淺談高中數(shù)學(xué)分類討論思想的運(yùn)用

在高中數(shù)學(xué)中，分類討論思想是一種常見(jiàn)的且比較重要的數(shù)學(xué)思想方法。分類討論思想貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)階段，不管是平時(shí)的練習(xí)中，還是大型的考試中，都會(huì)遇到這類思想方法。接下來(lái)，筆者就結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)來(lái)談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)中分類討論思想的有效運(yùn)用策略。

一、分類討論思想概述

1、分類討論思想的含義

分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其基本思路就是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解或分割成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思想策略。分類討論思想就是對(duì)問(wèn)題實(shí)行分類與整合，其分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件，這就實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問(wèn)題或綜合性問(wèn)題分解為小問(wèn)題或基礎(chǔ)性問(wèn)題，優(yōu)化解題思路，降低問(wèn)題難度。

2、分類討論的類型

（1）由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論。有的概念本身是分類的，如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等。

（2）由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論.有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等。

（3）由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論。如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對(duì)數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等。

（4）由圖形的不確定性引起的分類討論。有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限;點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等。

（5）由參數(shù)的變化引起的分類討論。某些含有參數(shù)的問(wèn)題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法。

（6）由實(shí)際意義引起的討論。此類問(wèn)題在應(yīng)用題中，特別是在解決排列、組合中的計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)常用。

二、分類討論思想的運(yùn)用——實(shí)例分析

題型一：三角題中對(duì)角范圍的討論

例：在△ABC中，已知sinB=，a=6，b=8，求邊c的長(zhǎng).

解：sinB=，a

分析： 在三角形中，內(nèi)角的取值范圍是（0，π），b>a，cosB=±，則B可能是銳角也可能是鈍角，故要分兩種情況討論

題型二：求函數(shù)最值時(shí)對(duì)所含參數(shù)的討論

例：函數(shù)f（x）=x2-2ax+1在區(qū)間[-1，1]上的最小值記為g（a），求：

（1） g（a）的解析式;

（2） g（a）的最大值.

解：（1） f（x）=x2-2ax+1=（x-a）2+1-a2.當(dāng)a≤-1時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)增，g（a）=f（x）min=f（-1）=2+2a;當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)減，g（a）=f（x）min=f（1）=2-2a;當(dāng)-1

（2） 當(dāng)a≥1時(shí)，g（a）=2-2a單調(diào)減，g（a）max=g（1）=0;當(dāng)-1

解關(guān)于x的不等式>1（a∈R且a≠1）.

解：原不等式可化為>0，

當(dāng)a>1時(shí)，原不等式與（x-2）>0同解.

由于=1-<1<2，

∴ 原不等式的解為∪（2，+∞）.

當(dāng)a<1時(shí)，原不等式與（x-2）<0同解.若a<0，=1-<2，解集為;若a=0時(shí)，=1-=2，解集為空;若02，解集為.

綜上所述，當(dāng)a>1時(shí)不等式解集為∪（2，+∞）;當(dāng)0

題型三 "數(shù)列計(jì)算（或證明）時(shí)對(duì)公差或公比的討論

例：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和Sngt;0（n=1，2，…）.

（1） 求q的取值范圍;

（2） 設(shè)bn=an+2-an+1，記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，試比較Sn與Tn的大小.

解：（1） 因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，Sngt;0，可得a1=S1gt;0，q≠0.當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1gt;0;當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=>0，即>0（n=1，2，3，…），

∴ 或

由于n可為奇數(shù)，可為偶數(shù)，故q>1或-1

綜上，q的取值范圍是（-1，0）∪（0，+∞）.

（2） ∵ bn=an+2-an+1=an（q2-q），∴ Tn=（q2-q）Sn.

∴ Tn-Sn=（q2-q-1）Sn=Sn.

又Sn>0，-10，∴ 當(dāng)-1時(shí)Tn>Sn;當(dāng)

分析：等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)的和是數(shù)列的基礎(chǔ)，已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和求其通項(xiàng)時(shí)，對(duì)n=1與n≥2要分別予以研究，而涉及等比數(shù)列求和或用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，要對(duì)公比q是否為1進(jìn)行分類討論.

分類討論思想的運(yùn)用還有幾個(gè)方面，在這里就不過(guò)多贅述了，以上的幾個(gè)實(shí)例是比較典型的，希望筆者的這點(diǎn)內(nèi)容能起到拋磚引玉的作用，希望更多的一線教師提供更多的精彩內(nèi)容。

（作者單位：江蘇省金湖中學(xué)）