談等價無窮小在求極限中的應用

摘要：探討了利用等價無窮小求函數極限的四種情形，說明了等價無窮小所涉及到題型廣泛，并輔以例題應用，旨在使學生理解如何利用等價無窮小求函數極限。

關鍵詞：等價無窮小；極限；無窮大

The Application of Equivalent Infinitesimal in Calculating

the Function Limit

ZHANG Hui， LI Ying-qi， FANG Xiao-feng

（School of Science， The SecondArtilleryEngineeringUniversity， Xi’an 710025， PRC）

Abstract：The four special case of the application of equivalent infinitesimal in calculating the function limit are studied and the kinds of questions are wide. The relevant examples are illustrated， which helps to understand how to calculate the limit with the effective method.

Keywords：equivalent infinitesimal， limit， infinity

中圖分類號：O13 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）10（B）-0000-00

一元函數極限論是一元函數微分學的核心，如何計算一元函數的極限是一元函數極限論的基礎和關鍵。計算一元函數極限的常用方法[1]有：利用等價無窮小，洛必達法則，重要極限公式，極限存在準則，泰勒公式，點導數，變量代換等。而利用等價無窮小求極限方法是如何計算一元函數極限的重點和難點。本文將探討利用等價無窮小計算函數極限的四種情形和易犯錯誤，供初學者參考學習。

為方便起見，下面所討論的無窮小都在同一自變量變化過程中。

一、無窮小減無窮小

定理1[2]設 ， ， ，且 存在，若 和 不等價，則

。

例1 計算 。

解由定理1，

原式 。

定理1給出當分子為兩無窮小之差時利用等價無窮小代替求極限的方法，特別要注意使用條件。而對于分母為兩個無窮小之差時有類似結論，在此不再贅述。事實上，定理1可推廣到多個無窮小之差的情形。

二、無窮小乘以無窮大

定理2設 和 分別為同一自變量變化過程中的無窮小和無窮大， ，若 存在，則

。

證明 。

例2 計算 。

解由定理2得

原式 。

三、冪指函數

定理3設 和 是同一自變量趨近過程的無窮小，且 ， ， ，若 ， ，則

。

特別地，當 時， 。

證明因為 ，則有

。

于是

。

例3 計算 。

解因為 ，由定理3可得

原式 。

注：定理1、2和3可以推廣到數列極限的計算問題中。

四、函數增量與自變量增量的比值

定理4設函數 在點 可導，若 ，則

。

證明左邊 右邊。

例4 設 ，計算 。

解當 時， 和 是等價無窮小，由定理4，原式 .

特別要注意的是，在利用等價無窮小求極限時，要判斷等價無窮小是否存在。例如計算 。錯誤的解法為

原式 。

上述計算方法錯誤，但答案正確。這是因為在等價無窮小定義中，要求兩個無窮小是不能取零值的，而當 時， 。事實上，當 時， 是無窮小，但不存在等價無窮小。也就是說， 不是當 時 的等價無窮小。因此，不能利用等價無窮小的方法計算此極限。此極限正確的解法為利用函數的夾逼準則方法。由于 ，且 ，故原式 。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學：上冊[M].6版.北京：高等教育出版社.2007.

[2] 張輝，李應岐，敬斌，趙偉舟. 等價無窮小在求函數極限中的應用[J]. 數學學習與研究， 2015，24： 86-87.