解析幾何中常見的最值求法

【摘 要】詳細講解解析幾何中常見的求最值的方法，即運用“結合‘幾何意義’求最值，結合‘代數特征’選方法”兩種策略來進行求解。

【關鍵詞】高中數學 圓錐曲線 解析幾何 最值

【中圖分類號】 G 【文獻標識碼】 A

【文章編號】0450-9889（2015）07B-0121-02

最值問題是數學高考的熱點，也是解析幾何綜合問題的重要內容之一。圓錐曲線的最值問題幾乎是高考的必考點，它融解析幾何、函數、不等式等知識為一體，是綜合試題考查的核心，對解題者有著相當高的能力要求，但其解法仍然有章可循，有法可依。

解析幾何求最值常見類型之一是直接根據題意，利用幾何關系或代數特征的幾何意義求最值。另一種類型是先根據條件列出所求目標的函數關系式，轉化為前一類型或根據函數關系式的特征選用函數法、不等式法等求出它的最值。本文從幾個例子介紹解析幾何最值問題的幾種常見類型和方法。

一、結合“幾何意義”求最值

（一）兩線段距離的最值問題

這是圓錐曲線最值問題的基本方法，根據圓錐曲線的定義，把所求的最值轉化為平面上兩點之間的距離、點線之間的距離等問題來解。例如：

已知點F1，F2是雙曲線的左右焦點，點 A（1，4），P 是雙曲線右支上動點，則│PF1│+│PA│ 的最小值是多少。

解析：根據雙曲線的定義，建立點 A，P 與兩焦點之間的關系，發現兩點之間線段最短。即

│PF1│+│PA│=│PF1│-│PF2│+│PA│+ │PF2│=2a+│PA│+│PF2│≥4+│AF2│=9。

（二）特定代數式的最值問題

因為一些數學概念如斜率、截距、兩點距離等有特別的代數結構特征，可以根據這些表達式特征把所求的最值轉化為平面上兩點之間的距離、直線的截距或直線的斜率等問題來解。例如：

已知實數x，y滿足方程x2-6x+y2+6=0 。求① 的最大值；②y-x最小值；③x2+（y+2）2的最小值。

解析：①因為的幾何意義是圓x2-6x+y2+6=0上的點 （x，y）與定點（-1，0）連線的斜率，由數形結合算得最大值為 。

②令y-x=b的幾何意義是與圓x2-6x+y2+6=0有交點的平行直線系y=x+b 在 y 軸上的截距，數形結合算得最小值為 -3-。

③x2+（y+2）2的幾何意義是圓x2-6x+y2+6=0 上的點到定點 （0，-2）的距離，數形結合算得最小值是- 。

（三）曲線本身的最值問題。

注意圓錐曲線本身存在一些最值問題。如，橢圓上兩點間最大距離為 2a；雙曲線上兩點間最小距離為 2a；橢圓上的點到焦點的距離的取值范圍為 （a-c，a+c）；拋物線上的點，頂點與拋物線的準線距離最近；另外還有圓內最長的弦為圓的直徑等。例如：

（2014年高考江西理第9題）在平面直角坐標系中，A，B 是 x，y 軸上的動點，若以 AB 為直徑的圓 C 與直線 2x+y-4=0 相切，則圓 C 面積的最小值。

解析：依題意可知點O在圓上，求圓C面積的最小值就是求最小半徑，而點O到切線2x+y-4=0 的距離為圓C的直徑，此時的半徑最小。

所以圓C面積的最小值為 。

（四）曲線與直線距離的最值問題。

圓錐曲線上點到某條直線或曲線的距離的最值問題可利用“相切法”，通過求與這條直線平行的圓錐曲線的切線，則兩平行線間的距離就是所求的最值，切點就是曲線上取得最值的點。例如：

在拋物線 y=x2上的點 P 到直線 3x-2y-16=0 的最短距離。

解析：可先求拋物線 y=x2與直線 3x-2y-16=0 平行的切線方程，再求兩條平行線的距離即可。

又如：

（2014年高考福建理第9題）求圓x2+（y-6）2=2上的點P和橢圓 +y2=1上點Q的最大距離。

解析：先求與橢圓+y2=1相切的同心圓x2+（y-6）2=r2的半徑，再由屬性結合可知r+ 就是其最大距離。

二、結合“代數特征”選方法

把所求最值的目標表示為關于一些變量的表達式，通過研究這個表達式選擇方法求最值，是圓錐曲線中求最值最常見的題型。這種題型要求比較高，首先需要對題意充分理解，并結合題意通過基本運算得出目標最值的代數表達式，還要求確定該表達式是否有前面敘述的幾何意義，最后選擇恰當的代數方法求最值。

（一）函數法

如果得到的表達式是關于某個變量的函數，選擇函數求最值的方法，比如求一般函數最值的單調性法、換元法、導數法、二次函數的配方法、三角函數的有界性等。例如：

拋物線y2=4x上兩點 A（4，4），B（1，-2） 的連線為底邊的 △ABP，其頂點P在拋物線的弧 AB 上運動，（下轉第123頁）（上接第121頁）求 △ABP 的最大面積及此時點P的坐標。

解析：要求 △ABP 的最大面積，即要求出點 P 到直線 AB 距離 d 的最大值。設點 P ，求出直線 AB 的方程，由 ，且-2

（二）不等式法

如果得到的表達含有一個或者一個以上的變量，若由其結構特征利用一般函數的方法比較復雜、運算量大或者不能當成一個函數時，考慮利用不等式法求最值，常見的有基本不等式與柯西不等式等。例如：

（2014四川高考理第10題）已知 F 為拋物線y2=x的焦點，點 A，B 在拋物線上且位于 x 軸兩側，=2 ，（O為坐標原點），求 △ABO 與 △AFO 面積之和的最小值。

解析：依題意，設出直線 AB 的方程，設 A（x1，y1）， B（x2，y2），將所求面積S△ABO+S△AFO表示為某一變量的函數，即 ，最后選擇利用基本不等式，即 ，得其最小值為3。

再如：

（2014年高考湖北卷理第9題）已知F1，F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，點 P 是它們的一個公共點，且∠F1 PF2=，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值。

解析：依題意，設橢圓和雙曲線的離心率為e1e2，由余弦定理在橢圓和雙曲線中分別化簡消元后得，最后選擇柯西不等式

解得

當且僅當時等號成立。

解析幾何最值問題的類型和解決方法較多，綜合性較強，弄清題意的同時結合運算，在運算中發現并選擇方法，有些題目可以用多種方法解決，注意判斷選取適當的方法。在學習實踐過程中善于總結積累經驗，才能在遇到此類問題時心中有數，有章可循，有法可依。

（責編 盧建龍）