日火地三體模式的數(shù)值模擬研究

摘要針對(duì)中學(xué)物理行星軌道的形狀問(wèn)題，用數(shù)值模擬方法驗(yàn)證了不同質(zhì)量速度比條件下日火地三體的軌道規(guī)律。將現(xiàn)代物理學(xué)是由實(shí)驗(yàn)，理論和計(jì)算三部分組成的這一思想貫徹到教學(xué)手段中。從而一定程度上激發(fā)學(xué)生對(duì)于物理研究的興趣，引發(fā)進(jìn)一步的思考。

關(guān)鍵詞

三體運(yùn)動(dòng) 橢圓軌道 數(shù)值模擬 中學(xué)物理

課題背景

根據(jù) 《數(shù)值模擬方法驗(yàn)證行星運(yùn)行的軌道》我們了解了二星運(yùn)動(dòng)軌道的規(guī)律，這讓我們不禁產(chǎn)生以下疑問(wèn)：

（1）二星運(yùn)動(dòng)軌道是橢圓的，太陽(yáng)火星地球的運(yùn)動(dòng)軌道是什么形狀的呢？

（2）在不同情況下，比如太陽(yáng)火星地球、太陽(yáng)地球月亮、等質(zhì)量三星纏繞、等質(zhì)量三星共軌，他們的軌道有什么區(qū)別？

（3）當(dāng)滿足動(dòng)量守恒，無(wú)外力作用后，二星的軌道固定不變，那么日火地三星的軌道也是永遠(yuǎn)固定不變的嗎？

帶著這些問(wèn)題，我們從牛頓的萬(wàn)有引力方程和牛頓力學(xué)定律出發(fā)，得到相應(yīng)的差分方程，通過(guò)數(shù)值方法來(lái)驗(yàn)證日火地三星運(yùn)動(dòng)軌道的形狀，并討論不同質(zhì)量速度比條件下的變化。

理論依據(jù)

論文【1】用圖1表示二體之間的相互作用，得到了二體問(wèn)題加速度，位置的計(jì)算公式。我們把它推廣到三體的形式。得到公式（1）、（2）、（3）。

3. 數(shù)據(jù)模擬結(jié)果

我們?cè)诙w的基礎(chǔ)上討論三體的運(yùn)行軌道，我們假設(shè)一開始只有太陽(yáng)和火星這兩個(gè)星體，他們的運(yùn)行軌道為雙橢圓重疊，后來(lái)地球與他們形成了三星系統(tǒng)，但是這個(gè)三星系統(tǒng)并不穩(wěn)定，意味著三星運(yùn)行的軌道并不像雙星一樣穩(wěn)定，因?yàn)槿齻€(gè)星體之間的萬(wàn)有引力的大小會(huì)隨著他們的相對(duì)位置改變而改變，從而導(dǎo)致他們的運(yùn)動(dòng)軌跡不固定。下面我們要對(duì)每一種情況進(jìn)行分類討論。

情景一：當(dāng)三星的相對(duì)位置固定不變，位置坐標(biāo)為（0，0），（1.5，0）和（2，0）時(shí)：

（1）當(dāng)質(zhì)量比為100：1：1時(shí)，軌道圖為

（2）當(dāng)質(zhì)量比為50：1：1時(shí)，軌道圖為

通過(guò)對(duì)軌道圖的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)前兩種情況的軌道較為穩(wěn)定，可以形成橢圓，因?yàn)槿侵g互相作用的萬(wàn)有引力趨向于一個(gè)平衡狀態(tài)，使軌道穩(wěn)定。然而后面三種情況的軌道為不穩(wěn)定狀態(tài)，是因?yàn)槿f(wàn)有引力趨向于不平衡狀態(tài)，比如說(shuō)當(dāng)?shù)厍蚝突鹦强康奶鼤r(shí)，他們兩個(gè)會(huì)互相吸引，從而導(dǎo)致軌道偏離。

情景二：當(dāng)三星的質(zhì)量比保持不變，為100：1：1（這個(gè)質(zhì)量比比較具有代表性），把三體的相對(duì)位置改變：

（1）當(dāng)位置坐標(biāo)為（0，0）（1.5，0）和（2，0）時(shí)，軌道圖為

（2）當(dāng)位置坐標(biāo)為（0，0）（1.5，0）和（4，0）時(shí)，軌道圖為

通過(guò)對(duì)不同質(zhì)量比的情況分析，我們可以發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，當(dāng)火星和地球靠得太近時(shí)，太陽(yáng)對(duì)他們的束縛能力要小于火星和地球之間的吸引力，這就導(dǎo)致了相撞。由此可見，要使日火地形成較為穩(wěn)定的三星軌道，那么火星和太陽(yáng)必須離得很近，地球則要相對(duì)偏遠(yuǎn)一些，這也符合我們的太陽(yáng)系行星分布規(guī)律，即這種軌道：

情景三：上面兩種情況都是考慮動(dòng)量守恒的，接下來(lái)我們來(lái)考慮如果一開始動(dòng)量不守恒，即P太陽(yáng)≠P地球+P火星。

（1）當(dāng)質(zhì)量比為100：1：1時(shí)，軌道圖為

（2）當(dāng)質(zhì)量比為25：1：1時(shí)，軌道圖為

由此可見，我們只有保證動(dòng)量守恒，即P太陽(yáng)=P地球+P火星時(shí)，才能構(gòu)成較為穩(wěn)定的三星系統(tǒng)。

4. 教學(xué)意義

本模擬方法利用物理學(xué)原理和MATLAB編程，成功的驗(yàn)證了三星（日火地）的軌道規(guī)律。該方法將現(xiàn)代物理學(xué)是由實(shí)驗(yàn)，理論和計(jì)算三部分組成的這一思想貫徹到教學(xué)手段中。從而一定程度上激發(fā)學(xué)生對(duì)于物理研究的興趣，引發(fā)進(jìn)一步的思考。

參考文獻(xiàn)

【1】數(shù)值模擬方法驗(yàn)證行星運(yùn)行的軌道，高竹，2012，中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊

【2】天體力學(xué)[M]，趙進(jìn)義，1983，上海科學(xué)技術(shù)出版社

【3】微分方程數(shù)值解法（第四版）[M]，李容華，劉播，2009，高等教育出版社

【4】Matlab圖形圖像處理[M]， 董長(zhǎng)虹，賴志國(guó)，余嘯海，2004，國(guó)防工業(yè)出版社