反例，數學課堂中的一把利刃

劉小軍

[摘 要]如果要證明一個給定的命題為假命題，一般可舉出一個例子，使其有該命題的條件，但無該命題的結論，這個例子就是反例。因此，在數學課堂中，教師可適時引入反例進行教學，并引導學生構建反例，加深學生對數學知識的理解，進一步培養學生的數學思維能力。

[關鍵詞]小學數學 反例 構建

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）05-042

如果要證明一個給定的命題為假命題，一般可舉出一個例子，使其有該命題的條件，但無該命題的結論，這個例子就是反例。心理學研究表明：“小學生在對事物認知的過程中，一般很難對事物基本屬性有深刻的理解和掌握。”所以，數學課堂上列舉出的反例一般是變換事物的本質屬性，引導學生通過研究和數學結論本質不同或相反的例子，使他們能夠對數學概念的本質有深刻的認識。

一、反例在數學課堂中的應用

反例在數學課堂上的作用明顯，既能夠推翻數學中的錯誤命題，又能夠明確正確命題使用的范圍，所以得到越來越多數學教師的青睞。

1.應用反例突破思維難點

數學學習中，總有一些理解過程中的節點難以突破，運用反例能有助于解決這一思維難點。如學習退位減法時，其難點是如果一位不夠減，就要從上一位退一作十再進行減法計算，而在實際教學過程中，學生在退一之后還習慣用原數進行減法計算。為解決這一教學難點，教師可將全部錯誤的豎式組成一道題，讓學生找出正確的豎式。當學生選出答案之后，教師不要急于指出學生的錯誤，而是讓他們驗證該豎式正確與否。由于學生選擇的答案不同，在此期間還形成了相互指正、相互糾錯的局面，這時教師運用反例進行講解，能夠使學生對退位減法有更深刻的理解和認識。

2.應用反例消除思維定式

反例一般直觀鮮明，能有效消除思維定式。如教學簡便運算時，學生一般對“先進行乘除運算，再進行加減運算”存在誤解，且對于一些題目中的簡便運算十分敏感，一旦看到某些數字存在一定的聯系就會盲目地進行簡便運算。這時，教師可列出1000÷25×40、1/4×4÷1/4×4兩道算式讓學生進行計算，大部分學生會運用簡便運算的方法得出結論，然后教師讓學生對結論進行交流并說出自己的理由。學生經過探討后就會發現計算的順序錯誤，教師再讓學生將第一題中的“×”改為“÷”，將第二題中的1/4×4全部用小括號括起來，這樣就會形成兩道可以進行簡便計算的題目。在這個過程中，運用反例進行教學，就像一把利劍在手，能夠穿透數學教學的本質，消除學生的思維定式。

3.應用反例培養辯證思維能力

一般情況下，適時地將反例運用到數學教學當中去，能夠給學生的學習提供一些有價值的素材，從而引導學生用辯證的眼光去思考數學問題，使他們對數學的嚴密性有深刻的認知和體會，并在不斷反駁和肯定的過程中，提高自己的辯證思維能力。如教學“質數與合數”時，教師先給出3、5、9、12、13五個數，讓學生找出除了1和其本身之外能被自己整除的數，這時學生就會發現3、5、13三個數字找不到其他的約數。通過對問題進行探究，學生就能夠總結出質數與合數的概念，正確判斷質數與合數。

二、引導學生自主構建反例的方法

許多教師已經認識到利用反例可以消除學生在學習過程中存在的錯誤，提高數學課堂的教學效率，但僅僅由教師自己引入反例是遠遠達不到教學目標的，教師還要及時引導學生舉出反例，體現學生在學習過程中的主導作用。

1.根據定義中的關鍵詞構建反例

如教學“小數的性質”一課時，為引導學生概括出小數的性質，教師應先問學生：“在理解小數的性質時，要注意其中的哪些關鍵詞？”這時學生就會回答“小數的末尾”，然后教師再引導學生構建反例證明其重要性。反例（1）：在小數點后面添加或者去掉0，如7.3與7.03，其數值大小不相等。反例（2）：在小數部分中間的部位添加或者去掉0，如8.32和8.302，其數值大小不相等。反例（3）：2.6和20.6的數值大小不相等，說明整數部位的末尾也不能加上或者去掉0。通過以上三個反例，說明只有在小數部分末尾添加或去掉0，其數值才會不變。通過教師的引導，學生自主構建反例，這樣學生才會有深刻的印象，達到預期的教學效果。因此，教師在教學過程中要培養學生構建反例的意識，讓學生認真思考所學內容及所學知識點的本質特征和非本質特征，從而打開學生的思維之門，使學生的數學思維得到最大限度地開發。

2.根據知識性質構建反例

在實際教學過程中，反例的構建往往不是唯一的，這就要求學生要深刻認識自己所學的內容，能夠運用自身積累的數學知識和思維能力進行批判性的思考。如教學“三角形的分類”一課時，教師引導學生對三角形進行觀察，并總結出所有三角形至少存在兩個銳角這一共同特征。教學到此還不能結束，教師還要引導學生進行更為深刻的探討，如“為何所有三角形內必須至少存在兩個銳角”“是否能找出一個存在兩個鈍角或者是兩個直角的三角形”等問題。問題提出后，教師應讓學生自己通過畫圖、動手拼擺等方法進行反例構建，使學生深刻理解“一個三角形至少存在兩個銳角”的定義。這樣教學，引導學生自主進行反例的構建，既能讓學生深刻認識知識的本質，又使學生的思維不斷得到訓練。

總之，在數學課堂中，教師要適時引入反例進行教學，并引導學生構建反例，加深學生對數學知識的理解，進一步培養學生的數學思維能力。

（責編 藍 天）