中職數學中圓錐曲線定義教學法

【摘 要】本文選用六個非常巧妙的體現圓錐曲線定義的典型例題進行兩兩類比分析講解，來鞏固和強化橢圓、雙曲線、拋物線的定義。

【關鍵詞】橢圓 雙曲線 拋物線 定義 典例

【中圖分類號】G712 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）12-0171-02

基于中職生薄弱的數學基礎，圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的定義讓他們理解起來相當費勁。作為中職數學教師，如何讓圓錐曲線的定義在學生心中根深蒂固，筆者通過多年的中職教學經歷，采取選擇典型范例輔助教學的方法取得較好的教學效果。選用體現圓錐曲線定義的典型例題，最好能夠非常巧妙地讓定義在解題中發揮作用，通過引導學生解決你所選的典例，讓學生體會到運用定義后問題的解決水到渠成，思路茅塞頓開，頭腦豁然開朗，今后觸類旁通。下面舉六個典例供讀者分享。

一 體現橢圓定義的典型范例

橢圓有兩個定義。第一定義：平面內動點P到兩個定點F1，F2的距離的和為常數2a（2a>|F1F2|）的點的軌跡，其中兩個定點F1，F2是橢圓的焦點。用數學語言描述為：|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，其中2a>2c>0。第二定義：平面內動點P到定點F的距離與動點P到定直線距離的比為常數的點的軌跡。其中定點是橢圓的一個焦點，定直線是相應于該焦點的一條準線，常數是該橢圓的離心率。橢圓的離心率0

例1：點P是橢圓 上一點，F是橢圓的左焦

點，其中 ，求點P到該橢圓的左準

線的距離。

分析講解：（邊講邊畫示意圖）由 ，得

知點Q是PF的中點，要求點P到左準線的距離|PN|，由橢

圓的第二定義，有 ，要求|PN|，必須先求|PF|，

而題目已知 ，若把點P與該橢圓的右焦點F′連線，則不難發現直線OQ是△PFF′的中位線，由 ，得 ，知道了 ，如何求|PF|呢？這時引導學生思考，學生會很自然地想到橢圓的第一定義的運用。由橢圓第一定義得|PF|+|PF′|=2a=10，而|PF′|=8，故|PF|=2，把|PF|=2

帶入 不難算得 。該題非常巧妙地滲透了

橢圓的兩個定義，真所謂一題兩義，一石二鳥，一箭雙雕，通過該題可以讓學生對橢圓的兩個定義有個更好的記憶媒介，從而讓橢圓的兩個定義在學生心中扎根。

二 體現雙曲線定義的典型范例

雙曲線有兩個定義。第一定義：平面內動點P到兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值為常數2a（0<2a<|F1F2|）的點的軌跡，其中兩個定點F1，F2是雙曲線的焦點。用數學語言描述為： ，|F1F2|=2c，其中0<2a<2c。第二定義：平面內動點P到定點F的距離與動點P到定直線距離的比為常數的點的軌跡。其中定點是雙曲線的一個焦點，定直線是相應于該焦點的一條準線，常數是該雙曲線的離心率，雙曲線的離心率e>1。

例2：點P是雙曲線 上一點，F是雙曲線的左

焦點，其 ， 求點P到該雙曲線的左

準線的距離。

分析講解：（邊講邊畫示意圖）由 ，得

知點Q是PF的中點，要求點P到左準線的距離|PN|，由雙

曲線的第二定義，有 ，要求|PN|，必須先求|PF|，

而題目已知 ，若把點P與該橢圓的右焦點F′連線，則不難發現直線OQ是△PFF′的中位線，由 ，得|PF′|=8，知道了|PF′|=8，如何求|PF|呢？這時引導學生思考，學生會很自然地想到雙曲線的第一定義的運用。由雙曲線的第一定義得 ，而|PF′|=8，解得|PF|=4或

12，把|PF|=4帶入 不難算得 ；把|PF|=12

帶入 ，不難算得|PN|=8，故所求距離是8或 。

該題如上面典例1一樣，也非常巧妙地滲透了雙曲線的兩個定義，一題兩義，一石二鳥，一箭雙雕，通過該題可以讓學生對雙曲線的兩個定義有個更好的記憶媒介，從而讓雙曲線的兩個定義在學生心中扎根。

通過橢圓與雙曲線的兩個定義類比，結合以上的兩個體現兩個定義的典例，能讓學生對橢圓和雙曲線的兩個定義在心中相互“呼應”，對橢圓和雙曲線就像“孿生兄弟”一樣熟悉。

三 橢圓與拋物線定義交匯的典型范例

拋物線只有一個定義：平面內動點P到定點F的距離等于動點P到定直線l的距離的點的軌跡。設動點P到定直線l的距離為|PN|，則拋物線的定義用數學語言描述為：|PF|=|PN|，其中定點F為拋物線的焦點，定直線l為拋物線的準線。拋物線的離心率永遠為1。

例3：橢圓 的左準線為l，左右焦點分別為

F1，F2；拋物線C2的準線也為l，焦點為F2，若點P是曲線C1與C2的一個交點，求|PF1|。

分析講解：依題意畫出示意圖，作PN⊥l于N，為了看起來更簡潔，連接PF2。令|PF1|=r1，|PF2|=r2，由橢圓的第

一定義有r1+r2=2a=4，由橢圓的第二定義有 ，

由拋物線的定義有r2=PN，由上面的三個方程易得 ，

即|PF1|= 。該題非常巧妙地把橢圓和拋物線“雜交”，只

要結合題意畫出示意圖，應用定義可輕松獲解，借助該題可讓學生對橢圓和拋物線的定義有了更直觀和感性的印象。

四 雙曲線與拋物線定義交匯的典型范例

例4：雙曲線 的左準線為l，左右焦點分別

為F1，F2；拋物線C2的準線也為l，焦點為F2，若點P是曲線C1與C2的一個交點，求|PF1|。

分析講解：該題與上面的典例3類似，解法也類似，依題意畫出示意圖，作PN⊥l于N，為了看起來更簡潔，連接PF2。

令|PF1|=r1，|PF2|=r2，由雙曲線的第一定義有|r1-r2|=2a=8，由已知r1>r2故r1-r2=8，由雙曲線的第二定義

有 ，由拋物線的定義有r2=PN，由上面的三個方

程易得r2=32，即|PF2|=32。該題非常巧妙地把雙曲線和拋物線“雜交”，只要結合題意畫出示意圖，應用定義可輕松獲解，借助該題可讓學生對雙曲線和拋物線的定義有了更直觀和感性的印象。

五 雙曲線與拋物線交匯求雙曲線離心率的典型范例

例5：已知拋物線y2=2px（p>0）與雙曲線

有相同的焦點F2，點A是兩曲線的交點，且AF2⊥x軸，求雙曲線的離心率。

解析講解：依題意畫出示意圖，設F1是雙曲線的左焦點，過F1垂直于x軸的直線是拋物線的準線，作AN垂直該準線于N，由拋物線的定義得AF2=AN，顯然，AN=F1F2所以AF2=F1F2，在直角△AF1F2中，AF2=F1F2=2c，由勾股定理得AF1= ，由雙曲線的第一定義AF1-AF2=2a=

-2c，從而雙曲線的 。

六 橢圓與拋物線交匯求橢圓離心率的典型范例

例6：已知拋物線y2=-2px（p>0）與橢圓

有相同的焦點F，點A是兩曲線的交點，且AF⊥x軸，求橢圓的離心率。

解析講解：依題意畫出示意圖，設F′是橢圓的右焦點，過F′ 垂直于x軸的直線是拋物線的準線，作AN垂直該準線于N，由拋物線的定義得AF=AN，顯然，AN=FF′所以AF=FF′，在直角△AFF′中，AF=FF′=2c。

由勾股定理得AF′= ，由橢圓的第一定義有AF+AF′=2a= +2c。

從而橢圓的 。

以上的六個例題用來強化橢圓、雙曲線、拋物線定義效果非常好，典例1、2類比，典例3、4類比，典例5、6類比，效果更佳。

〔責任編輯：林勁〕