對一道中考題的賞析、探究及反思

☉廣東省廣州市花都區炭步鎮炭步初級中學 湯妙娟

對一道中考題的賞析、探究及反思

☉廣東省廣州市花都區炭步鎮炭步初級中學 湯妙娟

一、題目鑒賞分析

題目（2014年山東淄博·23）如圖1，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點E，點F、M分別是AB、BC的中點，BN平分∠ABE交AM于點N，AB= AC=BD.連接MF，NF.

（1）判斷△BMN的形狀，并證明你的結論；

（2）判斷△MFN與△BDC之間的關系，并說明理由.

圖1

1.題目分析

題目設置本著“面向全體、兼顧選拔、力求創新”的基本原則，遵循“注重基礎，穩中求變”的基本思路，既突出了對數學主干知識的考查，又加強了對雙基知識的考查力度，同時還注重了題目的綜合性.題目設計中考查了中學數學的多個主干知識，包括相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形，三角形中位線定理，等腰三角形三線合一，是一道幾何綜合題，難度不是很大，題目放在試卷中倒數第二題的位置，得分率偏低.學生感覺困惑在哪里？讓我們趕緊走近這一道中考題，來體會題目內在的“魅力”.

2.圖形分解

教材是中考命題的主要素材，縱觀近幾年的中考題，每年都有大量的題目直接出自教材，或在教材的基礎上，改造整編，繁衍生息.本題也不例外，細細分析，可以把這一題目中的圖形分解為三個出自教材的基本圖形，分別是：等腰三角形的“三線合一”；三角形的內角平分線相交于一點；三角形的高相交于一點.三個基本圖形鏈接精巧，環環相扣，渾然一體，盡顯命題者匠心獨運的風格，當然，這一切都源于思考的魅力.

基本圖形1：等腰三角形的“三線合一”（如圖2）.

圖2

人教版義務教育課程標準實驗教科書八年級上冊第13章《軸對稱》第三節主要研究等腰三角形，是初中數學的主干知識，本題將這一基本的圖形橫放，部分考生就不知道AM⊥BC了（如圖2），說明靈活運用所學知識的能力有待加強，也說明命題人善于從學生身邊的題目取材，善于從圖形變換中考查學生的圖形遷移能力.

基本圖形2：三角形的內角平分線相交于一點（如圖3）.

圖3

基本圖形3：三角形的高相交于一點（如圖4）.

圖4

三角形的高相交于一點這一基本圖形也是日常練習題中經常見到的，由圖4我們就可以得到很多相等的角和相似三角形，所以我們很容易得到∠CAM=∠CBE.在圖1中，根據FM∥AC，我們就可以得出∠CAM=∠FMN，進而得到∠FMN=∠CBD，這是確定△MFN與△BDC相似的關鍵.

基于三個基本圖形的構建，就可以輕松地瓦解這一道“難”題了.看來我們可以把“復雜”的中考題分解為熟悉的簡單圖形，而如何深挖教材，提煉我們熟悉的基本圖形，并對圖形進行深入探究是幾何復習的關鍵環節.

二、題目拓展探究

1.提煉基本圖形，感知模型

通過對這一道中考題目圖形的分解探究，結合教材的內容，在復習三角形相似時，除了平時學生們很熟悉的“A型”“X型”“斜截型”“蝴蝶型”“雙高型”“三高型”“反射型”外，筆者還引導、幫助學生提煉了如圖5所示的基本圖形，為學生更好地運用基礎知識，感知基本模型創造了條件.

圖5

通過提煉變式基本圖形，為學生運用基礎知識，感知基本的數學模型，營造了和諧的氛圍.這樣讓學生能夠輕松地接受這一基本圖形，為下面的圖形變式探究，打下了堅實的基礎.

2.探究基本圖形，深化認識

基本圖形給出后，若直接拋出問題，讓學生去探究，學生的思維將在教師的牽引下行進，主動探究的熱情將大打折扣，對于基本圖形的認識也會停留在表面上.基于這樣的思考，筆者試圖讓學生根據基本圖形或變換圖形，自己設計問題，來加深對基本圖形的認識.在展示課上，筆者真正感受到：只要敢于放手，學生就會給課堂帶來活力，就會展示自己的精彩.現把學生提出問題與解決問題的過程整理如下.

問題1：如圖6，圖中相似三角形有幾對？

除個別基礎比較弱的學生找不全外，大部分學生能夠輕松找出6對相似三角形，相似三角形的判定及相似的基本圖形“斜截型”與“蝴蝶型”的知識，得到了鞏固和提升.

圖6

圖7

問題2：連接AC，如圖7，圖中相似三角形又有幾對？

問題給出后，學生們努力尋找新的相似三角形，結果發現并沒有增加新的相似三角形，盡管走了一些“彎路”，但是加深了學生對基本圖形的理解，也為進一步的探究做好了鋪墊.

問題3：若再連接DE（如圖8），△BDE與△BCA相似嗎？為什么？

問題4：如圖8，△DOE與△AOC相似嗎？為什么？

問題5：如圖8，圖中相似三角形有幾對？

圖8

圖9

對于問題3，由△CBD∽△ABE（這是問題1中的一對相似三角形）得到又因為∠B=∠B，所以△BDE∽△BCA.通過兩次相似，最終利用兩邊成比例且夾角相等得出了結論.

對問題4的求解更是精彩.

思路1：在探究問題3的基礎上，學生明白了為了證△DOE∽△AOC，可以先證△AOD∽△COE，得到.又因為∠AOC=∠DOE，所以△AOC∽△DOE.

思路2：由問題3可知△BDE∽△BCA，所以∠BDE=∠ACE，而∠EDO=90°-∠BDE，∠CAO=90°-∠ACE，所以∠EDO=∠CAO.又因為∠DOE=∠AOC，所以△DOE∽△AOC.通過兩角相等證出兩三角形相似，這是對問題4的探究的一個亮點.

問題3與問題4掀起了探究基本圖形的高潮，對于問題3的探究，部分同學自認為DE∥AC，讓問題探究走入了“迷途”，通過小組合作交流才找到問題解決的途徑.在問題3的基礎上探究問題4，學生的思路更加開闊，通過后面的拓展探究，學生還可以根據圓的知識來解決問題4.將圖8旋轉變式得到圖9，通過上面的問題，讓學生再進一步深化認識基本圖形.

筆者讓學生根據圖形來設計問題，對學生來說是一個挑戰，更是一次鍛煉升華的機會，學生一聽說自己來設計題目，興趣大增，個個躍躍欲試，當然，提出問題比解決問題更困難，但是這種角色的轉變，大大提升了學生的參與度和學習熱情，更為關鍵的是結合圖形的變式，讓學生經歷了從問題的提出到問題的解決整個過程，深入思考探究了這個基本圖形的本質，達到了在思考中運用、在運用中提升的目的.較好地實現了數學教學中知識與方法、過程與結果的和諧統一，真正起到了潤物無聲的效果.

3.拓展基本圖形，活學活用

圖10

圖11

圖12

如果將圖9與圓結合，就是一道幾何綜合題了，因此，筆者適時地將圓引入基本圖形中，讓學生在知識的交匯處繼續拓展探究.

問題6：過A、D、C三點作圓，圓心在哪里？點E在這個圓上嗎？（讓學生感知A、D、C、E四點在同一個圓上，因而得到圖10）

問題7：通過問題6的探究，你對問題4還有什么新的辦法？

增加條件“AE平分∠BAC”，學生們還設計了下面的問題.

問題8：如圖10，△ABC是什么三角形？（再次回扣中考題的基本圖形“等腰三角形‘三線合一’”）

問題9：試說明DE=CE.

問題10：證明BD·BA=BE·BC.

問題11：若連接OE（如圖11），試說明OE與AB的關系.

問題12：如圖11，△OEC與△BDE相似嗎？為什么？

由圖11，若只截取A、C、E、D的部分，延長DE與AC相交于一點P，作AB⊥BP，如圖12，這就是2014年瀘州市中考數學第24題的圖形.

在圖12中，若AE平分∠BAC，DE=2，PC=AC，又可以設置很多問題，如下所示.

問題13：證明△PCE∽△PDA.

問題14：證明△ABD∽△ADF.

問題15：求PE的長.

問題16：求⊙O的半徑r.

問題17：求BD的長.

通過拓展探究，再一次提高了學生的模型識別能力與知識的遷移能力，提升了思維的深度.從復雜的圖形中分離出“基本圖形”，在問題解決中綜合運用所學的知識，如相似三角形的判定與性質，勾股定理，圓的基本知識等，使學生在圖形變化過程中感悟“萬變不離其宗”的道理，讓學生在一系列的變化過程中識別基本圖形，從而找到問題的根本解決辦法，達到“解一題、通一類”的教學目的.

三、反思

1.教得活是學得活的前提

在日常的教學中，如果單從一個具體的圖形去分析，就提論題，充其量是解決了一個問題，題目的內在價值將囿于一域，如果立足于題目的基礎之上，提煉出內蘊的基本圖形，再通過變式，加強對基本圖形的靈活運用，切實地讓學生展開探究活動，圖形的內在價值才能夠釋放出來.

教材中的習題都是經過專家精心打磨的精品，在幾何復習中，如何挖掘題目內在的能量，引導學生從題目中提煉“基本圖形”是關鍵.在教學設計時，不能輕易地讓教育資源流失，要善于通過一系列的圖形變式和一系列的問題串，去開啟學生的思維之門.

2.方法為先，思維為本

問題是思維的源泉，美國著名的數學家哈爾莫斯說過，有了問題，思維才有了方向；有了問題，思維才有了動力；有了問題，思維才有了創新.利用基本圖形的變式，讓學生提出問題，是把“以教為本”的教學轉化為“以學為本”的教學的一個有效策略.學生不是一個等待填滿的容器，而是急需點燃的火把.沒有學生的積極參與，再好的教學設計也會黯然失色.因此，通過問題的層層推進，將學生的思維激活，讓數學知識不再枯燥，讓課堂不再沉悶，永遠是一線數學教師追求的目標.筆者認為能否為學生搭建一個探究的平臺，為學生長遠發展提供原動力，是衡量教學成敗的關鍵之一.在幾何教學中，要逐步引導學生從復雜的圖形中分離出基本圖形，進而實現將復雜的圖形簡單化，最終實現把不會的問題轉化為會的問題.當然，僅從復雜的圖形中分離出基本的圖形是不夠的，還要引導學生會在綜合性的問題中，構造熟悉的基本圖形，教會學生方法，讓學生受益終生.

3.培養學生的幾何直觀能力十分重要

《全日制義務教育數學課程標準（2011版）》將幾何直觀列為十大核心概念之一.筆者認為，在日常教學中注重引導學生從具體的圖形中提煉基本圖形是培養學生幾何直觀能力的重要途徑.在具體題目中，應充分利用基本圖形的性質分析、解決問題，借助基本圖形幫助學生直觀地理解數學問題，進而為學生幾何推理論證奠定基礎.如在復習解直角三角形這一章時，若在教學中，一會兒讓學生計算河的寬度，一會兒是旗桿的高度，又是金字塔的高度，課堂上學生明白的問題，但課后練習時若換了題目的“另一張臉”，學生又摸不著頭了，因此及時幫助學生提煉基本圖形十分重要.

圖13

構建了基本圖形后，遇到實際問題時，讓學生自己判斷該用哪個基本圖形，對于每個基本圖形，該怎樣分析，然后通過圖形的變式，將實際生活中的仰角、俯角、方位角融入問題設計中，鍛煉學生從實際問題中識破基本圖形的能力，才能真正達到“做一題、會一類”的目的，才能讓學生脫離題海，最終實現為學生減負.

四、結束語

多年的教學經歷，讓筆者越來越感受到探究數學教學的“奧妙”是一段沒有終點的旅程，是一本只有逗號、沒有句號的“經卷”，不管怎樣，筆者會堅持不懈地走下去，持之以恒地向教育前輩學習、向雜志學習、向身邊的榜樣學習，相信功夫不負有心人.Z