如何回避分類討論

分類討論是一種重要的數學思想，在中學數學中占有重要的位置。當然，利用分類討論思想解題，有時難免會使問題的解決過程變得冗長。因此，我們希望在解題過程中盡量避免由人為因素引起的分類討論。

在解題過程中，如何避免人為引起的分類討論。下面，我提出幾點建議，供學生復習時參考。

一、繞開討論因素

對有些從表面上似乎需要分類討論的數學問題，只要能夠借助相關的數學概念、性質等就可以繞開引起分類討論的因素，從而回避分類討論。

例1.設a>0且a≠0，0

簡析：從表面看，底數a可能引起分類討論，但借助對數換底公式，就能繞開由a引起的討論。

∵0

=-log1+x（1-x）=log1+x■>log1+x（1+x）=1

∴loga（1+x）>loga（1-x）

例2.已知圓C方程為：x2+y2=4。直線l過點P（1，2），且與圓C交于A、B兩點，若AB=2■，求直線l的方程。

簡析：本題若設直線l的方程為y-2=k（x-1），則將由斜率k引發分類討論。但設所求的直線l的方程為x-1=t（y-2），即x-ty+2t-1=0.

根據題設，

■=1？圯3t2-4t=0？圯t1=0，t2=■.

所求直線l的方程是x=1，3x-4y+5=0.

這顯然繞開了由斜率k引起的分類討論。

二、合理進行設定

對于某些數學問題，在解題時，能夠充分挖掘其隱含條件，就可以對問題進行合理的設定，從而避免人為的分類討論。

例3.已知偶函數f（x）的定義域是（-2，2），且在[0，2）上為減函數， f（m-1）>（1-2m），求m的取值范圍。

簡析：由于f（x）是偶函數，因此f（x）在區間（-2，0）與[0，2）的單調性不同。由此，需按m-1，1-2m的正負性來分類討論，而其中所涉及的情形有四種。這樣，不但過程復雜，運算也繁瑣。

如果注意到f（x）是偶函數，則可知f（x）=f（-x）=f（x）.

則有f（m-1）=f（m-1）， f（1-2m）=f（1-2m）

依題意得m-1<2，1-2m<2，m-1<1-2m，解得■

例4.已知直線l1 ∶ x=1和直線l2 ∶ y=4x截得雙曲線的線段長分別為2和4■，求雙曲線的方程。

簡析：由于不能夠確定雙曲線的焦點在x軸還是在y軸上，可以合理選擇適當的雙曲線形式，以避免引起分類討論。

設雙曲線方程為mx2-ny2=1（mn>0）

把x=1代入雙曲線方程可得

y=±■，由題意有2■=2？圯m=n+1.①

把y=4x代入雙曲線方程可得x=±■.

故直線l2截得的線段長為■2■=4■？圯4m-64n=1.②

由①②可得m=■，n=■所求的雙曲線方程是■-■=1.

三、重視正難則反

對于從正面考慮分類討論在所難免的問題，從反面常常可以避免分類討論。

例5.已知函數f（x）=■，g（x）=2mx-m如果對滿足m≤1的一切實數都有f（x）>g（x），求x的范圍。

簡析：若由f（x）>g（x），得■>m（2x-1），再從解無理不等式入手，則分類討論難以避免。但若“反客為主”，把m視為變量，則無須分類討論。

命h（m）=（2x-1）m-■，則h（m）是一次函數或常值函數。欲使h（m）<0對于m≤1都成立，由函數h（m）的圖象直觀可知，當且僅當h（-1）<0且h（1）<0時，滿足題設。

即1-2x-■<02x-1-■<0？圯2x-1<■，解得0

例6.從3名骨科、4名腦外科和5名內科醫生中選派5人組成一個抗震救災醫療小組，則骨科、腦外科和內科醫生都至少有1人的選派方法種數是_____（用數字作答）

簡析：對于本題，若從正面考慮問題，則分類討論在所難免。借助“正難則反”的思想方法，從12名醫生中選5人組成一個抗震救災醫療小組的方法有C512種，其中不符合條件的選法有：無骨科醫生的選法C59種;無腦外科醫生的選法C58;無內科醫生的選法C57種;無骨科醫生且無腦外科醫生的選法C55種，但在無腦外科醫生的選法C58中，也包括了全選內科醫生C55的情況。故選派方法種數是C512-C59-C58-C57+C55=590.

上述這些例子可以說明，對于表面上需要分類討論的問題，在解題時，應當審慎地選擇解題方法，盡量回避由于解法不當引起人為的分類討論。

？誗編輯 王夢玉