構造法在初等代數中的有效運用

【摘 要】隨著當今數學素質教育向著更為全面的方向發展，在要求學生掌握所學知識的同時，還要學會相應的學習方法，對數學知識中存在的思想方法進行領會，這樣有利于他們在現實中采用數學方法來解決問題。不同于其他的邏輯方法，構造法屬于非常規性的思維方法，通過分步尋求條件得出結論，具有極強的創造性、不規則性和思維試探性。

【關鍵詞】構造法 初等代數 邏輯思維

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）06-0131-01

通常情況下，構造法主要分為兩大類：直接構造法和間接構造法。構造法作為一種發現問題并解決問題的方法，在數學的解題過程中起著很大的作用：（1）對于本身具有構造性要求的問題，學生可以采用構造法直接進行求解；（2）在面對一些學生難以直接尋求相應合適方法的問題時，可以通過構造的方式建立一個新問題，使之與所求問題成立等價的關系，通過對這個輔助問題的求解，進而得出解決原問題的方法，這就是構造法相對于其他一般邏輯方法的優勢所在。構造法的具體應用如下：

一 數字與公式的構造

例1，正數x，y滿足x3+y3=2，求證：x+y≤2。

通過構造法進行分析：例題中所給的條件公式中x和y本身都是三次方，所需求證的x和y本身是一次方，這就要求學生在證明過程中進行降冪。同時，又因為所要證明的公式是一個不等式，只有當x=y=1時，兩者才相互成立，因此，就需要學生進行均值不等式的構造。通過均值不等式的內容：x+y+z≥3xyz，學生可以得出：公式（1）：x3+13+13≥3x；公式（2）：y3+13+13≥3y。通過公式（1）+公式（2）可以得出相關結論：x+y≤2。

二 函數的構造

例2，證明以下的三角恒等式：sin3A=3sinA-4sin3A，cos3A=4cos3A-3cosA。

證明：通過對復數進行構造：B=cosA+xsinA

一方面，通過牛頓二項式的定理可以得出：

B3=（cosA+xsinA）3

=（cos3A-3cosAsin2A）+x（3cos2AsinA-sin3A）

=（4cos3A-3cosA）+x（3sinA-4sin3A）

另一方面，通過De Moixre公式可以得出：

（cosA+xsinA）3=cos3A+xsin3A

進而得出：cos3A+xsin3A=（4cos3A-3cosA）+x（3sinA-4sin3A），通過公式兩邊的比較，可得：

cos3A=4cos3A-3cosA

sin3A=3sinA-4sin3A

三 模型的構造

在遇到排列組合問題時，學生可以通過構造模型，進而使解決問題變得更容易。在教學過程中，教師也需要對學生進行這方面思想的強化，以便于學生更快地找到解題的辦法。

例3，現在一共有10個各個方面完全相同的小球，需要將這10個小球分發到7個班級，要求每個班級至少能得到1個小球，求：小球的分配方法一共有多少種？

解：通過分析可以得出以下三種分配方法：（1）有4個班級每班可以分到1個小球，其余3個班級每班可以分到2

個小球，這種分配方法的總數：n1= ；（2）有5個班級每

班可以分到1個小球，1個班級可以分到2個小球，另1個

班級可以分到3個小球，這種分配方法的總數：n2= ；

（3）有6個班級每班可以分到1個小球，剩余1個班級可

以分到4個小球，這種分配方法的總數：n3= 。通過（1）+

（2）+（3）可以得出分配方法的總數：n=n1+n2+n3= +

+ =84。

通過上面的解題過程可以發現，其過程過于煩瑣和復雜，比較耽誤時間，面對數目較多的題目時，學生不可能一步一步逐一進行計算，對此構造法對其相關問題引入了一個新的模型構造的方法——“插板法”。

結合上述的題目，可以將10個小球隨機排列成一行，這時就會發現這10個小球中存在9個空檔，假設存在一個擋板，用這個擋板將這10個小球分割成7部分，將每個班級按照其自身不同的序號對應到各自的位置，這種虛擬的分配小球的方法就叫作“插板法”，在解決排列組合問題時，學生可以采用這種方法使解題過程變得更加簡單。將其運用到例3中就相當于在10個小球之間的9個空檔處插入了6

個擋板，換算成數學的算法就是 =84，這相對于傳統笨拙

的算法更為簡單。

四 結束語

教師將構造法應用到初中數學初等代數的教學中，更有利于提升學生自身的邏輯思維能力，是學生學會從多角度考慮問題并尋求解決問題的方法和手段。此外，通過對問題的認真思考，還能加深學生對于相關數學知識的理解。這里需要強調的是，文章中所舉出的幾個例題并不是只有構造法一種解題方法，構造法的應用范圍也不僅僅局限于上述幾種，教師在教學過程中除了注重學習方法的教授外，還應更多地培養學生的創新邏輯思維能力，讓其自身能體會到知識和知識間存在的一定聯系，在學習中獲取一定的成就感。

參考文獻

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〔責任編輯：林勁〕