高等數學課程中多元函數積分學的教學感想

【摘 要】多元函數積分學是高等數學的核心內容，同時也是課堂教學中的難點，應當注重各類積分概念的引入和理論應用的講解，通過對各類積分計算的對比和聯系，形成統一的知識體系。

【關鍵詞】高等數學 多元函數 微積分

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）29-0054-02

多元函數積分學涉及的積分類型比較多，包括重積分、曲線積分和曲面積分，而這些積分之間又通過格林公式、高斯公式以及斯托克斯建立起來各種聯系。學生在學習過程中容易混淆各種積分概念，在計算時常常出現張冠李戴的事情。因此，在教學過程中采用合理有效的教學方法，積極發揮學生的探索精神就顯得尤為重要。

一 注重各類積分知識背景的引入，增強學生的學習興趣

高等數學的基本特征是其研究對象的高度抽象性。這一特性也恰恰決定了它的應用非常廣泛。事實上，這些抽象的概念往往來自于社會各個領域的實踐，具有非常強的實際應用背景。因此，多元函數積分學中每一個積分定義的引入應當讓學生感受到它就在身邊。比如，借助于密度函數，我們通過求平面薄片的質量引入二重積分，求空間立體的質量引入三重積分，求曲線形構件的質量引入對弧長的曲線積分，求曲面形構件的質量引入對面積的曲面積分。變力沿曲線做功可以通過對坐標的曲線積分來計算；電場、磁場在曲面上的通量就是對坐標的曲面積分。在教學過程中，我們應當首先把要解決的實際問題描述清楚，然后花較多的精力和時間帶領學生學習如何用“微元法”的思想求解上述問題，引導他們去逐步掌握這一思想的本質：“分割，近似，求和，取極限”。這樣細致的講解是很有必要的，一方面，上述這些物理背景都是具體的，看得見摸得著，比較淺顯易懂，能夠很好地闡釋各種抽象的積分概念，讓學生抓住各類積分定義的要點。另一方面，隨著課程的逐步深入，在多元函數積分學的物理應用方面，像轉動慣量、質心和引力等物理量將會陸續出現。學生可以通過對“微元法”思想的理解，自己獨立完成相關物理量計算公式的推導。當學生親身感受到多元函數積分學的實用性后，學習興趣自然就會得到提高。

二 教學過程中強調類比和化歸的思想方法，講透各類積分的共性和區別

多元函數積分種類繁多，計算方法復雜，學生掌握起來比較困難。教學過程中教會學生使用類比、化歸的思想去學習積分概念、性質及計算公式就顯得尤為重要。類比和化歸的學習方法便于學生形成統一的知識體系、培養學生的主動探索意識、認清概念間的關系及概念的本質。從各類積分的概念出發，以非均勻物體的質量為模型，我們可以將二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分

和對面積的曲面積分四個概念統一表示為：

（4）取極限： ，其中λ表示所有分割

微元 中直徑的最大者。分割的幾何形體Ω的不同又體現出不同類型積分的自身特征。比如Ω可以為平面有界閉區域（二重積分）、空間有界閉區域（三重積分）、分段光滑曲線弧段（對弧長的曲線積分）、分片光滑有界曲面（對面積的曲面積分）； 可以表示面積元素（二重積分）、體積元素（三重積分）、弧長元素（對弧長的曲線積分）、曲面面積元素（對面積的曲面積分）等。

從各種積分計算過程來看，可以把所有的多元函數積分計算過程統一為三步：（1）畫區域；（2）刻畫；（3）計算。具體來說，步驟（1）的主要目的是通過作圖來確定積分區域，它是積分計算的出發點。這需要學生具備較好的空間解析幾何知識，特別是各種常見的二次曲面的圖形以及各種曲線、曲面和空間立體在坐標平面上的投影。課程的實驗教學環節和現實生活中的建筑物（比如發電廠的冷卻塔以及廣州電視塔等）能夠讓學生對常見二次曲面圖形的印象更加深刻，拉近與曲面圖形的距離。步驟（2）是指學生需要準確地刻畫出積分區域，比如，用不等式來刻畫出平面有界閉區域、空間有界閉區域以及空間曲面在坐標平面上的投影區域；用參數方程來刻畫出分段光滑曲線弧段等。步驟（3）是指合理地選擇計算公式，并準確地執行。重積分的計算更多體現在坐標系的選擇和積分區域的不等式刻畫，不同坐標系下的計算公式也不盡相同，合理地選擇坐標系往往能夠簡化計算量；曲線積分的計算主要體現在曲線參數方程的確定，對弧長的曲線積分和對坐標的曲線積分都是化為定積分，定積分的上限和下限要分清，前者下限一定要小于上限，后者下限和上限分別對應積分弧段的起點和終點，并且兩種曲線積分可以相互轉化。曲面積分的計算多體現在曲面方程和投影坐標平面的確定，對面積的曲面積分和對坐標的曲面積分都是化為二重積分，都是將曲面投影得到二重積分的積分區域，相比前者，后者需由有向曲面的側定出二重積分前的符號，并且兩種曲面積分也可以相互轉化。

三 善于歸納總結，活用各種定理，提高解題效率

能夠熟練地進行微積分的基本運算是高等數學課程的教學目標之一。因此，學生多做一些習題是很有必要的。但是，初學者不能盲目地做題，而應當花更多的時間去思考各類積分的概念和基本定理，弄清楚解題方法的理論支撐。要善于總結和發掘解題經驗，靈活運用各類積分的相關性質和相關定理，提高解題效率。

第一，重積分的計算要注重坐標系的選擇和積分次序的交換。二重積分計算要注意在兩種坐標系下面積元素的不同形式；在直角坐標系下化二重積分為二次積分時，積分次序決定著計算的難易程度；選擇極坐標系計算二重積分的特征是：積分區域是與圓相關的平面區域。三重積分的計算要注意在三種坐標系下體積元素的不同形式；直角坐標系和柱面坐標系是計算時優先選擇的對象，計算方法主要分為兩類：先一后二（投影法）和先二后一（截面法）；球坐標系的選擇要慎重（積分區域稍復雜時，球坐標系下的不等式刻畫就比較困難），選擇球坐標系進行計算的特征是：積分區域為球面和圓錐面等所圍成的立體。

第二，定積分、重積分、對弧長的曲線積分和對面積的曲面積分都可以利用積分區域的對稱性和被積函數的奇偶性簡化計算。對坐標的曲線積分和對坐標的曲面積分也可同樣操作，但情況相對比較復雜（除了積分區域的對稱性和被積函數的奇偶性外，還要考慮積分曲線弧、積分曲面的方向）。

第三，格林公式和高斯公式分別是計算對坐標的曲線積分和對坐標的曲面積分的優先選擇。但是，使用上述公式時需要驗證它們的條件：曲線（曲面）的正向和封閉性；被積函數在積分區域上是否具有一階連續偏導數。不滿足封閉性時要求輔助線（面）的做法力求簡單有效，便于計算。比如，格林公式中多選擇平行坐標軸的直線段，而高斯公式中多選取平行坐標平面的平面，同時被積函數要求在添加輔助線（面）后的封閉區域內具有一階連續偏導數。

第四，計算對坐標的曲線積分時，當發現對坐標的曲線積分與積分路徑無關的條件成立時，就可以選擇比較簡單的路徑替代原路徑，但需注意被積函數在新路徑與原路徑所圍積分區域上必須具有一階連續偏導數。計算對坐標的曲面積分時，當發現選擇高斯公式比較麻煩時，兩類曲面積分之間的轉換公式經常可以拿來嘗試簡化計算。

第五，多元函數的各類積分在物理上的應用都非常廣泛。非均勻物體的質量、轉動慣量、質心和引力等問題，不僅利用重積分可以求解，而且對弧長的曲線積分和對面積的曲面積分也能用來計算它們，這就要求學生在計算時一定要弄清楚非均勻物體對應的積分區域是什么樣的幾何形體Ω。比如，Ω是平面上的閉區域和空間上的立體閉區域就分別對應二重積分和三重積分；Ω是曲線和曲面就分別對應對弧長的曲線積分和對面積的曲面積分。遇到變力沿曲線做功問題時就對應對坐標的曲線積分，遇到流量問題時就對應對坐標的曲面積分。

參考文獻

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〔責任編輯：龐遠燕、汪二款〕