新舊聯系促思維，小組合作放光彩
——一節“正弦定理”課的啟示

☉江蘇省白蒲高級中學 宗新中

新舊聯系促思維，小組合作放光彩
——一節“正弦定理”課的啟示

☉江蘇省白蒲高級中學 宗新中

正弦定理是蘇教版數學（必修5）第一章“解三角形”的第一課內容，其聯系起代數和幾何，在高中數學教學中具有較高地位.本課是章節的起始課，是在學生具有初中解直角三角形和必修4向量知識的基礎上，對任意三角形邊角關系的進一步研究，定理的證明過程能為后面的余弦定理的學習埋下伏筆，具有承上啟下的作用.以下是筆者本節課的教學過程和一些想法，與大家一起交流.

一、教學過程簡錄

1.設置情境，提出猜想

師：我們知道，生活中很多問題都可以轉化為求三角形的邊或角的問題，那么，任意三角形中的邊角具有怎樣的關系呢？不妨先來看看我們熟悉的直角三角形中的邊角關系.

師：很好，很全.能將寫出的邊角關系歸歸類嗎？

生：可以分為三類，正弦關系、余弦關系、正切關系.

師：根據同角三角函數關系式及誘導公式，我們知道這三種關系可以相互轉化，切可以化弦，余弦可以化正弦.今天我們先來看看正弦的兩個式子，它們之間有沒有聯系？

（學生思考片刻）

師：漂亮.這種關系在直角三角形中成立，那么它在任意三角形中成立嗎？能從特殊到一般嗎？

（大家議論紛紛，不約而同猜想成立）

師：很大膽，非常好，但是歸納猜想的結論不一定是正確的，需要通過嚴格的論證才能確保它的準確性.它究竟成立與否，我們這節課就來研究這個問題.

分析：情境設置的本質是為了提出問題，從而激發學生學習探究的欲望，其除了應該具有實用性、有效性，還應該具有連續性，也就是要著眼于學生的最近發展區，拉近初、高中的距離.利用直角三角形中的邊角關系引入課題正是體現了這一點，從已知到未知符合認知規律，由特殊到一般體現數學思想.

2.探究數學，建構定理

（1）推陳出新，思維連續證明如魚得水.

師：我們要對這個猜想作出證明，最易想到的是什么？

生：轉化到直角三角形中去解決，也就是產生直角，因為直角三角形中這個結論是成立的.

師：很好，那么怎樣產生直角呢？

（思索片刻，很快就有學生站起來回答）

生：我們可以通過在三角形中作高來產生直角.

師：很好，請你到黑板上來展示一下.

師：證得好，充分利用了我們熟悉的直角三角形，從一般到特殊，從陌生到熟悉，順利得證.但是這樣就證好了嗎？

（好幾位學生同時站起來了，爭先恐后要發言）

生：剛才這位同學證得很好，但是不全面.他只是證明了在銳角三角形中結論成立.還有鈍角三角形沒有證明.

師：鈍角三角形有什么不一樣嗎？

生：有，鈍角三角形有兩條高在三角形外.

師：很好.這位同學考慮問題很全面，現在所有形式的三角形都進行了證明，說明你們的猜想是正確的.如此簡潔對稱的關系式能用文字語言描述一下嗎？

生：在一個三角形中，各邊的長和它所對角的正弦之比相等.

師：說得好，我們就把這個優美的關系式稱為正弦定理.

分析：通過構造直角三角形，把未知問題轉化為已知的問題，讓學生體會到了分類討論、化歸與轉化、構造等數學思想，提高了學生解決問題的能力.這種方法學生容易想到，也是課本上給出的證明方法，要求學生掌握.但是這節課的精彩正是基于證明的多樣性，讓學生嘗試從不同的角度去考慮問題，激發學生的思維，把學生的思維向更高層次推進.

（2）合作探究，思維推進火花激情四射.

師：剛才我們通過在三角形中作高的方法證明了定理，其核心思想是構造直角，還有其他的方法證明定理嗎？請大家探討一下，然后把你們的成果在小黑板上展示出來.

（學生熱情高漲，分小組進行積極的討論.學生合作探討時，教師不能“無所作為”，要巡回查看，必要時要積極參與討論，發現好的做法，要及時鼓勵，發現好的思路而學生未能繼續時要及時點撥思路.

十分鐘以后，陸續有小組把思路或證明在小黑板上展示出來，并主動向大家闡述證明的思路）

組一代表：我們組發現可以用面積相等來證明.

組二代表：組一的證明是基于剛才證明基礎上的，沒有太多新意，我們組是利用初中的知識在圓中構造直角三角形來進行證明，因為直徑所對的圓周角是直角.我們不但證明了定理并且得到正弦定理比值的幾何意義即三角形的外接圓的直徑.（該組只是展示證明思路，具體證明過程課后解決）組三代表：組二的想法確實比較好，但是我們的證明利用了剛學的向量這個有力的工具.

（大家明顯精神一振，顯然對他的說法非常感興趣）師：你是怎么想到用向量去進行證明的呢？

生：我們組觀察發現：正弦定理就是描述三角形中的長度和角度關系的，而在我們已學的知識中，向量恰好可以同時刻畫長度和角度，所以就嘗試利用向量去進行證明.

生：向量式轉化為數量式的方式一是平方，二是兩邊同時點乘一個向量作數量積，平方之后得到的不是正弦定理的表達式，所以嘗試兩邊同時點乘一個向量.這個向量與A→→C垂直，那么夾角就可以用A、C表示.

師：大家一起鼓掌，為精彩的證明喝彩.

分析：正弦定理的證明方法比較多，其主要思想方法就是構造直角三角形.利用圓構造直角三角形能得到正弦定理的比值的幾何意義，而利用向量的方法進行證明，既展示了數與形的完美結合，也體現了向量在高中數學解題中的重要作用，同時也為后面余弦定理的證明做了鋪墊.

3.簡單應用，感悟定理

例1在△ABC中，已知A=30°，B=45°，a=6，解三角形.

解題過程略.

4.課堂小結，歸納提升

師：請同學們談一談本節課的收獲和感受.

生：通過本節課的學習，我們知道了任意三角形中都有一個優美的正弦定理：

生：正弦定理的證明方法很多.

生：正弦定理的發現和推導過程中蘊含了許多的數學思想方法，如從特殊到一般、分類討論、轉化與化歸等.

生：向量的作用很強大.

師：大家講得很好.本節課我們通過自主探究，證明了正弦定理，體會了其中蘊含的數學思想方法，同時定理所展現出來的數學美也值得我們慢慢回味.

二、課后反思

1.數學課堂要體現數學的“活”

新課程標準提出數學教學是數學活動的教學.把課堂還給學生，讓知識在活動中生成，讓學生在活動中成長.在數學課堂中，要充分發揮出學生的主觀能動性，要讓每個學生都積極地參與教學活動，讓學生心動起來，手動起來，嘴動起來，做課堂的主人.本節課中，教師大膽“放手”讓學生自己“搗鼓”出了好幾種證明方法.尤其是后面的幾種解法，充分體現了合作交流的威力，讓不同的思想不停地碰撞，“三個臭皮匠頂個諸葛亮”，讓學生在合作交流中體驗了成功的喜悅，增強了學習的興趣.

2.數學課堂要體現數學的“美”

教學大綱中明確指出“認識數學的科學意義、文化內涵，理解和欣賞數學的美學價值”.這就要求我們在教授知識的同時，要注重滲透數學的美.本節課自始至終貫徹這一思想.課堂設計思路清晰，條理分明，不蔓不枝，體現了數學的簡約美.課題的引入，情境的設置，開門見山讓新、舊知識碰撞出火花，具有沖擊力，能激發學生的求知欲，體現數學的連續美.同時，定理的猜想歸納體現了數學的感性之美，定理的推導證明體現了數學的理性之美，感性的歸納、理性的推導體現了數學的嚴謹之美，此外還有教師語言的豐富美、數學公式的和諧美（正弦定理本身就體現了數學公式的簡約和諧之美），只有讓學生真正地感受到了數學的美，學生才會愛上數學，才會學好數學.

3.數學課堂要讓學生做到心中有“數”

根據新課程標準要求，教學要以培養學生獲得終身學習能力和可持續發展的能力為終極目標.愛因斯坦也說過：“把學到的知識全部忘掉剩下的就是教育”.那么我們學生學完數學還剩下什么呢？就是要讓學生在今后的學習生活中能從數學的角度去看待問題、思考問題，能建立優美的數學模型去解決問題.所以在我們平時的教學中，要著力于揭示數學結論的生成和發展過程，要帶領學生體會數學現象中蘊含的數學思想方法，努力培養學生的數學思維能力，引導學生利用數學的手段去解決生活中的問題，讓學生時刻做到心中有數.本節課中，注重數學思想的滲透，從一般到特殊，歸納猜想驗證，分類討論，有強烈的數學味道.A

更正證明

本刊2015年4月上高中版92頁《把握知識關聯問題求解自然——函數視角下數列問題的合理解答》一文的作者“江蘇省丹陽市第五中學王圣光”應為“陜西師范大學江蘇省丹陽市第五中學王圣光”，特此更正.