巧設情境搭平臺適時點撥引生成
——以“三角形內角和定理”的證明為例

☉湖北省宜昌市夷陵區教研中心 高先敏

☉湖北省宜昌市夷陵區三峽初中 王超

巧設情境搭平臺適時點撥引生成
——以“三角形內角和定理”的證明為例

☉湖北省宜昌市夷陵區教研中心 高先敏

☉湖北省宜昌市夷陵區三峽初中 王超

一、案例背景

教材文本中的幾何定理證明，其思想方法帶有典范作用.教師應該足夠重視，引導學生加以推導證明，在推導證明的過程中，使學生真正掌握所蘊含的數學基本思想和方法.事實上，很多定理的運用，解決問題的途徑，都是從定理證明的思想方法中遷移過來，具體解法都滲透了基本思想方法.因此，教師在“定理證明”這一環節中，要重視這方面的挖掘運用與提升，使學生重視定理的證明，防止學生重“結論”輕“過程”的不良學習態度，提高學生的數學素養、思維品質以及學生的學習興趣.

因此，在幾何定理的證明中，教師巧設情境，搭建利于課堂生成的平臺；教師適時點撥，不僅可以內化基本的思想方法，同時也通過點撥引領學生思考，生成新的解題思路與方法，同時為學生質疑引導方向.因此，設計“三角形內角和定理”的證明這一環節是非常有必要的.

課堂教學不再是教師按照預設的教學方案機械地、僵化地傳授知識的線性過程，而是根據學生學習的實際需要，不斷調整、動態生成的過程，教學過程是“精心預設”在課堂中的“動態生成”的過程.

二、案例主題

本案例以幾何定理——“三角形內角和定理”的證明為素材，探討教師如何預設情境，為學生的課堂生成搭建平臺；選擇合適的時機與方式點撥，引導學生質疑的方向，從而生成教學中的“意外”.把教材用活，把學生教活.

三、案例描述與分析

1.內容分析

“三角形內角和定理”這一內容，上承平行線的判定與性質，下啟外角、多邊形的內角和.這一內容是幾何學習的核心知識點、基礎知識點.它的推導，是建立在學生學習了平行線的性質與判定之后，由180°角聯想到同旁內角、平角，利用平行線的性質與判定轉化、構造.對學生的知識遷移能力、轉化思想、數形結合思想的培養起到了很重要的作用.

定理的推導證明方法是重點，教師如何引導學生獲取推導的方法以及感悟其中的重要的數學思想與方法是難點.

2.巧設情境搭平臺

情境：制作一個三角形紙片，請你用剪、拼的方法說明三角形的內角和為180°.

學生小組分工協作，學生競相展示拼接的方法，互相補充質疑：“我還可以這樣拼”“你這樣拼不對”“這樣拼也是對的”，這樣興奮的表達語，不絕于耳.

【分析】通過情境1的設置，教師引導學生制作一個生活中的模型，通過實物去剪、拼，讓抽象的數學思維情境化、具體化.調動了學生的學習興趣，打開了思維的空間.

同時，通過這一活動，為下一步進行理論證明，提供了實物模型，指引了思路與方法.

3.適時點撥引生成

如果不用剪、拼的方法，可以用推理論證的方法來說明內角和為180°嗎？帶著這個疑問，進入了理論的證明.教師在理論證明這一環節中，適時點撥，為學生的質疑引導了方向，打開了思路，從而生成了新的思路與方法.同時，又來源于教材，高于教材，把教材用“活”，把學生教“活”.

（1）由180°想到了什么？

師：三角形內角和為180°，何為180°？由180°想到了什么？

生1：平角.

（同學們點頭表示同意.這時，又一個聲音響起）

生2：還有同旁內角.

（同學們恍然，有人低聲回應“對喲！還有同旁內角”.突然，耳畔又有一個聲音）

生3：這個回答不準確，必須是兩平行線所截形成的同旁內角.

（這時，很多學生點頭表示贊同）

【分析】在剪、拼活動之后，設置問題：“由180°想到了什么？”通過學生的質疑補充，學生腦海中呈現出理論證明內角和定理的方法：（1）構造平角；（2）利用平行線構造同旁內角.

（2）有多余的.

學生通過剪、拼模型，迅速得到兩種思路.生1：過頂點A作對邊BC的平行線（如圖1）.生2：延長BC，過頂點C作對邊AB的平行線（如圖2）.

圖1

圖2

（學生規范地完成理論證明之后，一個學生提出了新的看法）

生3：輔助線有多余的.圖2中，只需過C點作AB的平行線.

（學生仔細分析之后，又提出了新的看法）

生4：圖1也可以簡化，只需過A點作BC的平行射線.

【分析】學生在充分自主完成理論推導的基礎上，高度自主、自覺參與活動之中，有了新的認知，故而提出了質疑.因此，在授課中，一定要給學生更多的時間去支配.一是更進一步落實；二是讓學生在充分自主的基礎上，打開思路，勤于思考，敢于質疑，才能生成更好的資源.

（3）如何轉化.

師：上述四位同學是如何將內角和轉化的？

圖3

生5：第一位同學，是過頂點A作平行線，將內角和轉化為平角.

生6：第二位同學，是延長BC，過頂點C作平行線，將內角轉化成一個平角.

生7：第三、四位同學的方法，均是過頂點作平行射線，利用平行線的性質，將內角轉化為兩平行線所截形成的同旁內角.

師（點撥）：這四位同學，都是通過過頂點作平行線的方法，將內角和轉化為平角或同旁內角.

【分析】教師通過引導學生及時歸納梳理，適時點撥，提煉出基本的數學思想與方法，過某一點作平行線，構造平角或同旁內角.為生成其他方法作鋪墊

（4）其他點可以嗎？

師：前四位同學都是過頂點作平行線，那么其他點可以嗎？

學生擺弄模型，得到方法3.

生1：在BC邊上取一點D，過D點分別作AB、AC的平行線（如圖4）.

圖4

師：還有嗎？

生2：在三角形內部取一點，分別作兩邊的平行線（如圖5）.

圖5

（由于圖形復雜，學生陷入了思維障礙）

師（點撥）：作平行線的目的是將三內角轉化為一個平角.因此，構造一條或多條直線.（在充分完成理論證明之后）師：還有嗎？

生3：在三角形外部取一點，采用類似的方法（如圖6）.

圖6

【分析】教師在學生擺弄模型、充分證明的基礎上，提出“其他點可以嗎？”“還有嗎”等引導性過渡語，加大師生間的互動，為生成新的資源指引方向.同時，在學生證明過程中發生思維障礙時，適時、及時點撥，為生成新的資源提供可復制的方法與策略.

四、案例反思

（1）“由180°想到了什么？”問題具體而適中，為學生指引了方向，從180°入手，構造平角或同旁內角.同時，這一點撥放在剪、拼活動之后，在學生有實物感知與具體表象相結合的基礎上，在直觀的感知下，生成新的數學模型.

（2）“如何轉化？”針對具體方法，及時歸納提煉，滲透所蘊含的數形結合思想、轉化思想，提煉出構造法等基本數學思想與方法.為其他點的證明提供理論依據以及導引作用.

（3）“其他點可以嗎？”問題具體而又帶有發散性.在方法的歸納提煉之后，學生的思路完全被打開.同時，加上有實物模型，學生動手動腦，不是純粹的聽、寫、記，學習興趣在授課中得到保持并敢勇于質疑、探究.同時，也為方法的生成、同學間的質疑指引了方向與思路.

巧設合適的情境，激發學生的求知欲，同時，為學生的質疑提供良好的學習氛圍，為新知識或方法提供具體的表象，便于理解抽象的素材.本節課，通過剪、拼的方法，學生認識到可以拼在邊上、頂點處，便于學生生成.

適時點撥.選擇合適的時機、合適的方式，提出具體而不空洞的問題（串），問題富有開放性、包容性和針對性，作為導引，能有效地激發和導引學生進行思維活動，為生成新的資源引路構思.

在以后的課堂中，盡量做到：（1）創設合適情境，讓實物模型與數學模型有機結合，使得學生從具體表象中感知數學模型的魅力，體驗數學中的美，為新的資源生成搭建平臺；（2）多提出一些具有開放性、包容性和針對性的“彈性問題”，啟發引導學生進行思維活動，把學生“教活”；（3）多留下一些彈性時空，讓學生在高度自覺、充分自主的基礎上，主動學習，從而激活學生的發散性思維；（4）適時點撥，點撥所滲透的思想方法，點撥思路受阻的易混點，從而去啟發學生尋找新知識的生長點，生成新的教學資源.Z