早已熟知了.筆者最近在觀摩全國著名特級教師李庾南老師“銳角三角函數”起始課教學視頻時發現，李老師放棄了課本提供的情境引入，而是基于學生對直角三角形的已有認知，選擇從函數概念出發定義了銳角三角函數，整節課自然親切，過渡平滑，追求了知識生成中的“邏輯連貫、前后一致”（章建躍語）.本文記錄該課的教學過程，與更多同行分享研習.

一、“銳角三角函數”起始課教學過程

（一）研究直角三角形中邊、角之間的關系，建構銳角三角函數的定義1.回顧直角三角形中邊、角之間的關系

如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c.

圖1

邊：a2＋b2＝c2（勾股定理）.

角：∠A＋∠B＝90°（三角形內角和定理推論——直角三角形中兩銳角互余）.

2.探討直角三角形中邊與角之間的關系

（1）當銳角∠B大小不變時，Rt△ABC的三邊可以變化（如圖2）.探究變中之不變——每兩邊的比值不變.

圖2

（2）當銳角∠B大小改變時，例如由原來的30°變化為45°時，每兩邊的比值也改變了，∠B＝60°時，比值又隨之改變.所以在直角三角形中，當銳角的大小變化時，直角三角形的每兩邊的比值也隨之變化，且當銳角每取一個確定的值時，三邊中的每兩邊的比值都有唯一確定的值與之對應.

（3）在直角三角形中，銳角與三角形的兩邊的比值之間是函數關系.

（4）由函數的定義：在某一變化過程中有兩個變量x、y，當x每取一個確定的值時，y都有唯一確定的值與它對應，y叫做x的函數，x叫做自變量，可以知道是∠B的函數，∠B是自變量，這就是本課研究的課題：銳角三角函數.

（二）創設情境，觀察思考，定義銳角三角函數的概念和互余兩銳角的三角函數關系式

1.把直角三角形中的銳角與每兩邊的比之間的關系給定名稱

圖3

2.符號表示

∠A的正弦記作sin∠A；∠A的余弦記作cos∠A；∠A的正切記作tan∠A.

記號里習慣省去角的符號“∠”，如sinA.如圖3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，三邊分別記作a、b、c.

請思考：

圖4

圖5

（2）∠A和∠B互余，通過思考（1），有什么發現？

任意銳角的正弦值（余弦值）等于它的余角的余弦值（正弦值），這個關系可用下列式子表示（0°＜α＜90°）：sinα=cos（90°-α），cosα=sin（90°-α）.

（三）根據直角三角形的邊和角的性質以及三角函數的定義，引導學生自主探究歸納列出30°、45°、60°的三角函數值表

（1）如圖6，在Rt△ABC中，∠A=30°，研究30°的三角函數值.

圖6

（2）交流研究60°的三角函數值的方法.

方法1：根據定義求得60°的三角函數值分別為：

方法2：根據互余兩角的三角函數的關系，直接求得60°的各三角函數值，并將結果填入上表.

（3）用同樣方法求得45°的三角函數值后填入上表.

（四）引導學生觀察30°、45°、60°的三角函數值表，探究表中數值間的內在關系

1.學生獨立研究，伴以小組議論

2.全班交流

3.在學生交流的基礎上，教師適時點撥歸納

（1）根據互余兩角的三角函數關系式，只需記住30°、45°、60°的正弦、正切值就可知它們的余弦、余切值.

（2）發現：①銳角α的正弦、正切值是隨角α的增大而增大的，而余弦值是隨角α的增大而減小的；②0＜sinα＜ 1，0＜cosα＜1（α為銳角）；③角α的正弦與余弦的比等于角α的正切，

因此也可以根據同一個角的各三角函數的關系來記憶特殊角的三角函數值.

（3）請同學們思考同一個角的正弦和余弦之間有什么關系，能否根據定義證明sin2α+cos2α=1？

（五）師生共同總結

（1）銳角三角函數的實質是所在直角三角形的兩邊的比值，當一個角確定時，每一個比值也就唯一確定了.每一個比值都是這個角的一個函數，這個角是自變量.

（2）掌握了銳角三角函數的定義，特殊角的三角函數值、三角函數的增減性、互余兩角的三角函數的關系式以及同角三角函數的關系式便迎刃而解了，因而掌握定義是關鍵.

二、課例賞析

1.從函數視角構思銳角三角函數的概念，思辨整體與個別的關系

銳角三角函數的實質是直角三角形中的銳角與兩邊之比的變化對應關系，知識的背景是函數的定義和“相似三角形對應邊成比例”的性質.教材把“銳角三角函數”編排在“函數”和“相似三角形”的后面是符合知識的邏輯結構順序的，因此應以函數的觀點來審視本節教材，突出在Rt△ABC中，c為斜邊，a、b為直角邊，當銳角取一個確定的值值唯一確定，所以每一個比便是該銳角的一個函數，該銳角為自變量.根據知識的本質，應將這三個比的名稱——銳角的正弦、余弦、正切同時給出，使學生整體認識且在整體中辨別，易于掌握概念.

2.從直角三角形中不同邊之比出發展現全貌，讓學生“心中有森林”

我們知道教材上是幾個不同的銳角三角函數分開，逐一學習，這是一種“先見樹木，再遇森林”的做法.我們認為可將學生置于“流動”知識鏈，首先讓學生心中有全貌，然后讓知識隨學生思維的推動而延伸，讓學生的思維隨知識的必然發展而不斷深化、活化.李老師的這節課以全屏的視野，為學生創設自主探究的背景，讓學生沿著發展、對應、構建函數研究特性的線索，展開對三角函數最基本內容的全面探究，學生從中獲得的不僅僅是有關三角函數的知識，也不僅僅是基本思維品質的優化，還包括研究問題的思想方法與策略，也包括學生人格、情感等領域的發展.不可否認，這節課學習了比較多的知識，但是由于李老師洞察了知識的背景、本質及其邏輯結構，（學生對含30°、45°、60°角的直角三角形的性質已充分掌握）遵循這一科學規律，引導學生步步深入，不斷建構，形成體系，所以也就順理成章，自然生成.

3.關于課堂自然生長性的一些思考

實踐研究發現，知識的理解必須要有一定的心理基礎.在學生學習新概念之前，頭腦中一定有與之有關的準備知識，并且這些有關的知識結構是能夠被調動起來的，與新概念之間能夠形成聯系.學生對于新知識的理解與吸收是一個信息或要素組織的過程，理解不是直線式的簡單的積累，而是螺旋式發展的.同時，理解還需要認知結構的再重組.就本課而言，對于理解李老師為什么棄用課本導入，而從知識內部的自然生長點切入教學，筆者做出以下大膽揣測：首先學生學習銳角三角函數的概念之前，頭腦中具備了一些與之相關的知識結構，如函數的概念、直角三角形的知識、勾股定理、線段比的意義、三角形的相似等，學生如果不理解函數概念中兩個變量的對應關系，也就不可能解銳角三角函數的角與邊的比的對應關系；其次，學生對以上的這些相關概念知識的認知是否到位，對于學生建構銳角三角函數的概念起著至關重要的作用.基于以上兩點，本課整體建構的基礎可謂萬事俱備，如此引入更是水到渠成了.本課也正是巧妙地抓住了知識生長的自然特點順勢而為，不僅學生不會感到“負擔”，還在知識間的微妙深邃的聯系中享受到了思維創造的樂趣，學生的學力也就在這種日積月累中不斷發展.可見，課堂自然生成需要外部資源的儲備，需要關注知識之間的內部關聯，更是數學學科內在特點決定了的.

1.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）.

3.劉東升.專家教師課堂MPCK的特點——李庾南老師執教“因式分解”課例研究［J］.中學數學月刊，2014（3）.