對人教版勾股定理內(nèi)容編排的商榷

摘 要：在初中數(shù)學(xué)中，勾股定理是很重要的內(nèi)容，但學(xué)生的學(xué)習(xí)效果離課標(biāo)要求有較大的差距。通過調(diào)查、分析發(fā)現(xiàn)，人教版教材勾股定理內(nèi)容編排有值得商榷之處。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；勾股定理；人教版教材；編排；商榷

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-010X（2015）06-0071-03

一、人教版教材勾股定理內(nèi)容編排

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的一座橋梁，是人類早期發(fā)現(xiàn)、證明、運用的重要數(shù)學(xué)定理之一，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展也產(chǎn)生了重要而深遠(yuǎn)的影響。為了使學(xué)生較好地掌握這一定理，人教版數(shù)學(xué)教材在八年級（初二）下冊安排了這一內(nèi)容。教材通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想、計算、證明等活動學(xué)習(xí)并掌握勾股定理，還介紹了中國古代對勾股定理的研究成果，旨在培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感。這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，是很用心的編排。可我們從學(xué)生學(xué)習(xí)效果的反饋中發(fā)現(xiàn)：學(xué)生離課標(biāo)的要求有較大差距，原因何在呢？為此，我們用問卷和訪談兩種方式進行了調(diào)查。問卷結(jié)果顯示：有81%的同學(xué)認(rèn)為勾股定理很重要。有49%的同學(xué)認(rèn)為勾股定理很難學(xué)。在調(diào)查勾股定理的證法時，發(fā)現(xiàn)有58%的同學(xué)能畫出證法的圖，其中34%的同學(xué)畫出的是趙爽弦圖，8%的同學(xué)畫出的是加菲爾德圖，2%的同學(xué)畫出的是“傳說中的畢達哥拉斯圖”。 但只有27%的同學(xué)正確寫出了證法，只有1%的同學(xué)用的是趙爽的出入相補法。訪談中我們還發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生認(rèn)為畢達哥拉斯對勾股定理的貢獻比趙爽大。大部分學(xué)生不清楚中國是什么時候開始使用勾股定理的。

這種狀況的出現(xiàn)顯然不能排除教師的教和學(xué)生的學(xué)這兩方面造成的原因。但通過進一步的分析，我們發(fā)現(xiàn)教材在編排方面有值得商榷的地方。

（一）內(nèi)容呈現(xiàn)的邏輯順序易誤導(dǎo)學(xué)生

教材在這一章引言介紹了我國古代對勾股定理的研究成果，而正文卻從畢達哥拉斯觀察地板格子發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系引入，再引申到一般直角三角形，然后是趙爽的證明。旁邊又注明“在西方，人們稱勾股定理為畢達哥拉斯定理”。在后面的閱讀思考中又有“傳說中的畢達哥拉斯的”證法。引言部分容易被學(xué)生忽視掉，而從第一節(jié)讀起來讓人感覺勾股定理的發(fā)現(xiàn)到證明都是畢達哥拉斯，趙爽只是給出了一種證法而已。學(xué)生的這種印象先入為主，會成為最深刻的印記——提起勾股定理就會想到畢達哥拉斯。而中國人對勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明都比畢達哥拉斯早很多。這種誤導(dǎo)對中國學(xué)生尤其不公平。

（二）難度較大的地方有兩處

1.探究活動中給出的提示忽視了學(xué)生原有知識基礎(chǔ)，超出了學(xué)生能力。解決等腰直角三角形三邊關(guān)系的問題時，教材引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)格子的方法通過計算面積相等，進而發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形三邊的關(guān)系。而在解決一般直角三角形三邊關(guān)系的問題時，教材給出了一個提示：以斜邊為邊長的正方形面積等于某個正方形面積減去4個直角三角形的面積。應(yīng)該說這種方法和中國流傳最廣的那張弦圖的證法如出一轍，是很經(jīng)典的一種證法。可它在此時出現(xiàn)，卻給絕大多數(shù)的學(xué)生搭建了一個無法爬上的梯子。教材的提示直接給了方法，而這種方法需要的能力，學(xué)生并不具備，于是學(xué)生就不會做。即使在老師的引導(dǎo)下做了也很難留下深刻的記憶。這個地方卡住了，下面就很難學(xué)會了。怎樣讓學(xué)生比較容易地學(xué)會呢？學(xué)生們此時仍需用數(shù)格子的方法解決這一問題。而新的問題是出現(xiàn)了形狀不統(tǒng)一、面積不相等的不完整的格子，把這些格子數(shù)清成為關(guān)鍵！不論大小，不管形狀，每一個不滿的格子都按半格數(shù)是一種簡便的方法。學(xué)生會做，但不知為什么要這樣做。而給出下圖的提示有助于學(xué)生數(shù)清這些格子，并從原理上弄明白三角形與矩形的面積關(guān)系，從而弄明白教材提示的“某個正方形”是個在什么位置的正方形。學(xué)生弄懂了這些，下文趙爽的證法就不顯得那么難懂了。

2.教材為了弘揚我國古代成就介紹了趙爽的證法，包括趙爽弦圖和利用弦圖證明勾股定理的基本思路。把兩個靠在一起的正方形拼成一個大正方形是一個圖形變化過程，它是動態(tài)的。靠書上幾幅靜止的圖和一段邏輯嚴(yán)密的文字來表述，不容易讓學(xué)生看懂。好多學(xué)生費了半天勁兒看懂了，也無法像其他證明題一樣用“因為、所以”把證明過程清晰地寫出來。這就讓原本簡單明了的證法變得繁雜難懂了。而趙爽弦圖下的知識鏈接——“趙爽指出：按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四。以勾股之差自相乘為中黃實。加差實，亦成弦實。”很明顯也是勾股定理的證法，而且是學(xué)生可以用代數(shù)式寫出來的證法。相比之下，這一證法反而顯得簡單且易被學(xué)生接受。但是只引用了古文，沒有把古文翻譯成現(xiàn)代漢語。以初二學(xué)生應(yīng)有的水平去讀，學(xué)生看不懂。

趙爽的證法夠簡單，但不是最簡單的。學(xué)生更容易看懂教材30頁上標(biāo)注的“傳說中的畢達哥拉斯的”證法。在兩張全等的正方形紙上用八個全等的直角三角形拼出下面的圖形。學(xué)生很容易就弄懂了左圖的以斜邊為邊長的正方形的面積等于右圖的兩個小正方形的面積的和。計算面積就證出了勾股定理。學(xué)生說這種證明小學(xué)生也能看懂。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人。我們的教材不應(yīng)該只是寫給老師看的，更應(yīng)該是寫給學(xué)生看的。學(xué)生看得懂的教材才是最好的教材。

（三）教材在史料表述上有不嚴(yán)謹(jǐn)之處

1.有關(guān)畢達哥拉斯的部分相傳、傳說各出現(xiàn)一次。“相傳、傳說”這一類詞似不宜在數(shù)學(xué)書中出現(xiàn)，因為缺乏充分證據(jù)。中國流傳最廣的證法是在有格子的圖上進行的。而畢達哥拉斯學(xué)派的歐幾里德通過證明三角形全等來證明面積相等進而證明直角三角形三邊關(guān)系，與格子無關(guān)。

2.趙爽的生存年代在教材上注為漢代，在教師用書上又多次注為三國。雖然漢代和三國時間緊連，但還是統(tǒng)一說法為好。

3.中國人在公元前1100年發(fā)現(xiàn)勾股定理，畢達哥拉斯在2500多年前發(fā)現(xiàn)。乍一看好像畢達哥拉斯比中國人早，而實際上2500多年前是公元前500年前，比公元前1100年晚了600年。這兩個數(shù)據(jù)應(yīng)該使用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。

4.公元前1100年這一數(shù)據(jù)是采用了周公的年代。周公是周武王的弟弟，是商末周初杰出的政治家和軍事家，被尊為儒學(xué)奠基人，也是孔子一生最崇敬的古代圣人之一。《周髀算經(jīng)》的第一部分就是周公與商高的對話。而根據(jù)《周髀算經(jīng)》的記載大禹時期已開始使用勾股定理了。大禹在他的兒子啟建立夏朝之前，即大約公元前2070年之前。所以英國皇家學(xué)會會員、劍橋大學(xué)岡維爾和凱厄斯學(xué)院院長李約瑟認(rèn)為“我們現(xiàn)在不能像畢甌那樣肯定地說它比畢達哥拉斯（公元前530年著稱）早五、六個世紀(jì)，但也沒有很多理由把它推遲，而且它也很可能還要更早的。”

5.教材上把那個小學(xué)生都能看得懂的證明歸在了畢達哥拉斯的名下。而美國的謝爾曼·克·斯坦因在《數(shù)字的力量》一書中注明這種證法是中國人的。同一種證法總得有足夠的證據(jù)才能定下歸屬。中國古書留傳不多，畢達哥拉斯也沒有著作流傳下來。歐幾里德《幾何原本》的證法和上面的證法沒有關(guān)聯(lián)。趙爽的證法和上面的證法也聯(lián)系不大。那么商高的證法呢？商高的那段話“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。故折矩以為勾廣三、股修四、徑隅五。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤。得成三四五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也。”是不是勾股定理的證法？我們一般人確實很難懂。好在中國有人讀懂了，并復(fù)原了證法的圖。

從這些圖中我們挑出中間的和右側(cè)的兩幅，把中間的那幅補成正方形——這不就是那種最簡單的證法嘛！或者說商高的證法和這種證法有明顯的傳承關(guān)系——那種最簡單的證法脫胎于商高的證法。商高的年代比畢達哥拉斯早很多，即使畢達哥拉斯也有同樣的證法，我們也可以理直氣壯地說這種證法是中國人先發(fā)現(xiàn)的。我們的教材可以把這種證法放在最顯著的位置上，明確地標(biāo)注這種證法起源于中國。國際上對勾股定理的命名我們可能改不了，可我們有義務(wù)讓學(xué)生知道中國古代的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)先其他國家很多年，屬于中國的知識產(chǎn)權(quán)我們不能拱手讓人。

二、對內(nèi)容編排的建議

1.教材的編排框架可以不動，仍從數(shù)地板格子引入，只是不必說這是畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)的；2.一般直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系處的提示增加怎樣數(shù)清不完整的格子；3.把趙爽弦圖下的知識鏈接中的證法翻譯成現(xiàn)代漢語，并用數(shù)學(xué)語言給出證明，然后再介紹出入相補法；4.趙爽的時間標(biāo)為三世紀(jì)；5.中國人知道勾股定理的年代改為大禹時期；6.在小學(xué)生都能看懂的證法前標(biāo)注這是中國人的證法；7.多列幾種證法供學(xué)生選擇性地學(xué)習(xí)；8.保留教材中那句“在西方，人們稱勾股定理為畢達哥拉斯定理”就行了。

數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，并以嚴(yán)謹(jǐn)著稱；數(shù)學(xué)教材是寫給老師看的，更是寫給學(xué)生看的。教師的教和學(xué)生的學(xué)都離不開教材。完善教材的編排會使很多學(xué)生受益終生。我們認(rèn)為，人教版教材勾股定理一節(jié)的內(nèi)容這樣編排更為合適。