關聯變式打磨新題
——由一道扇形翻滾中考模擬試題談起

☉江蘇省無錫市碩放中學 鄒黎明

☉江蘇省無錫市新城中學 浦敘德

·江蘇省無錫市浦敘德名師工作室·

關聯變式打磨新題
——由一道扇形翻滾中考模擬試題談起

☉江蘇省無錫市碩放中學 鄒黎明

☉江蘇省無錫市新城中學 浦敘德

最近，由于要命制2015年中考數學模擬試題，我們對中考數學中扇形翻滾類試題進行思考，由于圖形的運動既有旋轉又有滾動，因此，對于學生來說，確實有一點困難.我們對于這種試題進行了解析，揭示其本質，并發掘出一些變式，頗有新意，寫成一文供參考.

一、原題

題目（2009年鹽城市二模）如圖1，將半徑為1、圓心角為60°的扇形紙片AOB，在直線l上向右做無滑動的滾動至扇形A′O′B′處，則頂點O經過的路線總長為__________.

圖1

分析：這個題目的關鍵是要把整個扇形翻滾變化描述清楚，還要把變化的臨界情況弄明白.

圖2

如圖2，點O所走路線分三步：第一步，從開始至OB半徑與直線l垂直，OB繞點B旋轉了90°，半徑為1；第二步，從OB與直線l垂直滾動至OA與直線l垂直，O點的路徑是一段線段，長周長；第三步，從半徑OA與直線l垂直到終止，OA繞點A旋轉了90°，半徑為1.故 O點走的路線總

二、變式

變式1：（2015年無錫市新區一模第17題，命題人鄒黎明）如圖3，扇形OMN與正三角形ABC，半徑OM與AB重合，扇形中弧MN的長為AB的長，已知AB=10，扇形沿著正三角形翻滾到首次與起始位置相同，則點O經過的路徑長為__________.

分析：題目中“扇形沿著正三角形翻滾到首次與起始位置相同”，是指O與A、B與M重合，這個題目順向、逆向答案一樣，一周就可以.

如圖4，第一步，扇形繞點B旋轉360°-90°-60°=210°，這個時候OM⊥BC于點B，O的路徑長是半徑為10的一段弧長；第二步，圓弧在BC上滾動，點O經過BC長，即為10，這個時候ON⊥BC于點C；第三步，繞點C旋轉210°，半徑為10的一段弧長，這個時候NO與CA重合；第四步，在點O與點A重合的前提下，繞點O旋轉到OM與AB重合，故點

圖3

圖4

過程追蹤：可以看出對于點O經過的路徑，可以分解為：旋轉有以O為圓心的路徑為0，以M或N為圓心的路徑長相等，為了區別分別記為lM、lN，滾動路徑長為扇形半徑長，記為R.

順向：0、lN、R、lM，這時點B與點M重合，這樣，首次與起始位置相同.逆向：lM、R、lN、0，這時點O與點A重合，這樣，首次與起始位置相同.顯然，總路徑長相等.

變式2：如圖5，扇形OMN與正五邊形ABCDE，半徑ON與AB重合，扇形弧MN的長為AB的長，已知AB=10，扇形沿著正五邊形逆時針翻滾到一條半徑首次與AB重合，點O經過的路徑長為__________.

分析：題目中“扇形沿著正五邊形逆時針翻滾到一條半徑首次與AB重合”，與變式1要求不同，沒有要求點O與點A、點B與點N重合.

圖5

圖6

過程追蹤：如圖6，逆向：lN、R、lM、0、lN、R、lM，這時點M與點A、點B與點O分別重合，沒有回到起始位置.lN、lM相應的旋轉角度都是360°-90°-108°=162°.所以長為4×

思考1：題目中“扇形沿著正五邊形逆時針翻滾到一條半徑首次與AB重合”，改為“扇形沿著正五邊形順時針翻滾到首次與AB重合”，則點O經過的路徑長為_________.

圖7

圖8

分析：順時針翻滾從圖7看出第一周沒有翻滾到一條半徑首次與AB重合，如圖8第二周才是，雖然都是這個位置，但還不是“首次與起始位置相同”.

過程追蹤：順時針翻滾：0、lM、R、lN、0、lM、R、lN、0、lM、R、lN、0，這時點M與點A、點O與點B重合.從圖7看出第一周沒有翻滾到一條半徑首次與AB重合，這時第一周3×如圖8第二周的路徑長為27π+ 10，合起來為54π+30.

思考2：題目中“扇形沿著正五邊形逆時針翻滾到一條半徑首次與AB重合”，改為“扇形沿著正五邊形翻滾到首次起始位置重合”，則點O經過的路徑長為__________.

分析：考慮順時針，我們發現要三周.

過程追蹤：順時針翻滾：0、lM、R、lN、0、lM、R、lN、0、lM、R、lN、0，lM、R、lN、0、lM、R、lN，加上如圖9所示的第三周路徑長，可以看出每次旋轉角度都是90°次滾動都是10.

圖9

我們可以得到逆時針結果一樣.

三、推廣和聯想

一般地，如果題目中改為正n邊形，其他條件如變式1扇形沿著正n邊形翻滾到首次起始位置重合，求點O經過的路徑長.

（2）n是3的倍數，n=3m，只要1圈就可以了，有2m個

問題還可以變成在矩形、菱形、梯形外面翻滾.

變式3：如圖10，在矩形ABCD中，AB=a，AD=2AB，扇形OMN，OM與AB重合，弧MN的長等于AB的長，扇形沿著矩形翻滾到首次與起始位置相同，則點O經過的路徑長為__________..

圖10

圖11

分析：如圖11，這個變式中扇形沿著矩形翻滾一周就可以首次與起始位置相同，而且順向、逆向答案一樣，分別旋轉角度為90°、180°、90°、180°；滾動兩次，點O經過

因此，只要理清這些題目運動節點，畫出相關“軌跡”，尋找路徑長的循環節，就找到了問題的解決方法.變換有關圖形的數據，就可以編擬各種難度的試題.因為這種題目符合初中數學實驗創新的內容，但教師平時教學中很少注意這部分內容，特別是《蘇科版數學實驗手冊》利用率不高，因此，這種題目學生解答的準確率比較低，希望教師在教學這類問題的同時，能夠引起對“數學實驗”教學的重視，在課堂或課外活動中積極實施.H