數學觀察能力的意義、特點及培養路徑

鄭步春

摘要：數學觀察能力是獲取數學信息、加工數學信息的重要能力，具有目的性、有序性、取舍性等特點。培養學生的數學觀察能力應落實在平時數學概念、運算法則、思維訓練、解決問題的教學過程中，激發濃厚的觀察興趣、培養正確的觀察方法、錘煉良好的觀察品質等是可行路徑。

關鍵詞：數學觀察能力；意義；特點；路徑

中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094-（2015）06C-0025-04

一、數學觀察能力的意義

觀察是以感知為基礎，有目的、有選擇地認識事物本質與規律的一種方法。在數學學習中，觀察可為思維的展開提供感性材料，便于進一步發現問題、提出問題。常用于形成概念、導出原理過程中發現事物的共性與規律，獲取解題過程中的有用信息。

觀察能力是構成智力的一個重要組成部分。數學觀察能力是一種有目的、有計劃、有選擇的較持久的數學感知能力。在獲取數學信息方面表現為，對于數學材料形式化感知的能力，對問題形式結構的理解能力，對數學現象本質特征的洞察能力；在加工數學信息方面表現為，準確概括數學關系和迅速進行數學運算的能力，簡化數學思維過程和簡便運算的能力，以相似的結構和遷移的方法進行思維的能力。因此，它是關聯著理解、思考，有目的、有計劃的多種感知覺的綜合活動。

二、數學觀察能力的特點

（一）目的性。目的性是保證觀察能夠按照一定的方向和目標進行的重要特點之一。人在沒有明確的目的感知水溫冷熱、色彩冷暖時，只是一般感知，不能稱為觀察。只有當感知活動具有探明事物本質特征的目的時才是觀察。

數學觀察能力的目的性是指解決數學問題。解題的第一步就是審題，審題的特質即觀察，弄清題目已知什么條件與要求解什么結論；第二步能否實現概念的轉化，其條件和結論可轉化成什么，由此能否建立條件和結論之間的聯系；第三步帶著思考觀察題目，還可挖掘出一些隱含條件，看看哪些條件還未用到，未用到的條件換個說法是什么，與要解決的問題有何聯系。如此追問，確保感知題意的每個環節都有明確的目的。

（二）有序性。從局部入手，有條理地思考整體解決問題的辦法，要求觀察既要循序漸進，又要全面系統。例如：求1+22+33+44+…20002000的和的末位數字。

要求和的末位數字，觀察的末位數字是什么，再看有什么規律、能組成以多少為周期的循環序列。首先觀察前10個數的末位數字1、22、33、…，1010，依次為1、4、7、6、5、6、3、6、9、0；再觀察1111、1212、1313…，2020的末位數字依次為1、4、7、6、5、6、3、6、9、0。這樣所有的末位數字組成以10為周期的循環序列，而且每個循環節和的末位數字是7。因此，由1開始，1+22+33+42+…+20002000可化為200個循環節。所以，原式的末位數字和是×200，即原式末位數字是0。

（三）取舍性。感性認識與理性思考是觀察力的主要因素。理性思考具有把握事物本質特征的作用，它可使人們及時地把握觀察到的客體意義，增強觀察的完整性、真實性和深刻性，便于取舍與選擇。

在觀察過程中，運用基本的數學方法，有效地比較、分類、分析、歸納、綜合，考察問題的各部分及整體特性，就會使人們易于把握問題的整體和部分。例：計算1+2+3+…+100的和。

求和問題，將數一個一個累加，當然能夠算出結果，由于加數多就麻煩了。在觀察和式加數特點的同時，將不同加數轉化為相同加數相加，再將加法化為乘法可簡便地解決問題。按100+99+98+…+1結果，與原式是相等的；將此式與原式相加，再觀察其部分的特點，1+100、2+99、3+98、…、100+1都相等。這就是倒序相加法。

（四）敏銳性。觀察的敏銳性指善于發現易被忽略的信息。有些問題直接求解不易入手，可間接解決。如從數形結合的角度，將數量關系轉化為位置關系，借助幾何圖形，可使問題得到巧妙解決。

（五）全面性。要獲得觀察對象的全部信息，在觀察過程中，不僅要注意到事物比較明顯的特征，更要考察事物比較隱蔽的特征。許多數學應用問題的背景設置與求解工具是不一致的，因而全面觀察命題的構成是很重要的。

觀察力的各種特點在學習活動中有各自不同的體現。觀察的目的性是學習目的性的一個有機組成部分，它保證學習能夠按照一定的方向和目標進行；觀察的計劃性，是循序漸進地學習不可缺少的心理條件，有助于學習者獲得系統化的知識；觀察的取舍性有助于學習者對知識的理解；觀察的敏銳性有助于學習者學會善于發現易被忽略的信息；觀察的全面性有助于學習者能全面深刻準確地領會獲得的知識。在學習中，必須把觀察力的各種品質結合起來，按照預定的目標去獲得系統的、深刻的、真實可靠的感性知識。

三、數學觀察能力的培養路徑

（一）注重在數學概念教學中建立正確的觀察目的

數學概念教學常常采用溫故知新、直接啟發、巧設懸念、實驗演示、類比引導、情景創設等教學方法，目的是引導學生主動地、自覺地、有意識地觀察認識數學概念的本質特征。這樣不僅使學生明確學習新知識的必要性，而且還能引起學生認知沖突，啟動思維機制，甚至激發積極愉快的情緒，從而產生積極的思考活動。如在角的概念推廣教學中，運動員擲鏈球時，觀察旋轉方向可以是逆時針也可以是順時針，旋轉量也不止一個平角，那如何來度量角的大小呢？在函數單調性的概念教學中，可提出問題，引導學生：觀察圖象的變化趨勢概括出當自變量增大時函數值的變化規律。

問題驅動，使學生感知活動帶著問題、帶著任務按預定的方向和目標進行觀察，既激發了學生觀察的興趣，又使學生意識到有效觀察離不開正確的觀察目的。

（二）注重在運算法則教學中培養正確的觀察方法

數學學習中，無論是圖形的識別、數據之間關系的把握，還是基本規律的發現、綜合分析能力的提高等都離不開認真、仔細的觀察。如學生在運算中的許多差錯，不善解題意、不善于對公式進行“等價變形”，通常與觀察能力不足分不開。運算是指根據運算法則與公式對具體對象進行變形的演繹過程。數學運算通常包括數值計算、式的恒等變形、方程與不等式的求解，函數的初等運算、超越運算、微分、積分運算，各種幾何量的測算，概率統計的初步計算等。因此，運算法則教學是培養學生學會觀察的重要載體之一。在教學中，要針對大多數學生缺乏生活經驗和獨立、系統的觀察能力，在觀察事物時，往往抓不住事物的本質，或者看得粗心、籠統，或者缺乏運用已有知識經驗觀察，甚至觀察無序等問題。可采用問題導向、任務驅動等教學方法，引導學生學會觀察、欣賞地進行恒等變形與圖形的變換，保證觀察的正確性，進而培養正確的觀察方法。

如培養學生學會解剖觀察方法時，可把觀察對象分解成兩個以上的部分進行觀察。引導學生明確整體是由部分構成的，在觀察整體的同時，還應觀察其部分的特性，從部分中把握整體，這樣，就能抓住解決問題的關鍵，使解題過程簡化。像“利用樣本估計總體”就是統計的核心思想。

（三）注重在思維訓練教學中錘煉良好的觀察品質

觀察能力的培養主要體現在觀察品質中，它包括觀察的變通性、批判性、嚴密性、發散性等品質。應從創設問題教學情境、優化教學方法、挖掘教學內容、設計教學過程、強化思維訓練等方面培養學生的觀察品質。

1.數學觀察的變通性。觀察的變通性是指觀察角度調整的及時性以及觀察中思維的發散性、就是引導學生善于從習慣的思維模式或通常的題型求解套路中擺脫出來。根據數學觀察變通性的主要表現，應從以下幾個方面訓練。

透過現象看本質。變通首要的是抓住問題關鍵、抓住問題本質。心理學告訴我們，感覺和知覺是認識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺。持久的知覺要達成有效的目的，離不開透過現象看本質。任何一道數學題，都是由一定的數學命題構成的。要想解決它，就必須觀察題目所給的具體條件與關系，對其進行深入的、細致的、透徹的觀察與思考，透過表面現象看其本質，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。

把握特征聯想。聯想的過程就是變通的過程，聯想是問題轉化的橋梁。有一定難度的數學問題，其中所隱含的解決辦法都是不明顯的、間接的。因此，解題的方法如何選擇，取決于能否從觀察對象本質特征出發，靈活運用有關知識與方法，從相同、相近、相似角度聯想或揣想，尋找問題解決的突破口。

換個說法轉化。轉化是數學解題的一種十分重要的思維方法。其本質特征就是換個說法。具體地講，轉化就是把復雜問題轉化成等價簡單明了的問題，把抽象問題轉化成具體問題，把未知問題轉化成已知問題。在解題時應善于將題目中的關鍵詞、語段或觀察到的具體特征換個說法，以實現轉化的目的。

2.數學觀察的批判性。數學觀察的批判性表現在觀察活動中就是指不盲從、善于發表獨立見解。當所要解決的數學問題較為復雜即面對數量關系或位置關系時，直接觀察一般難以入手，這就要思考從其他角度觀察，從而在解決問題時能不斷地驗證所擬定的假設，獲得獨特的解決問題的方法。根據數學觀察批判性的特點，可從以下幾個方面訓練。

學會質疑。學貴有疑。朱熹說“讀書無疑者，須教有疑，乃能驟進。”亞里士多德說過：“思維從疑問和驚奇開始”。當問題較為復雜，思路、方法不夠明確時，可設疑——問題能否再簡單一些或特殊一些，通過觀察具體的、特殊的情況，與原命題進行比較，從而探求解題思路和方法。當然，只有牢固掌握基礎知識，才能簡化問題。同時，在解題中能夠檢查出解題思路錯誤，并給出正確解法，也是批判性的體現。

善于反思。當問題較為抽象，題意不夠明顯，思路、方法難尋時，一般可反思問題能否具體些；一些從正面觀察難于解決的問題，可反思——能否從其反面觀察，使題意明確，思路清晰，方法便捷。同時也要養成在觀察過程中反問自己：觀察所得結論有根據嗎？觀察正確嗎？這是最終結果嗎？只有步步為營，穩打穩扎，才能確保觀察正確無誤。

勇于思考。認真思考是批判性思維的基本要素之一。在觀察中思考，就是要尋找更好的觀察點、決定或者判斷。有時往往受思維定勢或別人提示的影響，觀察時盲目附和，不能提出自己的看法、發表不同見解，就不利于提高思維品質。因此，在解決問題時，應積極地獨立思考，有自己獨到的見解，才能將感性認識上升到理性認識。如對于一般函數的定值、定點等問題，直接求解一般難于解決，這時，可根據題設要求仔細觀察思考特殊狀態下呈現出來的性質和規律，然后類比解決。

3.數學觀察的縝密性。周密、細致是觀察者能真實、全面反映觀察對象具體特征的內在要求。由于數學概念具有高度抽象性和論證具有嚴密邏輯性的特點。要求獲取與加工數學信息的觀察過程，既要明確觀察目的，又要遵循嚴格的邏輯規則。但是，由于學生已有知識經驗的差異以及精益求精心理品質的差異，學生的觀察過程常常出現不嚴密現象，應教導學生明確觀察目的、全面考察內容，養成細心的、一絲不茍的觀察習慣。

4.數學觀察的發散性。數學觀察發散性指的是對一個對象能從多種角度觀察。在教學中可采用舉一反三、觸類旁通辦法，引導學生發現規律。如有些數學題，教師可對例題進行有目的、多角度的演變，調換命題的題設和結論，指導學生經過一題多變的觀察和思考，在解題過程中開闊思路，尋求多種方法解決問題，使學生認識到“辦法總比問題多”。等差數列通項公式、前n項和公式的應用，通過變式可使學生明白“知三求二”的道理。

題型變式可從不同角度調換問題的題設和結論，解法不盡相同，但是它們都依據了公式。這樣教學為學生從不同角度去觀察問題、思考問題，用不同方法解決問題提供了豐富的材料，使學生的知識在更廣闊的領域內循環，觀察的敏銳性得以培養和練習，在突破學生聚合思維模式上具有一定的意義。

（四）注重在解決問題教學中提煉靈動的觀察策略

觀察策略就是為了實現觀察目標，事先制定的觀察預案，并且，在實現目標的過程中，根據對觀察對象理解的變化來制定出新的方案，或者根據對觀察對象理解的變化選擇相應的方案。由此可見，靈動的觀察策略體現的是生成性學習水平。在解決問題教學中要善于站在哲學的高度，用聯系的觀點、矛盾的觀點、運動的觀點，指導學生有目的地、全面地、精確地、深刻地、有序地觀察數理、空間、結構等，引導學生把握靈動的觀察策略，從而學會科學地思維，發展智力。

1.問題設計要精選素材，體現觀察策略特征。

策略本質特征就是在一個大的“過程”中進行的一系列行動、思考、選擇。解決問題的策略有一般策略和特殊策略之分。一般策略用于解決常規問題，如分析法和綜合法；特殊策略適用于解決非常規實際問題。由于一些問題本身數量關系、結構特點的不同，適用的觀察策略也就有所不同。如一些問題，僅從文字條件理解數量關系較為困難，但通過畫圖采用數形結合的方法等，可很快觀察出數量之間的關系。

2.問題解決要掌握方法，體驗觀察策略價值

策略和方法是有區別的。方法主要指怎樣做，如計算的方法、畫圖的方法等，它屬于程序性知識。從本質而言，方法是對外辦事的能力。策略是怎樣做好，是對可能多的方法做出選擇，需要對方法本質內容有清晰的認識，它是個體對內控制的能力。因此，觀察策略的形成需要學生體驗其價值。觀察策略是建立在對方法本質內容有清晰的認識基礎上的。因此在教學時，教師應注重讓學生大膽嘗試，多采用實踐探究、合作交流等學習方式解決問題，從中體會觀察策略；同時教師要重視恰當的點撥與引導，以幫助學生形成解題方法和體驗策略價值。

3.問題總結要提升認識，體會觀察策略內涵。

策略也是決策。如何決策，還要認識到策略和方法也是有聯系的。策略的形成首先要以學生學會并掌握方法為前提，因此體會策略內涵，要從學習方法開始，沒有方法的習得，就沒有策略形成的條件。當然學生形成了觀察策略，就能更加自主、合理、靈活地應用方法，進而提高解決問題的能力，兩者相輔相成。學生運用歸納與演繹、綜合與分析等方法，能夠洞察對象本質以及揭示對象間的相互關系，把握問題的本質和規律，深入細致的分析問題。由此可見，數學觀察活動需要一定的抽象程度和邏輯水平；尤其發掘觀察對象隱含條件時，更能體會觀察始終與思維緊密在一起的特點。學生在解決問題過程中的感受和體驗是零散的、無意識的，因此，解題后教師要幫助學生整理、歸納解決問題過程中的體驗，最終內化成自己的策略。如何學會觀察，一般地應按照由整體到部分或由部分到整體等一定的順序，捕捉題目的特征，同時，邊觀察邊思考，使觀察與思維互相滲透，提取解題策略。

總之，數學教學具有數學本身的特點，在教學中要通過利用數學內容中蘊含的豐富數學思想方法，采用多種手段，對學生進行長期的、有目的的訓練，激發學生的觀察愛好，把握觀察的基本方法，形成良好的觀察品質，養成主動觀察、善于觀察的習慣，逐步培養學生的觀察能力。

（責任編輯：張志剛）