分析超靜定結(jié)構(gòu)的基本方法

【摘 要】本文介紹了解決超靜定結(jié)構(gòu)（statically indeterminate structure）問(wèn)題的兩種基本方法——力法（force method）和位移法（displacement method ），并分析這兩種基本方法的區(qū)別與聯(lián)系。

【關(guān)鍵詞】超靜定結(jié)構(gòu)；力法；位移法；對(duì)比

0.引言

在工程實(shí)際中，大多數(shù)結(jié)構(gòu)是超靜定 結(jié)構(gòu)。超靜定結(jié)構(gòu)是指具有多余約束的結(jié)構(gòu)，即廣義力的總數(shù)超過(guò)了所能列出的獨(dú)立平衡方程的總數(shù)。超靜定結(jié)構(gòu)受力復(fù)雜，在彈性理論計(jì)算方法下，僅由平衡條件不能確定超靜定結(jié)構(gòu)全部反力和內(nèi)力，必須考慮變形條件，故其受力情況與截面剛度（即材料的物理性質(zhì)與截面的幾何性質(zhì)）有關(guān)。而通過(guò)塑性分析方法，實(shí)際情況中考慮到塑性鉸分布情況及出現(xiàn)的先后順序，分析及計(jì)算結(jié)構(gòu)構(gòu)件的強(qiáng)度極限十分困難。因此解決實(shí)際中的超靜定結(jié)構(gòu)構(gòu)件問(wèn)題尤為重要。

在求解超靜定問(wèn)題時(shí)需要綜合考慮三個(gè)方面的條件：平衡條件（力的平衡），幾何條件（位移的協(xié)調(diào)），物理?xiàng)l件（力與位移的物理關(guān)系）。在具體求解時(shí)，有兩種不同的方法即力法（又稱柔度法）和位移法（又稱剛度法）。力學(xué)方法論中常用三法： 分和法、對(duì)比法和過(guò)渡法。

1.力法——轉(zhuǎn)化搭橋，過(guò)渡法

力法的最主要策略是過(guò)渡策略。要求解超靜定問(wèn)題，就是把靜定問(wèn)題求解方法向超靜定問(wèn)題過(guò)渡。力法的基本未知量是指廣義力超過(guò)獨(dú)立平衡方程能解出力的個(gè)數(shù)。即X，X，X在實(shí)際過(guò)程中，只需解決這些多余未知量，超靜定問(wèn)題就迎刃而解！我們通常從基本體系入手，將超靜定問(wèn)題轉(zhuǎn)換成靜定問(wèn)題。一個(gè)超靜定結(jié)構(gòu)模型簡(jiǎn)圖，將多余約束去掉，代之以對(duì)應(yīng)的多余未知力X，X，X......即得到超靜定結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的靜定結(jié)構(gòu)。對(duì)力法的基本體系，可以列出獨(dú)立的平衡方程，同時(shí)，需要補(bǔ)充由變形協(xié)調(diào)條件。變形協(xié)調(diào)條件是根據(jù)去掉多余約束處結(jié)構(gòu)變形與實(shí)際情況相同列出。得出的附加方程如下：

2.位移法——拆了再搭，分和法

用位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)第一步是把剛架離散成桿件（單元），進(jìn)行單元分析。位移法的基本未知量是獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)位移△1，△2，△3......包括節(jié)點(diǎn)角位移和節(jié)點(diǎn)線位移。在分析中，我們通常把結(jié)構(gòu)中所有剛節(jié)點(diǎn)改成鉸節(jié)點(diǎn)，所有固端支座改成鉸支座。然后對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何組成分析，確定基本未知量數(shù)目。我們通過(guò)鎖死原結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移，得到一組單跨超靜定梁的組合體，并建立單元?jiǎng)偠确匠毯蛯?dǎo)出固端彎矩和剪力公式。第二步是把各個(gè)單元裝陪成整體，進(jìn)行整體分析。整體分析包括在裝配節(jié)點(diǎn)處建立位移協(xié)調(diào)條件和力的平衡條件，得出位移法的基本方程，求出基本未知量△1，△2，△3......從而解出超靜定結(jié)構(gòu)問(wèn)題。位移法的基本方程：

從位移法中又演變出了彎矩分配法（又稱漸進(jìn)法）彎矩分配法是一種結(jié)構(gòu)內(nèi)力的近似求解方法，它以位移法為理論基礎(chǔ)，通過(guò)固定節(jié)點(diǎn)，逐個(gè)節(jié)點(diǎn)輪流放松的辦法，進(jìn)行單節(jié)點(diǎn)力矩分配和傳遞，最后將各分析點(diǎn)分配力矩和傳遞力矩相加得到近似彎矩。

3.力法與位移法的對(duì)比——互為對(duì)偶

力法是求解超靜定結(jié)構(gòu)問(wèn)題的基本方法，是由此及彼，由故及新，由已知靜定結(jié)構(gòu)解法推廣到超靜定結(jié)構(gòu)解法的一種典型的過(guò)渡法！其實(shí)質(zhì)是把超靜定簡(jiǎn)化成靜定結(jié)構(gòu)，多余約束用廣義力代替，外力作用會(huì)使結(jié)構(gòu)變形，計(jì)算時(shí)符合變形協(xié)調(diào)條件！故力法基本方程的實(shí)質(zhì)是變形協(xié)調(diào)條件！力法的分析順序?yàn)椋合葷M足靜力條件，后考慮幾何條件，先求靜力可能內(nèi)力，再求真實(shí)內(nèi)力。

位移法是將結(jié)構(gòu)拆成（有形，載常數(shù)）的單跨梁幾何，在滿足位移協(xié)調(diào)條件下，使荷載，位移共同作用時(shí)，結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)。和力法相同的是，位移法的典型方程的實(shí)質(zhì)也是變形協(xié)調(diào)條件。位移法的分析順序?yàn)椋合葷M足幾何條件，后考慮靜力條件，先求幾何可能位移，再求實(shí)際位移。

由以上分析可以得出，力法與位移法既有聯(lián)系，又有區(qū)別。力法的位知量是力，用位移條件建立平衡方程，位移法的未知量是位移，用力的條件建立平衡方程。在求解實(shí)際超靜定結(jié)構(gòu)問(wèn)題中，力法與位移法應(yīng)靈活應(yīng)用，互相結(jié)合！

【參考文獻(xiàn)】

[1]樊友景，高洪波.結(jié)構(gòu)力學(xué)（上冊(cè)）.鄭州大學(xué)出版社.

[2]龍馭球，包世華.結(jié)構(gòu)力學(xué)——專題教程.高等教育出版社.

[3]吳萍.利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性求結(jié)構(gòu)的自振頻率和主振型.南昌大學(xué)學(xué)報(bào)，2007年10月第31卷專輯.