流淌在“指間”的智慧

許玲

[摘 要]兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)具體的圖像，也少不了直接的動(dòng)手實(shí)踐。但操作的意義不只是在擺弄物品，而是連通思維，表達(dá)思想。數(shù)學(xué)是抽象的、整體的、邏輯的，而兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)卻又是具象的、局部的、感性的，從幾個(gè)案例說(shuō)起，對(duì)如何通過(guò)操作在這兩點(diǎn)之間找到平衡，做一些分析和梳理。

[關(guān)鍵詞]直觀 操作 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）05-007

捷克教育家夸美紐斯說(shuō)：“可以給教師定下一則金科玉律。在可能的范圍內(nèi)，一切事物都應(yīng)該盡量地放到感官的眼前。”數(shù)學(xué)是抽象的、整體的、邏輯的，而兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)卻是具象的、局部的、感性的，如何在這二者之間搭建起橋梁呢？直觀操作是很好的途徑之一。本文試從幾位名師課堂里來(lái)找尋一些“影子”。

【案例1】“圓的認(rèn)識(shí)”教學(xué)片段

曾聽(tīng)到過(guò)張齊華老師兩次上“圓的認(rèn)識(shí)”，兩節(jié)課的開(kāi)頭都是開(kāi)門(mén)見(jiàn)山談“圓”，但教學(xué)方式迥然不同。

第一次教學(xué)，張老師讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)在哪里見(jiàn)過(guò)圓。當(dāng)學(xué)生說(shuō)出硬幣、光盤(pán)、圓桌、車(chē)輪等后，張老師指出：“圓無(wú)處不在！”然后出示在平靜的水面上扔一塊小石子后波紋蕩漾的圖片，讓學(xué)生看到大自然中的“圓”。接著欣賞十五的月亮、美麗的光環(huán)……從而揭示“圓是一個(gè)很完美的幾何圖形”，讓學(xué)生一起來(lái)創(chuàng)造圓。

第二次教學(xué)，張老師沒(méi)有只讓學(xué)生“看”，而是動(dòng)眼、動(dòng)手相結(jié)合。他從信封里先掏出一個(gè)圓形紙片，讓學(xué)生看了看后又放進(jìn)信封。信封里同時(shí)還有正方形、長(zhǎng)方形、三角形、梯形、平行四邊形的紙片。

師：要從這一堆的平面圖形當(dāng)中把圓這個(gè)圖形摸出來(lái)難不難？

生1：不難！

師：為什么？

生2：因?yàn)閳A沒(méi)有角，都是曲線，其他的圖形都有角。

師（出示一個(gè)橢圓）：這樣的圖形也沒(méi)有角，你會(huì)把它當(dāng)成圓摸出來(lái)嗎？

生3：不會(huì)！

師：為什么？

生3：因?yàn)閳A很平滑，看起來(lái)特別飽滿(mǎn)。

生4：這個(gè)紙片有的地方的弧線特別急，有的地方特別平，而圓都一樣。

隨后，張老師讓一位學(xué)生閉上眼，將平行四邊形、梯形、三角形、橢圓形和圓形分別放到學(xué)生手上，讓他判斷拿到的圖形是不是圓。

很顯然，第二次的教學(xué)具有濃濃的“數(shù)學(xué)味”，把圓的光滑、勻稱(chēng)、飽滿(mǎn)放在和其他圖形的視覺(jué)差別的大背景中，而且通過(guò)“摸”這一肢體接觸，讓學(xué)生將初步認(rèn)識(shí)和身體觸覺(jué)有機(jī)結(jié)合，加深了對(duì)圓的直觀感受。

俗話說(shuō)，“十指連心”。認(rèn)識(shí)面積時(shí)，手掌撫摸桌面、書(shū)面、臉面可以感受到面的大小、曲直；認(rèn)識(shí)質(zhì)量時(shí)，用手掌托起物品 “掂一掂”，可以感受輕重；比較長(zhǎng)短時(shí)，可以一只手捏住兩根繩子的一頭，用另一只手捋直了再比……從指間流淌出來(lái)的是體驗(yàn)、思維，是智慧，是學(xué)習(xí)的深刻感受、感悟、感想！

【案例2】“角的度量”教學(xué)片段

角的度量是大家公認(rèn)的教學(xué)難度比較大的內(nèi)容。那到底難在何處？主要還是量角器的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，刻度、線條等元素比較多。當(dāng)這一工具直接出現(xiàn)在學(xué)生面前，真會(huì)出現(xiàn)“眼花繚亂”的狀況。下面的教學(xué)，從操作入手，很好地突破了這一難點(diǎn)。

師：角的度量有專(zhuān)門(mén)的單位，你們知道是什么嗎？

生1：度。

師（拿出一個(gè)三角尺）：大家熟悉的三角尺上有三個(gè)角，你能把最小的角描下來(lái)嗎？（學(xué)生動(dòng)手操作）有人知道這樣的角是多少度嗎？

生2：我聽(tīng)說(shuō)過(guò)這是30度的角。

師：確實(shí)是這樣，（在描下來(lái)的角上寫(xiě)上“30°”）有了這個(gè)角，就能量盡天下所有的——

生：30°！

師：三角尺上第二大的角是多少度呢？猜一猜。

生3：60°。

師：對(duì)，（指60°的角）有了這個(gè)角，就能量盡天下所有的——

生：60°！

師：能將這個(gè)角也描下來(lái)嗎？試著和30°的角畫(huà)在一起。（展示學(xué)生的作品，重點(diǎn)介紹圖1）這樣的工具不僅能量盡天下的30°，也能量盡天下的60°。

師：如果再添加一個(gè)30°的角，可以創(chuàng)造出一個(gè)功能更加強(qiáng)大的量角工具嗎？

學(xué)生嘗試，展示：

在學(xué)生操作探究中，功能越來(lái)越強(qiáng)大的量角工具“誕生”了。隨后教師又引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)大膽創(chuàng)造，產(chǎn)生出功能更加強(qiáng)大的測(cè)量工具——將圖5中的刻度分得更細(xì)一些，最終想象出1°角的模樣。然后讓學(xué)生將這樣的量角器和自己的量角器工具比較，分析內(nèi)圈刻度和外圈刻度各有什么作用，并進(jìn)行量角練習(xí)。

回顧上述片段，學(xué)生學(xué)習(xí)量角器的過(guò)程，變成了掌握、制作量角器的過(guò)程。在操作中，學(xué)生深入了解了量角器的制作原理、量角的原理，化解了知識(shí)難點(diǎn)，也提高了操作技能。

類(lèi)似的教學(xué)還有“扇形統(tǒng)計(jì)圖”，如果一下子出示一個(gè)數(shù)據(jù)多、線條多、信息量多的扇形統(tǒng)計(jì)圖，學(xué)生會(huì)有些“懵”。如果從一個(gè)圓開(kāi)始，在里面先畫(huà)出一個(gè)扇形，再添加一個(gè)扇形，并逐步形成完整的具有多個(gè)數(shù)據(jù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖，學(xué)生就不感到突兀，加上因?yàn)椴僮鞯膮⑴c，靜態(tài)的圖畫(huà)變成了動(dòng)態(tài)的演示過(guò)程，學(xué)習(xí)有了“慢鏡頭”，無(wú)論是圖形認(rèn)識(shí)，還是數(shù)據(jù)分析，都將變得非常簡(jiǎn)單了。在這里，操作不只是學(xué)習(xí)的手段，更是學(xué)習(xí)的方式。

【案例三】“打結(jié)接繩”思考題

師：如果要把兩根短繩連在一起，該怎么辦？

生1：把兩根短繩打結(jié)。

師：幫繩子打過(guò)結(jié)嗎？

生2：沒(méi)有，不會(huì)打結(jié)。

師（出示題目）：繩子連在一起像不像我們小朋友手拉著手？

x生：還真像。

師：一根短繩就像一個(gè)小朋友。那就請(qǐng)我們的“小短繩”到前面來(lái)打結(jié)吧。

師：先請(qǐng)兩根“小短繩”到前面來(lái)，大家仔細(xì)觀察，把兩根短繩連起來(lái)要打幾個(gè)結(jié)？

生3：打1個(gè)結(jié)。

師：再來(lái)一個(gè)小朋友。現(xiàn)在要打幾個(gè)結(jié)？

生4：打2個(gè)結(jié)。

……

（依次增加1個(gè)學(xué)生，直到有8個(gè)學(xué)生手拉手站成一條線）

師；有了8根小短繩了，現(xiàn)在要打幾個(gè)結(jié)？

生5：打7個(gè)結(jié)。

師：你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生6：每多一個(gè)小朋友就多一個(gè)結(jié)。

生7：我還知道9根小短繩就要打8個(gè)結(jié)，10根小短繩就要打9個(gè)結(jié)。

師：你真厲害！

新教材在低年級(jí)也增設(shè)了“思考題”，通過(guò)呈現(xiàn)一些有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生在探索規(guī)律、解決問(wèn)題的過(guò)程中了解數(shù)學(xué)知識(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。這更好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)思考的改革方向。但是，對(duì)低年級(jí)的學(xué)生而言，抽象的思考只有附著在生動(dòng)、具體的直觀學(xué)習(xí)上，才會(huì)學(xué)得清晰，學(xué)得深刻。學(xué)生的手拉手的場(chǎng)景和繩子打結(jié)之間具有形式上的相似性和本質(zhì)上的相通性，讓學(xué)生用萌萌的體態(tài)語(yǔ)言直觀地詮釋了繩子打結(jié)這一有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，經(jīng)歷了一次初步的由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的探索過(guò)程，學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)了“9根小短繩就要打8個(gè)結(jié)，10根小短繩就要打9個(gè)結(jié)”的規(guī)律，還概括出“結(jié)的個(gè)數(shù)比繩子的個(gè)數(shù)少一個(gè)”的結(jié)論，是十分難得的。

上述三個(gè)案例，分別從身體觸摸、學(xué)具使用、行為表演等方面為我們提供了兒童利用直觀操作來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功做法。正是因?yàn)橛辛松眢w、行為、工具的參與，學(xué)生的學(xué)習(xí)思維就有了支撐，變得豐富而具體，生動(dòng)且深刻。當(dāng)然，“直觀操作”的形式還有很多，譬如拼搭、游戲、演示、實(shí)驗(yàn)等，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都可以有非常廣泛的應(yīng)用。有的時(shí)候，操作還可以在腦中通過(guò)回憶、聯(lián)想、想象來(lái)完成，那樣，就是更高級(jí)別的思維水平和學(xué)習(xí)水平了。如果這樣的活動(dòng)不是教師的刻意引導(dǎo)，而變成學(xué)生的一種主動(dòng)意識(shí)，那就真的成為一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)和基礎(chǔ)學(xué)力。

（責(zé)編 金 鈴）