概率論中加法定理的教學與思考

【摘 要】加法定理是概率論中一個非常重要的定理，主要應用于求復雜事件的概率。應用加法定理的關鍵是將所求事件直接或間接分解為若干簡單事件的和。如何利用加法定理，是很多學生感到困惑的一個難題。本文通過幾個典型例題來分析如何運用加法定理來計算概率。

【關鍵詞】加法定理 事件分解 概率計算

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）29-0046-02

加法定理是組合數學中的容斥原理在概率論中的應用。在組合數學中，計算某個給定集合的元素個數是一個非常重要的問題，而且非常困難。在組合計數中有一種非常重要的計數思想，其基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的數目計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既沒有疏漏也沒有重復。這種計數的方法稱為容斥原理。容斥原理的思想相當簡單，是一種很自然的計數思考方法，但卻是數學中非常重要的思想。在組合論、集合論、概率論等學科都有很深的應用，本文主要關注容斥原理在概率論上的應用——加法定理。

二 應用加法定理計算概率

在概率論中，很多比較困難的概率計算要借助于加法定理。利用加法定理計算這些復雜事件的概率，關鍵在于將所求事件表示成若干簡單事件的和，然后套用加法公式。如何運用這一個非常有用的定理，對學習概率論的學生來說非常困難，這需要對具體實際問題進行分析。我們依據教學實踐總結出了利用加法定理計算概率的一般步驟，下面通過幾個典型例題來進行說明。

步驟1：判定所求事件能否表示成若干簡單事件的和，若不能，則考慮其對立事件。

步驟2：考慮所得的簡單事件的概率是否容易計算，如果容易計算，則直接利用加法定理，否則進行步驟3。

步驟3：給出該事件的其他表示方法，進行步驟2。

例1，對某份雜志的1000名訂閱者的調查得出了如下數據：考慮到他們的工作、婚姻和教育狀況，有312名專業人員，470名已婚人士，525名大學畢業生，42名大學畢業的專業人員，147名已婚大學畢業生，86名已婚專業人員，25名已婚且大學畢業的專業人員。證明這些數據是不正確的。

分析：要證明這些數據是不正確的，需要找到矛盾。該問題實質是問上述計數結果是否正確，可以使用容斥原理計數集合{專業人員或已婚人士或大學畢業生}所包含的人數來判斷。這里我們使用加法定理計算概率來找到矛盾。

解答：現從1000名訂閱者中任取一名，設A表示“該訂閱者為專業人員”，B表示“該訂閱者為已婚人士”，C表示“該訂閱者為大學畢業生”，則

這與概率的定義矛盾，所以上述統計數據不正確。

例2，（整除問題）在1～2000的整數中隨機地取一個數，問取到的數既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？

分析：此問題初看起來可以直接通過計數來算概率，不過具體計算時發現不能被6整除的數和不能被8整除的數有重復，此時就可以嘗試利用加法定理。那么設事件A表示“所取數不能被6整除”，事件B表示“所取數不能被8整除”，則題目所求的事件為AB。由步驟1知，其對立事件 。可以表示成 ∪ ，且 和 的概率容易求得，由步驟2，可直接利用加法定理。

解答：設A表示“所取數不能被6整除”，B表示“所取數不能被8整除”，則所求事件為AB。先求其對立事件的概率P（ ）=P（ ∪ ）。由于1～2000的整數中能被6整除的數有2000/6=333個，能被8整除的數有2000/8=250個，同時能被6和8整除的數，即能被24整

例3，（撲克牌問題）從52張撲克牌中隨機抽取18張牌，問抽取的牌中有炸彈（相同數字的4張牌）的概率是多少？

分析：容易判斷抽取的18張牌中最多有4個炸彈。如果設Ai表示“18張牌中恰好有i個炸彈”（i=0，1，2，3，4），則所求的概率為P（ ），根據步驟1，可以發現P（ ）=P（A1∪A2∪A3∪A4）。由于Ai互不相容，此時加法公式有如下簡單形式：P（A1∪A2∪A3∪A4）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）。利用步驟2，我們發現每個P（Ai）的計算都比較麻煩，因此由步驟3，我們需要考慮其他表示方法。

我們換一種思考方法：抽取的18張牌中可能包含炸彈1，2，…，13，且每個數字的炸彈最多1個。設A表示“抽取18張牌中包含炸彈”，即為所求事件。進一步設事件Ai表示“抽取的18張牌中包含炸彈i”（i=1，2，…，13），則A=A1∪A2∪…∪A13，我們得到了另一種表示方法。再次考慮步驟2，我們可以直接利用加法定理來計算。

解答：設A表示“抽取的18張牌中包含炸彈”，Ai表示“抽取的18張牌中包含炸彈i”（i=1，2，…，13），則P（A）=P（A1∪A2∪…∪A13）。由于18張牌中最多包含4個炸彈，所以任意5個Ai的積事件為空事件。因此，加法公式展開得到：

例4，（配對問題）設n個球1～n號隨機地放入n只盒子（標號為1～n）中去，一只盒子裝一只球，若一只球裝入與球同號的盒子中，稱為一個配對，試求至少有1個配對的概率。

分析：設A表示事件“至少有1個配對”。利用上述我們的解題步驟，首先考慮A的一種直觀表示方法：Ai表示事件“恰好有i個配對”，則A=A1∪A2∪…∪An，且Ai互不相容，此時加法公式可簡化為P（A）=P（A1∪A2∪…∪An）=P（A1）+…+P（An），但是求P（Ai）比較困難，根據步驟2，我們要考慮A的其他表示方法。此時我們設Ai表示事件“第i只球和第i號盒子配對”，則我們得到新的表示方法：A=A1∪A2∪…∪An。此時根據步驟2，Ai的概率的計算相對容易，可以直接應用加法定理求解。

三 結束語

關于加法定理的具體應用，本文給出了三個步驟，并且通過具體例子闡釋了如何基于這三個步驟來思考問題。

〔責任編輯：龐遠燕、汪二款〕