在反例中求正解
——談初中數學教學中對反例的應用

仲崇猛

（江蘇省連云港市贛榆區教師發展中心，江蘇 連云港222100）

在反例中求正解
——談初中數學教學中對反例的應用

仲崇猛

（江蘇省連云港市贛榆區教師發展中心，江蘇 連云港222100）

初中數學是鍛煉學生的抽象邏輯思維的主要階段，教師應根據學生的年齡特點在這一階段著重培養學生的抽象邏輯思維。課堂教學是初中數學教學的基本途徑，為了有效的進行教學，教師應充分利用課堂盡可能的激發學生對數學學習的興趣，從而提高學生對數學的應用以及對數學的掌握程度。從反例中求解，不僅可以解決學生的疑惑，還能讓學生更好的在數學的長河中盡情的游蕩。

初中數學；反例；應用；抽象邏輯思維

反例教學在初中數學教學中起著很重要的作用，反例可有效的鞏固所學的概念和定理，同時還能增強學生對數學知識的興趣，更能對學生的抽象邏輯思維的訓練得到很大的幫助。對于教學而言，反例能有效的提升教學質量，還能從例子中深刻的理解知識點。對解決數學問題而言，利用反例無疑是掌握數學學習最有效，最能加深學生印象的一種教學方法。

在生活中，我們有時會能遇到一些問題，使我們百思不得其解，這個時候就要發揮人大腦思維的作用了，如果我們從正面想不通，為何不試一試從反面去解決那，也許真的會有意外的收獲。反例能激發的學生思維，使學生愿意去嘗試、去思考。人的思維還具有靈活性，它能判斷或選擇一種最直接最簡捷的方法去解決問題，在初中數學教學中，教師不僅要培養學生這種用反例去解決實際問題的能力，還應鍛煉學生對反例的充分運用。反例還能培養學生的逆向思維。

一、中學數學中反例的作用及應用

在學習中學數學時，我們有時會遇到許許多多的數學問題，有的答案較多，有的給出沒用的條件，還有的需要判斷命題的真假，這些題往往是學生頭疼的問題，那么是否能舉出一個恰當的反例來證明是解決問題的關鍵點。在一些數學考試中，我們能看出現在的題型大多是開放性的，有些題型是需要學生用反例去證明它，或是只有舉出反例才更容易理解，那么當學生再遇到相似的數學問題時，才懂得如何思考，找到解題的入口點。

運用反例能提高課堂效率，正確而充分的反例可以對解決問題起到事半功倍的效果，教師在數學教學過程中，運用反例增強課堂的互動性，讓學生在快樂的課堂學習環境下，充分發揮學生學習的自主性、積極性，使學生愿意思考，樂于挑戰，從而增強學生對中學數學學習的興趣。運動反例優化學生的解決問題能力，數學解題的過程實質上是一種技巧，這種技巧可以提升學生的解題效率，還能有效的發展學生的發散性思維。

針對一個問題，學生在解決問題之前，應充分進行假設，思考和嘗試，這樣才能有效的鍛煉學生解決數學問題的能力，和增強數學素養。運用反例培養學生的思維。一個數學問題的解決方法也有多種，在解決問題的這一階段中，是對學生思維創造性、思維靈活性及逆向思維的鍛煉。一節好數學課，不是教師教給你多少概念，而是教師會把焦點放到如何拓展學生的思維和激發學生學習興趣上。

二、加強對學生反例學習的訓練和培養

初中數學反例學習可以有效的培養和鍛煉學生的抽象邏輯思維能力和創新能力。反例需要學生的推理，假設，證明和驗證，不斷地在嘗試錯誤從而達到真正的理解。學生反例學習的訓練和培養主要有一下幾種方法：

（一）反例學習，培養學生的思維的嚴密性。我們經常說學習數學的人，思維很縝密。確實，數學的學習的確要求我們嚴謹。在考試中，我們也會發現有很多題我們都會做，但是卻沒有拿到分數，歸根到底是我們馬虎不嚴謹。那么我們在考慮問題時也是一樣。看問題要全面而且嚴密。這是學好數學的關鍵。反例學習要求我們的思維嚴密，所以看待問題要從多個角

度出發。

（二）反例學習辯證真假。當我們遇到一個問題從正面很難解時，不妨試一試反例，看有沒有收獲。有很多數學問題利用反例解決反而更能讓我們的思維變得靈活。反例學習能快速的辨別真假命題，例如：要證明“兩個無理數的積仍是無理數”這一命題是否為真命題時，為無理數，則此命題為真。面對這樣的問題，我們應嘗試著舉出反例，若為有理數，此命題為假命題。像這樣我們只需舉一個反例就能驗證真假就很容易解決問題了。

（三）反例學習培養學生對概念的掌握。數學概念是學習數學的基礎，大多數數學概念都很抽象，學生不容易記憶。但是通過舉反例的方式，就會印象深刻并能加深對數學概念的理解。例如：要“證明兩個三角形全等時”，我們可以利用給的條件來證明三角形是否全等。反之，我們可以運用三角形全等的條件來反例證明，更有利于學生對全等三角形概念的掌握。

三、運用反例增強學生數學知識的運用

數學的學習是為了更好的去解決實際生活中的問題，適當的運用反例能刺激學生對數學知識的運用。教師可以根據學生對反例運動的程度來判斷他們數學知識的掌握程度，從而進行因材施教。對于數學落后的學生給予專門的訓練。判斷學生數學能力的基礎和前提是學生對學過的知識是否能有效的運用，是否能舉一反三，而不受到思維的定勢。反例的運用主要有否定命題，有些數學問題，我們做題的切入點是將命題否定，從否定的方向來進行知識的遷移。例如：我們在學習一元一次方程時，判斷一個式子是不是一元一次方程，我們首先要考慮的是，這個式子是否滿足一元一次方程的條件。這個時候教師來舉幾個反例，讓學生來判斷。通過這種反例，可以很好的了解到學生對所學知識的鞏固情況，同時也能讓教師發現教師在課堂中的存在的不足。這樣的練習不僅有效的促進學生對一元一次方程的認識，更是一個很好的理解對知識消化的過程，也將為以后學方程做了一個很好的鋪墊。

四、數學反例促進教師的專業技能及反例應注意的問題

數學反例對教師的幫助也是顯而易見的，一名成功的教師，最基本的是充分掌握專業知識，對自身的業務能力嚴格要求，不斷的探索、發現和分析問題。教師最重要的是傳道授業解惑，教會學生基本概念，讓學生去解決問題。教師在教的過程中也是一個很好的學習過程，不僅能夠重新理解知識，還能從交的過程中發現一些問題，更有利于教師的成長。課堂上，教師能針對一個正面難解問題，給出恰當的數學反例，這無疑是給自己增添了許多個人魅力。同時這也是一名教師正確充分駕馭課堂的表現。一名成功的數學教師，她有著良好的數學素養，他專注于數學問題中的每個細節，不斷地學習，不斷地積累經驗。教師在數學教學中，運用反例應注意以下幾點：

（一）對反例的舉例不能盲目和毫無目的。這樣反例就沒有意義可言。反例要有針對性，針對課本中的教學內容做出合理的教學設計。針對問題的難易程度，知識的重點難點有計劃的運用。

（二）運用反例的時間，什么時候運用反例，運用反例的基礎是什么，這一點是教師在運用反例教學之前應思考的問題。教學中運用反例目的是達到畫龍點睛的效果。所以，教師在數學教學中要認清，反例的運用是一種輔助手段，而不是唯一手段。

（三）運用反例時師生要互動。現代教育提倡以學生為主，教師為輔。教師的輔助作用主要體現在引導方面，有效的引導幫助學生自主求知。關于反例的運用，好處多多，可以以另一種視角審視證明數學知識的正誤與否。但是那種單單只由教師來舉，學生來聽的反例教學已經不符合現代教育對學生自主能力培養的初衷，所以教師應該在做輔助之后，將課堂讓給學生，讓學生在討論中來提出自己所舉出的反例。

（四）運用反例時避免喧賓奪主。反例是作為證明所學數學知識而出現的例證，但是在反例和正例的共同比對中，如果稍加不注意，學生就會將反例作為知識重點，強加記憶，這不利于今后數學的學習，可能造成錯誤知識對正確知識的擠兌，繼而使反例存留在大腦中，很難被矯正。所以，在運用反例教學時，教師要避免喧賓奪主。

總之，在數學教學過程中，適當的運用反例所取得的效果不可小覷。從某種程度來說，反例教學在課堂上起著引導、調節的作用，教師對反例的有效應用，直接影響著學生對數學問題的理解和對知識的掌握，同時，反例教學能夠有效的培養學生的創造性、靈活性。所以，教師在數學教學過程中，應充分利用反例，將其植入在教學中，激發學生對數學學習的求知欲望，發展學生，提高課堂質量。

［1］張愛國，淺談反例在數學教學中的作用［J］．湖南工程學院學報（自然科學版），1996，（01）．

［2］陳爾彬．反例與中學數學教學［J］．課程教材教學研究：中教研究，2010（Z1）．

［3］人民教育出版社中學數學室．全日制普通高級中學教科書（必修）［M］．北京:人民教育出版社．2004．

編輯∕高偉

仲崇猛（1975-），男，江蘇贛榆人，一級教師，研究方向：初中數學教學研究。