關于有理群

郭繼東, 任永才, 張志讓(. 伊犁師范學院 數學與統計學院, 新疆 伊寧 85000; . 四川大學 數學學院, 四川 成都 60064;. 成都信息工程學院 數學學院, 四川 成都 605)

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關于有理群

郭繼東1, 任永才2, 張志讓3
(1. 伊犁師范學院 數學與統計學院, 新疆 伊寧 835000; 2. 四川大學 數學學院, 四川 成都 610064;3. 成都信息工程學院 數學學院, 四川 成都 610225)

設G是有限群,并設χ是G的一個(復)特征標.如果χ的值是有理數,則稱χ是有理值的.如果G的每個不可約特征標都是有理值的,則稱G是有理群.主要目的是對若干有理群進行分類.此外，給出一個應用例子,并對關于有理群的一個已知結果給出純群論的內在刻劃.

有限群; 二性群; 有理群; 特征標; 共軛; 分類

令G是一個有限群.對于x∈G,如果x與x-1在G中共軛,則稱x是實元.x是實元?對于G的每個不可約特征標χ,χ(x)是實數[1].稱G的特征標χ是實值的,如果χ(x)是實數,?x∈G.稱G是二性群,如果G中的每個元素都是實元.G是二性群當且僅當G的每個不可約特征標都是實值的.

稱G的特征標χ是有理值的,如果χ(x)是有理數,?x∈G.稱G是有理群,如果G的每個不可約特征標都是有理值的.有理群顯然是二性群.

如果G中有個非單位元是實元,則G顯然是偶數階群,故非平凡的有理群和二性群是偶數階群.

有理群理論是有限群的結構理論和有限群的表示理論中的一個重要方面.例如,在文獻[2-5]中利用了有理群理論解決群論中有關元素共軛的重要問題.有理群的特征標的值實際是有理整數[1],從而一個有理群的特征標表中的各項組成的矩陣是一個整數矩陣,這顯示了有理群的獨特性.對各種有理群進行分類無疑是有理群及其應用理論的研究中的一個重要部分.本文主要目的是對若干有理群進行分類.此外,還對關于有理群的一個已知結果給出純群論內在刻劃的證明.

本文中的群都是指有限群.C2表示2階循環群.字母G總是表示一個非平凡的群.p和q總代表2個不同的素數.Sylp(G)表示群G的全體Sylowp-子群組成的集合.對于x∈G,xG表示x在G中的共軛類.文中其他符號都是標準的,取自文獻[6].

首先陳述今后要用到的若干引理,其中引理1～3是關于有理群的基礎知識,見文獻[7].

引理 1 下述各個命題成立:

1) 有理群的商群是有理群;

2) 2個有理群的直積是有理群,有理群的直因子是有理群;

3) 如果有理群G不是2-群,則G的Sylow 2-子群不是正規的;

4)G是Abel的有理群?G是初等Abel 2-群.

引理 2G是有理群?對任意x∈G,循環群〈x〉的生成元在G中共軛?對任意x∈G,NG(〈x〉)/CG(x)?Aut(〈x〉).

引理 3 設G是有理群,并令S∈Syl2(G).那么,CG(S)=Z(S)且Z(S)是初等Abel 2-群.特別地,如果S是Abel的,則CG(S)=S且S是初等Abel 2-群.

引理 4 設G是可解的有理群,并令S∈Syl2(G),那么,NG(S)=S.

引理 5[8]設G是以K為核和以H為補的Frobenius群,則下述各個命題成立:

1)G=KH,K?G,|G|=|K||H|,(|K|,|H|)=1;

2)CK(h)=1,?1≠h∈H;

3) 如果|H|是偶數,則H中恰有一個2階元素t且t-1xt=x-1,?x∈K.特別地,K是Abel 群;

4)H的Sylow子群要么是循環群要么是廣義四元數群;

5)G的任2個(Frobenius)補是共軛的;

引理 6[8]設H是G的一個非平凡的子群(即1

定理 1 設G是Frobenius群,如果G是有理群,則下述之一成立:

1)G是以一個初等Abel 3-群E3為核和以一個2階群為補的Frobenius群;

2)G是以一個初等Abel 3-群E3為核和以8階四元數群Q8為補的Frobenius群;

3)G是以一個52階初等Abel 5-群為核和以8階四元數群Q8為補的Frobenius群.

反之,上述3種Frobenius群都是有理群.

證明 由于G是有理群,G是偶數階群.由于G是Frobenius群,據引理5,有G=KH,其中K是核而H是補,K?G,(|K|,|H|)=1.有

K∩H={1},G/K=HK/K?H.

于是,H是(非平凡的)有理群(引理1)?|H|是偶數.從而,H的Sylow 2-子群也是G的Sylow 2-子群.令S∈Syl2(G).可設S?H.S是循環群或廣義四元數群(引理5).從而,設|S|=2m,那么S有2m-1元.于是,據文獻[9]中定理1和題設知:要么1)或2)成立,要么G是以一個初等Abel 5-群E5為核和以Q8為補Frobenius的群.對于最后這一情形,據文獻[7]中37頁有|E5|=52,于是3)成立.

接著證明1)、2)和3)中的3種群都是有理群.

型3)是有理群,它叫做Markel有理群[7].

現在證明型2)是有理群.據引理2,為證明型2)是有理群必須證明:對于G中的每個元素x,循環子群〈x〉的生成元在G中共軛.為此,據引理5的6),只需證明:對于核E3和補Q8中的每個元x,循環子群〈x〉的生成元在G中共軛.Q8是有理群,故據引理2知:對于補Q8中的每個元素x,循環子群〈x〉的生成元在Q8中共軛,從而在G中共軛.令1≠x∈E3.有

|〈x〉|=3?〈x〉

的生成元是x和x-1.令t是補Q8中的那個唯一的對合.據引理5的3)有

t-1xt=x-1?〈x〉

的生成元在G中共軛.總上述,型2)是有理群.

2階群是有理群.所以,重復使用上一段推理可知型1)是有理群.證畢.

如果一個非平凡的有理群G不是2-群,則G的Sylow 2-子群不是正規的(引理1),從而G的Sylow 2-子群不只一個.

定理 2 設G不是2-群且設G滿足下述2個條件:

(i)G是可解的有理群;

(ii)G的2個不同的Sylow 2-子群有平凡的交.那么,下述之一成立:

1)G是以一個初等Abel 3-群為核和以一個2階群為補的Frobenius群,

2)G是以一個初等Abel 3-群為核和以Q8為補的Frobenius群,

3)G是以一個52階初等Abel 5-群為核和以Q8為補的Frobenius群.

證明 令S∈Syl2(G).據題設和引理4有NG(S)=S.于是,對于任意x∈G-S,有Sx≠S,從而據題設有S∩Sx=1.所以,據引理6知有理群G是Frobenius群.這樣,用定理1就完成了證明.證畢.

設M是群G的一個偶數階子群.說M是強嵌入的,如果M滿足下述各個條件:

(a) 對于M中的每個對合x有CG(x)?M;

(b) 對于M的每個Sylow 2-子群P都有NG(P)?M;

(c)G中有個對合不含于M中.

定理 3 設G是可解的有理群.令S∈Syl2(G).還假設G滿足下述2個條件:

(i) 對于S中的每個對合x都有CG(x)?S;

(ii)G中有個對合u使得u?S.那么,下述之一成立:

1)G是以一個初等Abel 3-群為核和以一個2階群為補的Frobenius群,

2)G是以一個初等Abel 3-群為核和以Q8為補的Frobenius群,

3)G是以一個52階初等Abel 5-群為核和以Q8為補的Frobenius群.

證明 由于G是可解有理群(題設),據引理4有NG(S)=S?S.于是,據題設知S是強嵌入的.從而,據關于強嵌入子群的Feit-Suzuki-Thompson定理[10]可知:對于S中的每個對合x都有CG(x)=S.此外,據題設知G不是2-群.

令S1和S2是G的2個不同的Sylow 2-子群.據Sylow定理,S1和S2都與S共軛.于是,由于對于S中的每個對合x都有CG(x)=S，對于S1中的每個對合y和對于S2中的每個對合z都有CG(y)=S1及CG(z)=S2.假設S1∩S2≠1,那么,存在對合w使得w∈S1∩S2.于是有S1=CG(w)=S2?S1=S2,與“S1和S2是G的2個不同的Sylow 2-子群”這一假定矛盾.所以,有S1∩S2=1,也就是說,G的任2個不同的Sylow 2-子群有平凡的交.于是，利用定理2就完成了證明.證畢.

有一個著名的猜想:如果群G中的不同的共軛類的長度不同,則G?S3.有研究者在G滿足某些條件下證明了這個猜想,例如見文獻[5].在這里也討論幾種類似的情形如下:

定理 4 下述3個命題成立:

1) 設G是Frobenius群.如果G中不同的共軛類的長度不同,則G?S3.

2) 設G是可解群,并設G滿足下述2個條件:

(i)G中不同的共軛類的長度不同;

(ii)G的2個不同的Sylow 2-子群有平凡的交.那么,G?S3.

3) 設G是可解群.令S∈Syl2(G),并設G滿足下述3個條件:

(i)G中不同的共軛類的長度不同;

(ii) 對于S中的每個對合x都有CG(x)?S;

(iii) 存在G中的一個對合u使得u?S,那么,G?S3.

證明 由于G中不同的共軛類的長不同(題設),對于每個x∈G,循環群〈x〉的生成元在G中共軛.從而據引理2知G是有理群.于是,據定理1～3,G是定理1中所陳述的3種Frobenius群之一.

首先設G是定理1中所陳述的型2).那么,G是以一個初等Abel 3-群E3為核和以Q8為補的Frobenius群.則有

Q8=〈a,b|a4=1,a2=b2,b-1ab=a-1〉.

據題設和引理5并通過簡單的計算就得到

8|E3|=|G|=1+8+|E3|+2|E3|?

5|E3(G)|=9?5

是9的因子,這不可能.所以,G不能是定理1中所陳述的型2).用同樣的推理可知,G也不能是定理1中所陳述的型3).

現在設G是定理1中所陳述的型1).那么,G是以一個初等Abel 3-群E3為核和以一個2階群〈t〉(o(t)=2)為補的Frobenius群.任取x∈E3-{1}.由于核E3是Abel 的,據引理5有CG(x)=E3,從而

|xG|=[G:CG(x)]=[G:E3]=2.

由于這對于E3中的每個非單位元都成立，故據題設有

E3-{1}=xG?|E3|-1=|xG|=2,

從而|E3|=3,G?S3.證畢.

定理 5 設G是2n階二面體群.如果G是有理群,則G是下述群之一:C2,C2×C2,S3,(C2×C2)C3或D8(8階二面體群).特別地,|G|=2,4,6,8或12.

證明 由2n階二面體群的性質知道:G有個n階正規循環子群K.令S∈Syl2(G).那么,顯然S是二面體群,并且K=S∩K×C,其中C是個奇階循環群.有G=SC,S?SC/C=G/C?S是有理群(引理1),2m階二面體群有一個2m-1階元,從而據文獻[9]知S是下述群之一:C2,C2×C2或D8.

設S是C2或C2×C2.那么,據文獻[9]知G是下述群之一:C2,G=C2×C2,S3或(C2×C2)C3.

現在設S=D8并設|C|=r≠1.這時C=〈x〉是r階循環群.于是，據引理2有

NG(〈x〉)/CG(x)?Aut(〈x〉).

顯然

|NG(〈x〉)/CG(x)|=2.

從而有

2=|Aut(〈x〉)|=φ(r)?r=3?n=|K|=12.

于是,G有個12階元a,K=〈a〉.則有

2=|G/CG(a)|=|NG(〈a〉)/CG(a)|=

|Aut(〈a〉)|=φ(12)=4?2=4,

矛盾.所以，有|C|=1,G=S=D8.證畢.

注 1 定理5中“|G|=2,4,6,8或12”這一結論包含在文獻[7]中,但在那里是用特征標來證明的,而這里是通過純群論的內在刻劃來證明的.

現在討論所謂“小階”有理群.

定理 6 設p>q,存在pq階非Abel 群的充要條件是q|(p-1).pq階有理群是S3.(證明從略)

定理 7 設p是個奇素數.G是22p階有理群當且僅當G?C2×S3.

證明 設G是有理群.有理群是二性群,故據文獻[11]有

G?C2×〈a,b|ap=b2=1,b-1ab=a-1〉.

令H=〈a,b|ap=b2=1,b-1ab=a-1〉.那么,據引理1知H是2p階有理群,從而H?S3(定理6).所以,得到G?C2×S3.由于C2和S3都是有理群,據引理1知C2×S3是有理群.

定理 8 設p≠2.G是23p階有理群當且僅當下述之一成立:

1)G?C2×C2×S3;

2)G?S4;

3)G=〈x,a,b|x3=a4=1,a2=b2,b-1ab=a-1,b-1xb=x-1,ax=xa〉.(|Z(G)|=2,G/Z(G)?C2×S3,G?SL(2,3));

4)G=〈x,a,b|x3=a4=b2=1,b-1ab=a-1,a-1xa=x-1,bx=xb〉.(|Z(G)|=2,G/Z(G)?C2×S3);

5)G=〈x,a,b|x3=a4=b2=1,b-1ab=a-1,b-1xb=x-1,ax=xa〉.(|Z(G)|=2,G/Z(G)?C2×S3).

證明 設G是23p階有理群.有理群是二性群,于是,據23p階二性群的分類定理[11]知G是下述型之一:

(i)G=〈x,a,b|xp=a4=1,a2=b2,b-1ab=a-1,b-1xb=x-1,ax=xa〉;

(ii)G=〈x,a,b|xp=a4=b2=1,b-1ab=a-1,a-1xa=x-1,bx=xb〉;

(iii)G=〈x,a,b|xp=a4=b2=1,b-1ab=a-1,b-1xb=x-1,ax=xa〉;

(iv)G?C2×C2×〈a,b|ap=b2=1,b-1ab=a-1〉;

(v)G?S4.

可證明上述各型都是有理群.眾所周知對稱群S4是有理群.作為例子，證明型(iii)是有理群.設G是型(iii),即

G=〈x,a,b|x3=a4=1,a2=b2,

b-1ab=a-1,b-1xb=x-1,ax=xa〉,

那么,|Z(G)|=2,G/Z(G)?C2×S3.令P=〈x〉.那么,P?G,G/P?Q8.所以,G/P只有一個非線性不可約特征標χ,χ(1)=2,且χ是有理值的[1].由G/Z(G)?C2×S3知:G/Z(G)是有理群(引理1)且有4個有理的線性特征標.分別記這4個有理線性特征標為λ1、λ2、λ3和λ4,那么,λ1χ、λ2χ、λ3χ和λ4χ是G的其核不含Z(G)的全部不可約特征標,且它們都是有理的.總上述,G的每個不可約特征標都是有理的,即型(iii)是有理群.

D8和Q8有相同的特征標表[1],上面的推理同樣適用用于證明型(iv)和型(v)是有理群.證畢.

定理 9G是24階非Abel 的有理群當且僅當下述之一成立:

1)G?C2×Q8;

2)G?C2×D8.

證明 設G是24有理群.那么,G是二性群,從而據文獻[11]知G同構于下述群之一:(i) 24階廣義四元數群;(ii) 24階二面體群;(iii)C2×Q8;(iv)C2×D8.

對于型(i)和型(ii),G是極大類2-群.據文獻[9,定理1],如果有理群的Sylow 2-子群S是極大類的,則|S|≤23.所以,G不能是型(i)和型(ii).于是,G是型(iii)和型(iv).反之,由于C2、D8和Q8都是有理群,據引理1知型(iii)和型(iv)是有理群.證畢.

定理 10 設p≠2.G是2p2階有理群當且僅當是以一個32階初等Abel 3-群為核和以一個2階群為補的Frobenius群.(證明從略).

證明 用定理2和定理1.證畢.

利用引理1的4)和定理6～10,得到下述定理11.

定理 11 設2≤|G|≤31.G是有理群當且僅當下述之一成立:

1)G是階<25的初等Abel 2-群;

2)G?S3;

3)G?Q8;

4)G?D8;

5)G?C2×S3;

6)G?C2×Q8;

7)G?C2×D8;

8)G是以一個32階初等Abel 群為核和以一個2階群為補的Frobenius群;

9)G=〈x,a,b|x3=a4=1,a2=b2,b-1ab=a-1,b-1xb=x-1,ax=xa〉(|Z(G)|=2,G/Z(G)=C2×S3);

10)G=〈x,a,b|x3=a4=b2=1,b-1ab=a-1,a-1xa=x-1,bx=xb〉(|Z(G)|=2,G/Z(G)=C2×S3);

11)G=〈x,a,b|x3=a4=b2=1,b-1ab=a-1,b-1xb=x-1,ax=xa〉(|Z(G)|=2,G/Z(G)=C2×S3);

12)G?C2×C2×S3;

13)G?S4.

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2010 MSC:20C15

(編輯 余 毅)

About Rational Groups

GUO Jidong1, REN Yongcai2, ZHANG Zhirang3
(1.CollegeofMathematicsandStatistics,YiliNormalCollege,Yining835000,Xinjiang;2.CollegeofMathematics,SichuanUniversity,Chengdu610064,Sichuan;3.CollegeofAppliedMathematics,ChengduUniversityofInformationTechnology,Chengdu610225,Sichuan)

A finite groupGis called a rational group, if every character ofGis rationally-valued. In this paper, we classify some rational groups. In addition, we give an example of application, and a group-theory proof for a known result about rational groups.

finite group; ambivalent group; rational group; character; conjugation; classify

2014-06-24

新疆維吾爾自治區普通高等學校重點學科基金(2012ZDXK12)

郭繼東(1965—),男,教授,主要從事群論的研究,E-mail:guojd662@yahoo.com.cn

O

A

1001-8395(2015)06-0856-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.013