向量在中學數學中的簡單應用

向量作為工具性知識，既與傳統內容有著很大的聯系，又體現出自身所具有的一些特性，因而在中學數學中有著極其廣泛的應用。向量由大小和方向兩個量確定，大小反映了向量數的特征，方向反映了形的特征，是中學中數形結合思想的典型體現，它所蘊含的豐富的數學思想和方法，有益于發展學生的思維能力，激發其創造性。

在中學階段學習的向量有平面向量和空間向量兩部分，其中空間向量是平面向量的推廣與拓展。

由于平面向量與空間向量沒有本質的區別，因此，不管是平面圖形還是空間圖形，運用向量解決、研究圖形問題的思路是一致。一般情況下，有兩種途徑：一是選擇適當的基向量，其它有向線段用基向量線性表示，然后通過向量的運算求解；二是建立適當的坐標系，運用向量或點的坐標運算求解。究竟用哪一種方法，可視具體問題而定。）

一、求解平面上的夾角與利用空間向量求空間角問題

1.向量法求平面上的夾角問題：（求兩非零向量a與b的夾角q的依據）

①cosq=；②設a==（x1，y1）和b=（x2，y2），則cosq=

2.求空間的角用向量則很好的解決了這一問題

對異面直線所成的角：若異面直線AB，CD的夾角為θ，則θ與向量，所成的角相等或互補，因此：=；

對直線與平面所成的角：設平面與其斜線m所成的角為，平面的法向量為n，直線m的方向向量為m，記=，與互余（當為銳角時）或與的補角互余（當為鈍角時），因此： =︱cos|=，（0<<）注：這一公式也適用于直線與平面平行或垂直時所成的角。

求平面與平面所成的角：平面與平面相交形成兩對平面角互補的二面角，于是：平面與平面相交所成二面角分三種情形：

向量a，b分別平行于平面，且都與二面角的棱垂直，記=，則與相等或互補，因此（正負號的選取視具體圖形而定）。

向量a平行于平面，且垂直于二面角的棱，平面的法向量為n，記=，則（的選取視具體情況而定）。

平面與平面的法向量分別為m，n，記=，則與相等或互補，因此：（正負號的選取視具體情況而定）。

二、證明不等式

三、向量法解決直線問題

1.向量與直線方程的一些關系：

設直線l經過點，y=（a，b）是它的一個方向向量.p（x，y）是直線l上的任意一點，則向量與v共線，根據向量共線的充要條件，存在唯一實數t，使=tv，即（x-x0，y-y0）=t（a，b），所以

如果直線l與坐標軸不平行，則ab≠0，于是可得。

消去參數t，得到直線l的普通方程= 。

這個方程稱為直線l的點向式方程，a，b叫做直線l的方向數。

如果向量n與直線l垂直，則稱向量n為直線l的法向量，設直線l有法向量n=（A，B），且經過點，則點在直線l上的充要條件是。

因為=，n=，且的充要條件是與n的數量積為0，于是，得到直線l的方程。

如果直線有一般式方程，且A≠0，則可得此直線的點法式方程：。

這是經過點，且法向量n=的直線方程.所以，n=是直線的法向量.由于法向量可以從直線的一般式方程中直接得到，應用法向量在解決某些直線問題中比較便捷。

設v=（-B，A），則v與n的數量積v·n=（-B）×A+A×B=0。

所以，v⊥n.從而v=（-B，A）是直線的方向向量。

2.向量與直線間的位置關系

設直線l1和l2的夾角為α，兩條直線的法向量的夾角為θ，則α=θ或α=π-θ.所以，則有. .由此式可以求得兩條直線的夾角。

3.利用向量求距離

I.求兩條異面直線的距離

異面直線的距離是指異面直線的公垂線夾在兩異面直線間的線段即公垂線段的長.因此，求兩異面直線的距離時，需要確定兩條異面直線的公垂線段，而在用向量法來解決這個問題則避免了公垂線段找錯的問題。

重要結論：若向量與異面直線a，b都垂直，E，F分別為直線a.b上的點，則異面直線a，b的距離d=。

Ⅱ.求點到直線的距離

點到直線的距離是指通過點向直線所引的垂線段的長.有的時候，垂線段很難確定.這時我們用到的向量法可以很好的解決這一問題：

設直線a的方向向量為a，P為直線a外的一點，M為直線a上的點，記，則點到直線a的距離。

Ⅲ.求點到平面的距離

求點到平面的距離也可用如下的向量方法來求：設平面的法向量為n，則點，P為外的一點，則點到平面的距離為。

四、用向量求三角函數值

五、利用向量求曲線方程

利用向量還可以解決圓錐曲線中的最值問題以及處理圓錐曲線中的取值范圍問題.利用向量的數量積構造出等式或函數關系，再利用函數中的方法依次就值，比只利用解析幾何知識建立等量關系容易。

由此我們可以看出，向量知識在立體幾何，不等式，三角函數中能得到較充分的應用，因此，在教學中要讓學生了解向量不僅要作為一種知識去學習，更主要的是作為一種方法，一種思想去理解，這樣充分運用向量的知識才能大大降低一些復雜問題的難度，使學生更容易接受和理解。