淺談高中數學分類討論思想的運用

在高中數學中，分類討論思想是一種常見的且比較重要的數學思想方法。分類討論思想貫穿于整個高中數學階段，不管是平時的練習中，還是大型的考試中，都會遇到這類思想方法。接下來，筆者就結合自己的教學實踐和經驗來談談高中數學中分類討論思想的有效運用策略。

一、分類討論思想概述

1、分類討論思想的含義

分類討論思想是一種重要的數學思想方法，其基本思路就是將一個較復雜的數學問題分解或分割成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現解決原問題的思想策略。分類討論思想就是對問題實行分類與整合，其分類標準等于增加一個已知條件，這就實現了有效增設，將大問題或綜合性問題分解為小問題或基礎性問題，優化解題思路，降低問題難度。

2、分類討論的類型

（1）由數學概念引起的分類討論。有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數函數、對數函數等。

（2）由性質、定理、公式的限制引起的分類討論.有的數學定理、公式、性質是分類給出的，在不同的條件下結論不一致，如等比數列的前n項和公式、函數的單調性等。

（3）由數學運算要求引起的分類討論。如除法運算中除數不為零，偶次方根為非負，對數真數與底數的要求，指數運算中底數的要求，不等式兩邊同乘以一個正數、負數，三角函數的定義域等。

（4）由圖形的不確定性引起的分類討論。有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限;點、線、面的位置關系等。

（5）由參數的變化引起的分類討論。某些含有參數的問題，如含參數的方程、不等式，由于參數的取值不同會導致所得結果不同，或對于不同的參數值要運用不同的求解或證明方法。

（6）由實際意義引起的討論。此類問題在應用題中，特別是在解決排列、組合中的計數問題時常用。

二、分類討論思想的運用——實例分析

題型一：三角題中對角范圍的討論

例：在△ABC中，已知sinB=，a=6，b=8，求邊c的長.

解：sinB=，a

分析： 在三角形中，內角的取值范圍是（0，π），b>a，cosB=±，則B可能是銳角也可能是鈍角，故要分兩種情況討論

題型二：求函數最值時對所含參數的討論

例：函數f（x）=x2-2ax+1在區間[-1，1]上的最小值記為g（a），求：

（1） g（a）的解析式;

（2） g（a）的最大值.

解：（1） f（x）=x2-2ax+1=（x-a）2+1-a2.當a≤-1時，函數f（x）在[-1，1]上單調增，g（a）=f（x）min=f（-1）=2+2a;當a≥1時，函數f（x）在[-1，1]上單調減，g（a）=f（x）min=f（1）=2-2a;當-1

（2） 當a≥1時，g（a）=2-2a單調減，g（a）max=g（1）=0;當-1

解關于x的不等式>1（a∈R且a≠1）.

解：原不等式可化為>0，

當a>1時，原不等式與（x-2）>0同解.

由于=1-<1<2，

∴ 原不等式的解為∪（2，+∞）.

當a<1時，原不等式與（x-2）<0同解.若a<0，=1-<2，解集為;若a=0時，=1-=2，解集為空;若02，解集為.

綜上所述，當a>1時不等式解集為∪（2，+∞）;當0

題型三 "數列計算（或證明）時對公差或公比的討論

例：設等比數列{an}的公比為q，前n項和Sngt;0（n=1，2，…）.

（1） 求q的取值范圍;

（2） 設bn=an+2-an+1，記{bn}的前n項和為Tn，試比較Sn與Tn的大小.

解：（1） 因為{an}是等比數列，Sngt;0，可得a1=S1gt;0，q≠0.當q=1時，Sn=na1gt;0;當q≠1時，Sn=>0，即>0（n=1，2，3，…），

∴ 或

由于n可為奇數，可為偶數，故q>1或-1

綜上，q的取值范圍是（-1，0）∪（0，+∞）.

（2） ∵ bn=an+2-an+1=an（q2-q），∴ Tn=（q2-q）Sn.

∴ Tn-Sn=（q2-q-1）Sn=Sn.

又Sn>0，-10，∴ 當-1時Tn>Sn;當

分析：等差、等比數列的通項、前n項的和是數列的基礎，已知一個數列的前n項和求其通項時，對n=1與n≥2要分別予以研究，而涉及等比數列求和或用錯位相減法求和時，要對公比q是否為1進行分類討論.

分類討論思想的運用還有幾個方面，在這里就不過多贅述了，以上的幾個實例是比較典型的，希望筆者的這點內容能起到拋磚引玉的作用，希望更多的一線教師提供更多的精彩內容。

（作者單位：江蘇省金湖中學）