重視教材“活動”材料，追求變式教學效率
——以一道中考模擬卷壓軸題為例

☉江蘇省高郵市城北初級中學 周禮芳

重視教材“活動”材料，追求變式教學效率
——以一道中考模擬卷壓軸題為例

☉江蘇省高郵市城北初級中學 周禮芳

最近讀刊，發現《中學數學》有不少文章關注地區模擬考題，闡釋了不少精彩的觀點.受到啟發，本文選取新近關注到的江蘇省海安縣中考調研考卷最后一題，給出該題的思路突破，并反思命題立意和教學導向，與同行研討.

一、試題及思路突破

題目如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標是（0，2），取一點M（m，0），連接AM，作線段AM的垂直平分線l1，過點M作x軸的垂線l2，記l1，l2的交點為P.

（1）當m＝3時，在圖1中補全圖形（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

圖1

（2）小敏多次取不同數值m，得出相應的點P，并把這些點用平滑的曲線連接起來，發現：這些點P竟然在一條曲線L上.

①設點P的坐標為（x，y），試猜想并說明曲線L是哪種曲線；

②設曲線L的最低點為Q，直線l1上有一動點N，連接QN.當△APM為等邊三角形，且QN取得最小值時，求線段QN所對應的函數關系式.

思路突破：

（1）考查尺規基本作圖，屬于送分題.

（2）①猜想：曲線L是拋物線.

理由如下：

如圖2，連接AP，作PB⊥y軸于B，由l1垂直平分AM，得PA＝PM＝y.

在Rt△ABP中，BP＝OM＝x，BA＝PM-OA＝y-2，根據勾股定理得

圖2

②如圖3，當△APM為等邊三角形時，∠AMP＝60°，

設直線l1交y軸于C點，可得點C坐標為（0，-2），由點C、P可確定直線l1的解析式

易得曲線L的最低點Q的坐標為（0，1）.

如圖3，當QN取得最小值時，作QN⊥l1于N點，此時求出N點的QN的解析式為y＝kx+b，把Q（0，1），段QN的解析

圖3

二、解后反思

從上面的求解來看，這道考題的前兩問并不復雜，主要難點在最后一問.概括來說，需要突破以下兩個關鍵點：

第一，△APM為等邊三角形能帶來哪些特殊信息？

經過深入思考，等邊三角形這個強化條件能帶來點P位于拋物線上兩處特定位置，這兩個位置恰好關于y軸對稱，即P點坐標為（2，4）或（-2，4）.此外，還能發現此時Rt△AOM也是特殊的三角形（含30°的直角三角形），明確其特殊性是后續解題的關鍵.

第二，當QN取得最小值時，點Q、N位置如何？

明確函數圖像為拋物線之后，其最低點Q就是拋物線的頂點；而點N的位置如何呢？根據點到直線的最小值是“垂線段”，所以作QN⊥l1于N點，得到垂線段QN.接著要思考的就是點N的坐標，從而明確線段QN所對應的函數解析式.這里要注意的還要考慮該函數解析式中自變量的取值范圍.

三、命題立意與教學導向

上面主要就考題解法及解題主要難點給出一些思考，以下再就這道關鍵位置上的考題有怎樣的命題立意和教學導向，給出進一步的思考.

1.問題設計漸次生長，追求“易進難出”的難度控制

從上面這道考題來看，雖然選自教材，教材上該活動敘述的文字相對較多，而命題者改編成試題后呈現簡潔，各個小問漸次生長，有效追求了“易進難出”的難度控制.讓更多的學生都有機會得到基本分，而且抬級而上，要想突破并完整地解決最后一問，又不是很容易的.這提示我們，在平時的命題研究或者例題變式時，都是值得學習的.還值得指出的是，有些綜合題在一個題干之下設計系列問題時，卻過早地讓題干信息“死去”，離開題干而旁枝到其他，這種命題取向在近期《中學數學教學參考》有一篇文章《讓題干條件充滿活力》（詳見1）值得關注，可以發現，本題的題干信息在后續幾個問題的設計中得到關聯和互動，這種命題技術和細節也是值得關注和學習的.

2.認真研讀教材，重視“活動”或探究類教學

我們注意，作為該命題地區數學教研員的夏盛亮老師曾在文2中提出，要重視教材研究，倡導命題的開放取向，并在地區命題中進行“現實引領”.從上面這道考題來看，正體現了引導廣大師生重視教材的努力.熟悉人教課標最新教材的人應該知道，九年級上冊二次函數部分就有這樣的“活動”材料，讓學生在作圖中發現拋物線，并利用平面幾何（直角三角形、勾股定理等知識）驗證作圖發現，是一次很有意義的實驗教學.這道考題正是在此實驗活動的基礎上，考查學生的尺規作圖、發現猜想并驗證函數圖像，作為最后一問，融入了等邊三角形、特殊直三角形、一次函數解析式、軸對稱等知識，體現了較好的知識覆蓋和區分功能.

3.從題海戰術走出來，重視“做一題，會一類，通一片”的解題教學追求

在如今的網絡信息時代，人們已很方便地（百度搜索、拍題軟件等）獲得一些陳題、經典題，然而這道考題并不來源于網絡上的一些所謂陳題的簡單改編、包裝后的再現，而是由教材“活動材料”改編生長，通過增加解題層次實現考查功能.這本身就有著很多引領意義，第一，引導廣大師生遠離題海戰術，重視教材例習題的教學；第二，引導廣大教師重視變式教學，在變式追問中將問題引向深刻；第三，解題教學中通過恰當的變式使得問題的結構與本質得到揭示，讓學生在有限的解題教學中達成“做一題，會一類，通一片”的教學追求.

1.肖維松.讓題干條件充滿活力［J］.中學數學教學參考（中），2015（3）.

2.夏盛亮.引導回歸教材，倡導開放取向［J］.中學數學（下），2014（1）.