自然對數(shù)底e在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用

【摘 要】本文從自然對數(shù)底e的由來出發(fā)，結(jié)合自然對數(shù)底e與其極限的關(guān)系，探究并總結(jié)其極限形式在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，進(jìn)而說明標(biāo)準(zhǔn)極限形式的使用價值。

【關(guān)鍵詞】自然對數(shù)底e 數(shù)列極限 復(fù)利律 自然律

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）12-0071-01

一 自然對數(shù)底e的由來

e作為數(shù)字常數(shù)，我們會經(jīng)常用到，在高中的課本上我們第一次認(rèn)識它。e是自然對數(shù)函數(shù)的底數(shù)，有時稱它為歐拉數(shù)，是以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的。e是怎么來的呢？在歷史上，自然對數(shù)底e曾和一個商人借錢的利息息息相關(guān)。從前，有個商人向一個財主借錢，但是財主有個條件：每借1元，一年后的利息是1元，年利率100%，即一年后連本帶利還2元；財主好高興，利息好多啊！財主仔細(xì)算著，半年的利率為50%，本息是1.5元，一年后還1.52=2.25元。如果半年結(jié)一次賬，利息豈不比原來還多，那如果一年結(jié)3次，4次……365次，那不是發(fā)財了嗎？

財主算了算，每年結(jié)算3次，1元錢到期的本息和是：

（1+ ）3=2.37037……元，每年結(jié)算4次，1元錢到期的

本息和是：（1+ ）4=2.44140……元，財主又想，一年結(jié)

算1000次：（1+ ）1000=2.71692……元。結(jié)果令財主

大失所望，他本想結(jié)算次數(shù)越多，利息增長得越快，沒想到

（1+ ）n的值隨著n的增大而增大，但是增加的數(shù)值極其有

限，并且不管結(jié)算多少次，連本帶利的總和不可能突破一個

上限。數(shù)學(xué)家歐拉把（1+ ）n的極限記作e。e=2.71828……，

即自然對數(shù)的底。

二 自然對數(shù)底e的應(yīng)用

1.關(guān)于復(fù)利計算的應(yīng)用

生活中關(guān)于e本身的應(yīng)用不是很多，但是它的極限形式

（1+ ）n有很多重要的應(yīng)用。以e為底的對數(shù)叫作自然對

數(shù)，它自然反映的是與自然界的現(xiàn)象有關(guān)的函數(shù)關(guān)系，我們把以e為底的指數(shù)或?qū)?shù)和自然界的關(guān)系叫作自然界的復(fù)利律。愛因斯坦說：復(fù)利是世界第八大奇跡，世界上最偉大的力量不是原子彈，而是復(fù)利。復(fù)利的計算是對本金及其產(chǎn)生的利息一并計算，也就是利上有利，它的計算特點是，把上期末的本利和作為下一期的本金，在計算時每一期本金的數(shù)額是不同的，其計算公式是：s=p（1+i）n。其中s=總和，p=本金，i=利率，n=持有期限。

2.關(guān)于信道容量的應(yīng)用

信道容量是信道的一個參數(shù)，反映了信道所能傳輸?shù)淖畲笮畔⒘浚浯笮∨c信源無關(guān)。對不同的輸入概率分布，互信息一定存在最大值，我們將這個最大值定義為信道的容量。信道容量分析是信息論研究的重要內(nèi)容，帶限加性高斯白噪聲信道的容量分析是一類典型的問題。帶限是指傳輸通道的頻帶限定在某一范圍內(nèi)，設(shè)帶寬為B，干擾噪聲為加性噪聲，且服從均值為零，方差為N0的高斯分布，設(shè)可用的總功率為PS，由著名的香農(nóng)信道容量公式，得平均信道容量

為：C（PS）=Bln（1+ ）。根據(jù)公式分析，同時增加帶

寬和發(fā)射功率，在一定條件下可以使信道容量增加，在擴頻

通信中，如CDMA系統(tǒng)中常采用這樣的方法。在 固定

的情況下，增加傳輸信號占用的頻帶，則可以擴大系統(tǒng)容量。但是在衛(wèi)星通信中，頻譜資源非常豐富，而能量資源有限，PS不能無限增加，在PS固定的情況下，如果通過增加帶寬

增加容量呢？ ，根據(jù)這

個極限形式，我們發(fā)現(xiàn)，無限增加帶寬帶來的容量增加是有限的。通過這些簡單的極限計算，我們能認(rèn)識到這種方法的局限性，也避免了盲目的嘗試。

3.數(shù)學(xué)美之自然對數(shù)底e

說到數(shù)學(xué)美，最先想到的必定是“一”，它具有更多的變換群作用下的不變性，是擁有自然普遍規(guī)律的表現(xiàn)。可以與之媲美的自然是自然對數(shù)底e，它有著直線的剛勁與坦率、曲線的優(yōu)美與含蓄。

自然律是e及由e經(jīng)過一定變換和復(fù)合的形式，e是自然律的精髓，也是自然律量的表達(dá)。自然律的形象表達(dá)是螺線，螺線的數(shù)學(xué)表達(dá)式通常有五種：（1）對數(shù)螺線；（2）阿基米德螺線；（3）連鎖螺線；（4）雙曲螺線；（5）回旋螺線。英國著名畫家和藝術(shù)理論家荷迦茲很早便體會到，旋渦形和螺線形逐漸縮小到它們的中心，都是美的形狀。

自然律一方面體現(xiàn)了自然系統(tǒng)朝著一片混亂方向不斷瓦解的崩潰過程（如元素的衰變），另一方面又顯示了生命系統(tǒng)只有通過一種有序化過程才能維持自身穩(wěn)定和促進(jìn)自身的發(fā)展（如細(xì)胞繁殖）的本質(zhì)，正是具有這樣把有序和無序、生機與死寂予以同一形式的特點，自然律才是在美學(xué)上有重要價值。

自然對數(shù)的底及其極限形式在生活中的應(yīng)用還有很多，需要我們善于挖掘與總結(jié)。

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〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕