在樸素與深刻中前行

摘要：為解決數學知識的掌握與運用存在粗淺、零散、呆板的問題，通過實踐研究發現，深刻地理解與把握數學知識是提高數學教學質量的重要前提。在豐富數學知識教學視角的同時，要熟悉和使用的實施策略主要有抵達本質以構筑成精致化的數學模型、積累經驗以建立起個性化的數學理解、學用一致以提升到策略化的數學水平。

關鍵詞：數學知識;掌握與運用;兒童數學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2015）02-0101-05

人怎樣理解知識，就會有什么樣的教育。剛開始教學那陣子，筆者對小學數學知識的認識也就僅僅停留在數學課本中所涉及的內容層面。與不少教師一樣，筆者曾經歷過埋頭傳授書本知識讓學生勤加練習從而取得驕人排名的教學狀態，也經歷過以教育情懷高呼兒童立場從而更多關注數學知識之外能力培養、素養積淀和生命關懷的教學狀態。而現在，筆者對數學知識教學的認識則相對較為成熟和理性。其實，學生數學能力的發展、素養的提升以及對個體生命的關懷就在具體知識的掌握與運用過程之中。

一、數學知識教學的主要視角

（一）核心知識與知識核心相結合

核心知識，是指那些結構明確、適用范圍廣、自我生長和遷移能力強的基礎知識，主要包括基本原理、基本關系、基本方法、基本問題等四個方面。它們在數學課程和教材中處于重要的、不可或缺的基礎和主干地位，具有內在邏輯的連貫性和一致性。[1]

知識核心，即知識的核心。就所有數學知識而言，知識核心是指對數學意義作出創造與解釋;就單個數學知識而言，知識核心是指知識構成要素中最為核心的元素。比如“方程”有兩個元素，即“含有未知數”和“等式”。其中，“等式”比“含有未知數”更為緊要，因為方程是特殊的等式而已，“方程”的知識核心是“等式”，所以我們對“方程”的認識要從認識相等關系開始，進而抽取等式，再介入含有未知數的特殊等式——方程。

數學知識和方法的發生、發展以及相應的實踐和應用過程，常常會出現一些似是而非的信息、出人意料的障礙甚至是令人沮喪的困惑。“核心知識與知識核心相結合”，即試圖以核心知識來統率教學內容，有效降低知識點的零散程度，體現前后學習的連貫性和一致性，以知識核心來導引兒童主觀意義與數學客觀意義的盡量統一，在創造與解釋過程中讓學生改變思維方向有拐杖，逼近問題本質有臺階，突破經驗局限或思維障礙有手段。

（二）作為過程的知識與作為結果的知識相結合

從知識發生的意義上講，知識包括過程性知識和結果性知識，前者是后者產生的基礎，后者是前者的邏輯產物。作為過程的知識主要包括知識創造的理想、目標、意趣、情感、審美、思維方式、操作程序與方法、活動經驗等等，而作為結果的知識主要體現為知識的陳述形式和邏輯體系，如概念、公式、原理、圖表等等。[2]

一方面，我們關注作為結果的知識，就是要關注數學內容的形式性和結論的科學性。其中，尤其要關注個體經過思維的抽象加工、提煉的結果是一種概括性認識，呈現簡約、凝練的特征。另一方面，關注作為過程的知識，就是要關注數學發現的經驗性，認識到數學是常識的提升、經驗的總結那一面，將探究、能力、智慧引入知識概念，使靜態的知識動態化、活化，復現知識多方面的育人價值。

教育實踐表明，在短期時間范圍內，數學教學的最終結果是作為結果的知識得以記憶和外顯，形成一種數學運用的能力和水平，而作為過程的知識則會逐步被忘記和隱退，但從長遠來看，作為過程的知識最終會促進人的生長和成熟，并慢慢累積和沉淀成一種數學習慣和素養。

（三）會運用知識與運用知識水平高相結合

數學問題解決是以思考為內涵，以問題目標為定向的心理活動過程，其實質是運用已有的知識去探索新情境中的問題結果。[3]我們曾經以訪談形式向學生調查了解到，學生認為自己不會運用知識解決問題，主要有三個原因：一是教師傳授了新知識，卻沒有講怎么解決問題（包括如何將生活問題轉換成數學問題，如何把條件不斷地轉換和加工）;二是學生對題目的意思不了解或了解不全面;三是學過的知識記憶不準確或張冠李戴用錯了。

運用知識解決問題好比學開車，會開車的人不少，而開車水平高的人卻不多。因為開車的水平既與駕車的操作熟練程度有關，也與對路況的熟悉程度有關，還與有心挑戰自我不斷總結駕車經驗有關。學生解決熟悉的題目可謂駕輕就熟，而解決陌生的題目則時常如同開車遇到意外會出現操作不當的情況。運用知識解決問題水平高的學生，往往基礎知識掌握牢固，基本技能熟練扎實，勇于挑戰新題目，善于聯系、區分問題的性質和結構，能及時總結解題方法和經驗。

會運用知識與運用知識水平高相結合，就是指通過教學活動著力于“怎么想到這種解題方法的”、“問題的全部意思（包括背后隱含的信息、問題性質以及結構）是什么”、“如何探索新知識才能做到知行合一，學用一致”三大問題的思考和解決，盡可能地讓所有學生都會運用知識解決基本的數學問題，并促進多數學生形成高水平解決問題的能力。

二、數學知識教學的基本策略

書本知識在很大程度上只是一種認識結果與產品的記載，它很少能夠反映出知識當初被生產、被發現的原始認識過程，這種原始認識過程是相當復雜、曲折、豐富的，其中包含知識初創者大量的直覺與想象、猜測與反駁、觀察與試驗、反省與推理等，使學生的思維復歸這一原始的認識過程，這本身就具有極大的思維訓練價值。[4]因此，我們既要重視理性知識的發生和發展，還要充分發揮感性知識、個體經驗的教學價值。

（一）抵達本質，構筑成精致化的數學模型

重視對知識本質的分析和把握，逐步聚焦，由粗到細，有利于學生在最佳學習的時限內較為準確地把握數學內容的本質，建立知識間的實質性聯系，形成合理的知識結構和認知結構。

課例：《認識正比例》

（1）認識相關聯的量

出示：路程、已完成的工作量、圓的面積、商品數量、總價、時間、剩下的工作量、長方形的周長。

同學們，數學上有許多種量。量和量之間有的相互有關，有的沒有直接關系。在這幾個量中，哪兩種量是有關系的量？

我們把像數量和總價、時間與路程、已完成的工作量與剩下的工作量這樣兩種有關系的量稱作“兩種相關聯的量”，并板書。

相關聯的兩個量，往往一個量變化，另一個量也會隨著發生變化。下面我們就以這三組相關聯的量為例，研究兩種相關聯的量變化的規律。

（2）發現變化規律

表1：一輛汽車在公路上行駛

表2：小紅寫毛筆字

表3：購買一種鉛筆

兩個相關聯的量，一個量是怎樣隨著另一個量的變化而變化的？變化規律是什么？

哪些表格中兩個量的變化規律有共同性？

小結：表1和表3中都是一個量隨著另一個量同時擴大或者同時縮小，表2的變化情況和它們不一樣。

（3）重點研究表1和表3

據表1中對應的兩個數，寫出幾組路程和時間的比，求出比值，看看你能發現什么。板書：路程/時間=速度（一定）

表3中的對應的總價和數量的比是否比值也一定呢？這個比值表示的是什么？板書：總價/數量=單價（一定）

（4）揭示正比例的意義

通過觀察和計算，發現路程和時間的關系、總價和數量的關系，它們有什么相同的地方？兩種相關聯的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，并且它們的比值一定時，我們就說這兩種量成正比例，這兩種量是成正比例的量。

（5）介紹字母關系式：y/x=k（一定）

（6）學生用自己的語言表述正比例的意義，并回答：兩個量成正比例需要符合什么條件？

（7）追問上述表2：小明寫毛筆字“已完成的工作量”和“剩下的工作量”這里的兩個數量，是否符合正比例的要求，為什么？

（8）基礎練習：張師傅生產零件的數量和時間成正比例嗎？為什么？

（9）變式練習：一輛車在公路上行駛，行駛的時間和路程如下表：

討論：這輛車行駛的時間和路程成正比例嗎？為什么同樣是時間和路程這兩種相關聯的量，在前面我們說它們成正比例，在這里又說它們不成正比例了？

“正比例”是數學核心知識序列內容之一，在具體教學時如果教學過程的展開過于單一和機械，學生往往對正比例的意義不能有較為清晰的理解和認識，自然也就不能準確地判斷兩個變化的量是不是成正比例。“正比例關系”的本質是“相關聯”和“比值一定”。而生活中的實例有相關聯和不相關聯之分，相關聯的有除法關系和非除法關系之分，除法關系中的數據有比值一定和不定之分。為抵達這一本質，我們采取了逐步聚焦，漸次逼近的方法。上述教學先是從眾多量之中尋找相互有關系的，形成一個很大的認識“相關聯的量”的“底盤”，之后，再說明“兩種相關聯的量一個變化時，另一個會隨著發生變化”。基于三組量的規律探討，經過“去粗存精”式的篩選，層層推進，走到了“正比例關系”和“成正比例的量”的面前，再進行了字母式（數學模型）的表達介紹，也就完成了對正比例的表征，即數值表示（表格）和解析式（關系式）表示。

（二）積累經驗，建立起個性化的數學理解

人類一切活動和經驗的特征就在于對意義的關注，任何事物、人物、觀念、事件都是作為“同我們有關系的東西”來經驗的。教師和學生是數學學習的共同體，就學生對知識掌握的難易程度而言，無論是比較困難的，還是相對容易的，教師都應盡可能地鼓勵、引導或幫助學生以自己的方式和言語去創造、觸摸、揭示知識的意義。

課例：《確定位置》

（1）你們班的班長是誰？坐在哪兒？（表示位置的說法主要有三類：“A同學的右邊一個”;“第三組第四排左邊”和“第三組倒數第三排左邊”;“第五小組第四排”和“第五小組倒數第三個”）

（2）哪種說法更為簡單、直接？第三類說法只用兩個方位語，比如，“第五小組”、“第四排”，而第二類用了三個方位語，比如“第三組”、“第四排”、“左邊”，第三類說法簡單些，又比第一類說法明確。因為我不認識A同學，不知道他（她）的位置，所以“A同學的右邊一個”說法不夠直接。

（3）課件同步演示，教師介紹另一種只用兩個方位語表示位置的說法，即豎為列，從左往右數，第5列;橫為行，從前往后數，第4行。班長的位置可以說成“第5列第4行”。

（4）說一說指定同學的座位位置。

（5）學生自創“第5列第4行”更簡明的表示方法，主要作品見下圖六種記法。

（6）學生代表介紹自創表示法的意思

（7）教師針對第六種簡明寫法，介紹用數對表示位置的方法及具體意義

數學教學最難的莫過于把“數學規定”變成屬于學生自己的個性化的理解。上述教學，在不停地打開經驗、轉變經驗和拓展經驗的過程中，學生為我們展現了樸素而又不失生動，深刻而又不顯艱澀的學習圖景。在“說一說班長的位置”活動中，學生被打開的經驗主要是生活經驗，這當中表示位置的說法有表達不夠直接的和不夠簡單的，同時還有“第幾列第幾行”的原型“第幾組第幾排”。在此基礎上正式介紹用兩個方位語描述位置的另一個說法“第幾列第幾行”，由生活經驗“第幾組第幾排”向數學經驗“第幾列第幾行”成功轉變。在學生用“第幾列第幾行”說出幾個指定同學的位置后，組織學生自創“第5列第4行”的簡明記法，自然地引出用數對表示位置，順應了學生對知識主動創造與解釋的心向，從而把數學經驗向遠方拓展延伸。

（三）學用一致，提升到策略化的數學水平

教學不單是傳授知識，更重要的是培養學生獨立獲取知識和運用知識的能力。單純書本知識的教學不僅導致學生對知識的一知半解，而且造成知識與行動、學習與運用的嚴重分離，最終致使兒童喪失思維的活力，壓抑兒童的創造潛能。借助感官，通過參與活動和充分對話的方式進行學習能有效地促進知行結合、學用統一。

課例：《組合圖形面積的計算》

（1）復習平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式

（2）投影例10：華豐小學校園里有一塊草坪（如圖1），它的面積是多少平方米？你準備怎樣算？在小組內交流。

（3）全班交流思路，主要有三種方法（如圖2、圖3和圖4），教師相機板書“長方形+梯形”、“三角形+長方形”、“三角形+梯形”。

（4）討論另一種思路（如圖5）的可行性，此方案理論上似乎可以，但實際計算時發現底為4米的直角三角形，缺少高的數據，無法準確推算，故此方案未獲通過。同時，友情提醒部分學生“直角三角形的高看上去應該是2m”不夠謹慎，所需數據要么是題目直接提供，要么是有根據地推算得出，不可以僅憑主觀斷定。

（5）組織學生對“把草坪分成三塊（如圖6）甚至更多塊來計算”的思路給出中肯評價

（6）交流另外兩種方法，相應配圖如圖7、圖8。教師相機板書“長方形-梯形”、“梯形-三角形”，并重點討論圖8思路所補的那塊三角形計算面積的數據是否齊全，確信底為4米的鈍角三角形的高是15-12=3m。

（7）討論課本為什么只提供了兩種方法（如圖2和圖7）

觀點有：①編書的人沒有我們聰明②要求我們必須掌握這兩種方法③版面印刷不允許④只是想引起我們進一步探索⑤這兩種方法是兩種思路的代表而已。

（8）師生達成共識，把方法“長方形+梯形”、“三角形+長方形”和“三角形+梯形”歸類為“先割再加”的策略，把方法“長方形-梯形”和“梯形-三角形”歸類為“先補再減”的策略。

（9）要求學生從解決問題的兩種策略中各選一種方法，進行列式計算

（10）補充問題：每個草坪燈照明覆蓋范圍大約3平方米，這塊草坪共需裝多少盞草坪燈？

上述例題教學，重視提高學生獨立運用知識解決問題能力的培養。當一名學生在受到思路“把草坪分割成兩個常見的平面圖形，完成各自的面積計算后再合起來”的啟發，終于想出了不同于前面三種的分割方法（如圖5）時，筆者給出了具有破題式的指導“僅憑主觀認為‘直角三角形的高看上去應該是2m’不夠謹慎”。而當有學生建議可以“把草坪分成三塊（如圖6）甚至更多塊來計算”時，又給出了立題式的指導“可以是可以，但計算量隨之增大了，未見得有前面幾種方法來得簡便省事”。最后，筆者借用例題主題圖進行煉題式延伸“每個草坪燈照明覆蓋范圍大約3平方米，這塊草坪共需裝多少盞草坪燈？”引導學生回溯乘除法運算的意義，加工信息“每個草坪燈照明覆蓋范圍大約3平方米”為“3平方米的地方對應著1盞燈”，進行破題心理還原和再現“要求129平方米的地方對應著幾盞燈，只需要看129平方米里面有幾個3平方米，也就是求129里面有幾個3，當然是用129÷3=43（盞）”，有效避免了錯誤“129×3=387（盞）”的出現。

參考文獻：

[1]魏光明.走近數學“核心知識”教學[J].江蘇教育，2011（4）.

[2]潘洪建.教學知識論[M].蘭州：甘肅教育出版社，2004：101.

[3]金成梁.小學數學課程與教學論[M].南京：南京大學出版社，2005：92.

[4]夏正江.論知識的性質與教學[J].華東師范大學學報，2000（2）.

責任編輯：石萍

Reflection on and Practice of Mathematics Knowledge Teaching

ZHU Xiao-ping

（Yangzhou Meiling Primary School， Yangzhou 225002， China）

Abstract： To find solutions to the problems in the grasping and applying of mathematics knowledge such as superficial， scattered and inflexible， we carry out empirical studies， which reveals that the important precondition to deeply understand and master mathematics knowledge is to improve the quality of mathematics teaching. We should enrich the perspectives of mathematics knowledge teaching and meanwhile we should be familiar with and make use of some strategies including that essence should be reached to make delicate models， that experience should be accumulated to have a personal understanding of mathematics， and that learning should accord with application to promote mathematics levels strategically.

Key words： mathematics knowledge; grasping and applying; mathematics for children