在經驗貫通中感受數學的理性力量

嵇憲長

[摘 要]發現一個問題比解決一個問題更重要。在數學課堂中，要努力讓學生成為數學問題的發現者，并以此作為推進課堂進程和促進學生學習的重要方式。為了達成這一目標，教師要善于依托新知引入、新知形成、新知深化等學生的“認知節點”，引導學生發現問題。通過教師引領、同伴互動、自我提問等角度，讓學生領悟發現問題的一些方法，不斷增強發現問題的本領。

[關鍵詞]數學問題 發現 認知節點 提問方法

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）05-015

【課堂實踐】

一、激疑引新，喚醒經驗

1.口算搶答——引出“準”

師：通過四年的數學學習，同學們已經掌握了加、減、乘、除這四種運算的基本方法。今天這節課，首先進行一個關于加法的小測試，看誰的反應快。（大屏幕依次出現6、7、2、3、4、8，生按順序相加得到總和30）

師：恭喜！你們已經達到計算水平的第一層次——準。（板書）

2.全面觀察——引出“巧”

師：當這六個數一起展現在你的面前，讓你求和時，除了按照剛才從左到右的順序依次相加外，現在又有什么新的想法？

生1：可以采用兩兩結合的方法求和，因為每組兩個數剛好湊十。

（呈現方法：6+7+2+3+4+8=（6+4）+（7+3）+（2+8）=30）

師：佩服！你們的計算水平已經上升到——巧。（板書：巧）這種方法與按順序加相比，巧在何處？

生2：巧在把能“湊十”的兩個數先加。（板書：湊十）

師：請仔細觀察，為了湊十，我們對原來的算式做了哪些“手術”？

生3：把一些數的位置改變了，進行了調換。

生4：沒有按照從左到右的順序計算，而是把湊十的兩個數先算。

（適時提煉板書：“交換加數位置”“改變運算順序”）

3.無疑生疑——促探索

師：對于你們大膽地給這道連加算式實施的這兩個“手術”，老師產生了疑問。你們知道老師產生了什么疑問嗎？

（生討論、猜想、提問）

二、舉例說理，提煉經驗

1.教學加法交換律

師：請注意，老師產生的疑問是“交換加數的位置，和會發生變化嗎？”（在“交換加數位置”上打上一個“？”）

生1：不會。比如4+3和3+4，都等于7，它們的和是一樣的。（板書：4+3=3+4）

師：你不僅回答了問題，而且舉了一個簡單的例子證明自己的想法，值得表揚。（板書：舉例）不過一個例子能證明一個結論是正確的嗎？

生2：不能。必須舉很多的例子。

師：你們還有其他不同類型的例子嗎？

生3：有。比如20+60=60+20。（板書）

師：為什么說這是不同類型的例子呢？

生3：剛才是一位數加法，我這是兩位數加法。

師：說得很有道理。還有其他不同類型的例子嗎？

生4：220+340=340+220。

師：你是算了兩邊的得數以后才知道相等，還是一開始就知道相等？

生4：我沒有算。因為傻子都知道相等。

師：“傻子都知道”是什么意思？

生5：他的意思是這樣的兩個式子一定是相等的，不用算就知道。

生6：我們以前在考試中就經常有這樣的兩個式子讓我們選擇“﹥”“﹤”“=”填空，我們每次選擇“=”都是正確的。

師：也就是說這樣的兩個式子相等，不是偶然的，而是必然的！既然如此，這當中就一定蘊含著某種道理。你能從道理上講一講嗎？（板書：說理）

生6：因為在列式時不管你先寫哪個數，后寫哪個數，最后都是把這兩個數加起來，所以一定是相等的。

生7：把兩個部分合起來是不分先后順序的。

師：剛才我們先用 “舉例”證實了“兩個數相加，交換加數的位置，和不變”。又用“說理”證明了“兩個數相加，交換加數的位置，和不變”。那么你喜歡用什么方法來表示這個規律呢？（生試寫、匯報）

生8：□+○=○+□。

生9：甲+乙=乙+甲。

生10：藍色+紅色=紅色+藍色。

生11：a+b=b+a。

師：剛才這么多方法，都比較形象、準確地表示了這條規律，那么你認為哪種表示方法最適合數學呢？為什么？

生12：我認為字母最適合，因為用字母比較簡單。

生13：我看過書了，書上就是用字母表示的。（板書：a+b=b+a）

師：想一想美國的數學書上會怎么表示？其他國家的數學書上會怎么表示？

生14：美國的數學書上肯定用字母表示，因為他們就說英語。其他國家的數學書上也應該用字母表示吧。

師：說得對。這是全世界數學界的統一規定。之所以選擇用字母表示，最主要的原因當然是因為它簡單方便，但你們有沒有想過或許有其他的原因呢？

生15：我想可能是因為美國的科學領先，經濟發達，所以英語是世界上最通用的語言。不過隨著我們中國越來越強大，學漢語的人也會越來越多。

師：是的，現在世界上確實掀起了一股“漢語熱”。試著給這條規律起個名字吧？

生16：加法交換律。（板書）

2.教學加法結合律

師：剛才我們討論了兩個手術中的第一個手術“交換加數位置”，接下來我們討論第二個手術“改變運算順序”。你們能像剛才老師那樣針對它提出一個問題嗎？

生17：在加法中，改變運算順序，會不會改變結果呢？

生18：不會。比如（3+4）+5=3+（4+5）。

師：請大家注意觀察，生18舉的這個例子中，等式兩邊什么沒有變化？什么發生了變化？

生19：三個數的位置沒有變化，結果沒有變化。

生20：兩邊計算的順序不同。

生21：兩邊結合的方式不一樣。

師：我想請問剛才那個同學，你在舉這個例子時，是先計算然后知道相等，還是一開始就知道相等？

生18：不用計算。因為不管你采用什么順序合并，最后都是把這三個部分合在一起，所以改變運算順序，和不變。

師：你的意思是不用舉例了，這也是一條規律。大家同意嗎？這條規律叫什么名稱？在數學中怎樣表示呢？試著自己寫一寫、議一議。

（生試寫、交流，板書揭示“加法結合律”）

師：這就是加法運算中存在的兩條重要規律，我們把它們統稱為“加法運算律”（板書）。這兩條運算律的關鍵詞分別是什么？你是如何理解的？

生19：加法交換律的關鍵詞是“交換”，意思是在加法中可以交換加數的位置；加法結合律的關鍵詞是“結合”，意思是可以改變原來的運算順序，進行重新結合。

三、回顧既往，貫通經驗

師：其實，這兩條規律早就陪伴著我們了，只是在今天這個合適的時機把它們提煉出來罷了。瞧，這是我們一年級時候經常練習的“一圖兩式”，同學們想想看，這里面就有誰的影子？

生1：加法交換律。

師：后來，在計算比較復雜的加法時，為了保證結果的準確，我們也經常像這樣用交換兩個加數位置的方法進行驗算。現在看來，這是哪一條規律的應用？

生2：加法交換律。

師：用湊十法幫助我們計算20以內進位加法，需經歷這樣的思考過程。這當中有誰的影子？

生3：加法結合律。

師：解決這樣一個實際問題可以用兩種不同的思路，最后得到的結果一樣。這其實是對哪種規律的有力證明？

生4：加法結合律。

師：如此看來，今天所學的新知識還算是新知識嗎？

生5：不是！其實我們早就知道了。

師：是的。這正是數學知識發展的特點“舊中有新，新中有舊”。但不要忘了一個前提條件，那就是要想學好新知識，先要——

生6：學好舊知識。

四、練習延伸，提升經驗

1.讓學生練習書上“想想做做”第1題和第2題（過程略）

2.介紹“高斯求和問題”

師：在人類的數學發展史上，曾經有一位偉大的數學家把加法的交換律和結合律用到了極致，同學們想了解嗎？（依次出示高斯問題的背景和思維過程）請同學們比較一下，為了實現“巧算”，我們運用加法運算律是為了“湊整”，而高斯是為了什么？

生1：是為了把每一組的和都變成101，這樣就有50個101，就是5050。

師：簡單地說，高斯是為了“湊同”。這樣就可以把一道復雜的加法變成乘法，簡稱為“變加為乘”。你覺得這樣的思維方式怎么樣？

生2：真是太絕妙了！

五、課堂總結，積淀經驗（略）

【教后反思】

一、經驗貫通，彰顯課堂的邏輯力量

好的數學課堂是自然流淌的，應該有一股內在的、強大的邏輯力量在推動著課堂朝著預定的目標不斷前行。

鑒于學生經驗系統中已經儲存了關于新知的豐厚經驗，本節課以經驗的激活、提煉、拓展和積淀貫通全課。課伊始，用六個數激活學生既有的加法經驗，通過“依次相加”和“結合湊十相加”兩種不同的方法對比，指明學生提高計算水平的方向——由“準”到“巧”。這六個數，雖然簡單，卻是一個結構性的學習材料（所謂結構性學習材料是指教師把所要學的知識隱蔽地鑲嵌到學習材料中，便于學生通過主動探索重新“發現”、“創造”相應的知識）。利用這一簡明的結構性材料，順利引出本節課的兩個關鍵問題——“交換加數位置”和“改變運算順序”，給接下來的探討、交流和對話提供話題。

圍繞“交換加數位置”進行交流，是學生既有加法經驗的自然輸出，最后通過歸納總結，抽象表達出規律，引導學生經歷了數學模型的建構過程，培養了符號意識，提升了經驗水平。探討“改變運算順序”，則是剛剛獲得的思維活動經驗和建模經驗的主動遷移和再次強化，它為今后探索其他運算律打下伏筆。

“對以往學習歷程的回顧”，既直接檢驗了學生對加法運算律的記憶、辨認和理解，又有效地溝通了新舊知識的聯系，使學生清晰地感悟到數學知識“舊中帶新、新舊聯系”的發展特點。

整節課，遵循“數學學習就是學生既有經驗的改造”，以嚴整、精煉的課堂結構所產生的內在邏輯力量推進課堂，力求達到“教學思路”“學習思路”和“知識發展之路”的“三路”統一，使課堂呈現出自然、合理的生長質態，引領學生順利建構新知。

二、舉例說理，體驗數學的理性特征

本節課，我采用了雙線推進的方式，引導學生確認加法運算律的事實存在。

一條線索是舉例證實。在利用準備題讓學生初步感知“交換加數位置，和不變”的現象后，嘗試讓學生列舉出更多的有這類現象的等式，進行更多的驗證，從而體驗現象的普遍性。當然，這并不是為了舉例而舉例，舉的例子越多就越好，而是要通過教師引導使學生感受到要舉出與眾不同的例子，要舉出特殊的例子才能更充分地說明問題。

另一條線索是說理證明。“既然不是偶然，而是必然，就說明其中一定蘊藏著某種道理。你能試著講一講嗎？”由于這個問題帶有邏輯推理的意味和性質，學生對此明顯不太適應，課堂上頓時安靜下來。在接下來的討論交流中，學生逐步認識到“無論你先寫哪個數，再寫哪個數，結果都是把這兩部分合起來，所以和不變。”這種說理方法讓大家茅塞頓開。等到了加法結合律的學習，有很多學生已經不太愿意“舉例證實”了，他們紛紛主動地選擇“說理證明”的方法——“不管你采用什么順序結合，最后都是把這三個部分合到一起，所以和不變。”這無疑提高了教學效率，提升了學生的認識水平。

三、相機滲透，感悟生活的教育意蘊

課堂即生活，生活即教育，數學課堂也不例外。其實，一個民主、尊重、開放的數學課堂，一個學生感到“心理安全、自由”的數學課堂，一個教師始終對學生真誠關注、由衷欣賞、恰當指導的數學課堂，一個學生能積極主動展現真性情、表白真想法的數學課堂，本身就是一幅溫馨的生活畫卷，充滿濃濃的教育意蘊。

本節課，我從“生態課堂”的角度，尋找了兩個滲透點。第一個點是關于字母表述規律的討論。“a+b=b+a，為什么用字母表示最適合數學？”“國外的數學書上也是這樣表示的嗎？”“除了簡單方便之外，有沒有其他的原因呢？”透過對這些問題的追尋，除了促進學生理解數學的符號意蘊外，有沒有可能開拓了部分學生的國際視野？有沒有可能激起部分學生的民族自豪感？這些誰也說不準，因為教學本身就是確定性和可能性的結合。第二個點是關于“高斯求和”問題的討論。課堂上，讓學生穿越時空想象當時小高斯和其他同學面臨“1+2+3+…+98+99+100”這一復雜問題情境時的不同表現，此種對比，更加凸顯了靜心思考的獨特魅力、敢于超越的精神力量和高超完美的人類智慧。這是一種人文精神，也是一種科學精神，這種精神正是推動數學不斷發展的內在動力之一。

（責編 金 鈴）