高中數學拋物線兩個結論的推導

【摘 要】筆者在研究拋物線時發現了拋物線的兩個結論，拋物線上的切線有很多性質，它能和許多角聯系起來，解決一些角與角的轉換問題，通過參考文獻，筆者現將之整理成文，現與大家共同探討。

【關鍵詞】拋物線 切線 角平分線 重要結論

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）12-0128-02

一 兩個結論

結論1：如圖1，F是拋物線的焦點，M是拋物線上任意一點，MT是拋物線在M的切線，MN是法線，ME是平行于坐標軸的直線，則法線MN必平分∠FME，即φ1=φ2。

結論2：如圖2，M、N、P三點在拋物線的準線上，M、N在P點異側，F是拋物線的焦點，過P向拋物線引兩條切線PA、PB，則PA、PB平分∠FPM，∠FPN。

上述兩個結論主要考查直線、拋物線、曲線的切線等基礎知識，考查數形結合、函數與方程、化歸與轉化的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創新意識。

二 通性通法分析

比較這兩個結論可以看出它們的共同特征：（1）條件：拋物線上的切線問題，給定拋物線C：y2=2px。結論1是在拋物線上任取一點M做一條切線MT，結論2是從拋物線準線上任取一點P向拋物線上引兩條切線PA、PB。切點為A、B；（2）研究的問題相近：切線平分角的問題，涉及直線與焦點有關。查閱高考試題及有關高中的數學資料，可以找到諸多與此相似的問題，由于拋物線方程可以看作為函數的表達式，因而研究的思路更加寬闊、活躍，在高考試題中頻頻出現。

求拋物線切點弦所在直線方程的常見通法是：設出切點坐標，用導數表示切線的斜率寫出切線方程，利用已知點在切線上展開思路。（2）聯立方程研究位置關系。利用已知設出切線方程，聯立切線方程與拋物線方程，利用判別式為0展開思路。（3）待定所求直線方程，通常用斜截式。聯立直線方程與拋物線方程，用韋達定理列出切點坐標，再利用導數的幾何意義列式消參求出所待定的系數。用導數求切線的斜率和聯立方程研究直線與拋物線的位置關系均為課標的要求，在人教A版教材中的例、習題中都有相應的題目。

三 解題思路和策略

兩個結論都先從導數的幾何意義入手，將切點坐標設出來。

結論1是根據兩垂直直線斜率之積等于-1，根據點斜式寫出垂直與切線且經過切點的直線方程，計算出此直線與拋物線軸的交點坐標N，計算出|FN|和|FM|的長度，判斷出△FNM是等腰三角形，再根據ME∥軸線推出內錯角相等，即證。詳細證明過程如下：

結論1證明：取坐標系如圖，設此時拋物線方程為y2=2px（p>0），因為ME平行x軸（拋物線的軸），∴φ1=φ2，設點M的坐標為（x0，y0），對y2=2px兩邊求導得：2yy′=2p。

即： 所以，直線MT的斜率為 。

則法線MN的方程是y-y0=- （x-x0），令y=0，

便得到法線與x軸的交點N的坐標（x0+p，0），所以|FN|=

|x0+p- |=x0+ ，又由拋物線的定義可知，|MF|=x0+ ，

∴|FN|=|FM|，由此得到φ1=φ2=φ3，若M與頂點O重合，

則法線為x軸，結論仍然成立。

結論2是設出切點坐標，利用點斜式寫出切線PA所在的直線方程，根據角平分線定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，得出切點A到準線的距離與切點A到PF的距離相等。得出PA平分∠FPM，同理得出PB平分∠FPN。

詳細證明過程如下：

所以點A到FP的距離等于點A到準線的距離，故PA平分∠FPM，同理PB平分∠FPN。

四 學生應該突破的瓶頸

第一，在解題過程中，不會應用導數的幾何意義。導數是解決函數問題的重要工具，導數的幾何意義使得求曲線的切線方程十分便捷。

第二，沒有養成用數學思想指導、分析問題的好習慣。這類問題的典型特征是變量多、關系式復雜，容易使學生迷失方向，看到很多式子不知如何推算。而產生這種問題的原因是沒有用數學思想去指導分析問題，沒有從整體上對解題進行規劃，明確解題的方向路線。解題思路是圍繞如何選擇有效途徑消參來展開，推算則不再盲目。

參考文獻

[1]王誠祥、馬家祚主編.直線與圓錐曲線[M].南京：河海大學出版社，2006

[2]傅建紅.圓錐曲線綜合問題[J].數學教學通訊：數學金刊（高考），2013（1）

[3]龔偉楓、吳潔.圓錐曲線新解[J].高等數學研究，2013（4）

〔責任編輯：林勁〕