基于教材的數學習題課教學的理論與實踐

☉云南省大理市第一中學 王永生

基于教材的數學習題課教學的理論與實踐

☉云南省大理市第一中學 王永生

近期，筆者隨機聽了幾節平面向量的習題課，基本上都是教師講授一些學生有疑難的題，一節課講了有六七題之多.教學效率不高.培養學生的能力更是缺乏措施.習題課到底該怎么上？筆者從以下幾個方面談談認識.

一、高中數學習題課教學現狀分析

習題課的基本任務是鞏固和強化所學知識，解決學習疑難.這是共識，可現實情況如何呢？

1.教師未精選習題，進行精心備課

雖然師生從觀念上認可數學習題課的重要性，可對習題課的組織缺少理論的支撐，加上習題課的不確定性，多數教師還僅停留在經驗的層面.具體操作過程中隨意性較大.這主要體現在對習題的選擇和備課環節.

作為習題課的重要載體，習題的選擇至關重要. 2004年初審通過的人教A版普通高中課程標準實驗教科書的一個顯著特點是增加了大量的習題.每小節后有練習題，每一大節后有習題（分A、B兩組），每章結束后有復習參考題（分A、B兩組），此外，還有一定量的實習作業等.應當說，這些經過專家精挑細選的習題，有很多是值得師生在課堂上進行細細咀嚼的，如何用好這些習題更是值得探討的一個課題，可文1通過調查發現：69.7%的教師并沒有把習題作為課時作業來要求，一半以上的教師對教材習題的使用很隨意，視課堂教學情況而定.如果教學時間有余，就從中選幾道作為課堂練習；如果時間緊張，則留作學生課后選做.還有19.5%的教師根本不作任何要求，取而代之的是大量教輔書的使用.于是，更多的教學形式是課堂上師生快速學完概念、定理、公式后結合教材例題，學生做大量的教輔書上的題，教師多數的習題課就是選擇教輔書上學生不會做的題，如此輪回，而教材上的很多經典習題卻被置之不理了.

“由于缺乏對習題課的深入研究，習題課在很多教師心目中就變成了習題‘處理’課.這樣一來，習題課的教學模式就變成了對答案、講錯題.”［2］所以相比較而言，習題課普遍缺乏計劃性，遠不如新授課準備得充分.更可怕的是，高三復習課正逐步演變成這樣的形式.難怪我們的學生永遠也跳不出“題海”.每次教學常規檢查，筆者曾有意識地就習題課的教案進行過普查，很遺憾，幾乎沒人認真備過這方面的課.頂多將要講的題解一遍，可仍然缺乏系統、科學的設計.在整個教學過程中，何時需進行必要的習題課？應選擇哪些題進行教學？通過怎樣的教學組織才能達到教學目的等一系列的問題似乎都未曾細致地思考過.

2.學生學習興趣不高，課堂教學效果差

“教師只有精心選題、備課，才能幫助學生構建良好的認知結構.”［3］選題不認真，未對所選的題進行深入地研究，沒有對所選的題有一個深刻的認識.備課不夠充分會導致諸多課堂問題.而最終的受害者往往是學生.文2從學生在習題課上的學習心理、學習行為、教師干預、學生收獲4個維度對高中數學習題課的綜合學習水平進行調查.調查結果顯示，習題課存在學生學習興趣不高，學習缺乏主動性，教師包辦過多，課堂交流少，習題課效果差等諸多問題.

雖然習題課在高中數學教學中占有很重要的地位，但由于教師未精心選題，不進行認真備課，課堂組織不合理，學生學習效果差已是不爭的事實.可問題是大家都清楚習題課的重要性，實際進行組織時卻未曾將其認真對待，只是簡單地將其等同于習題“處理”課.加之，各級行政管理部門也未對其進行必要的引導和指導，從來未見各種公開課和課賽以習題課形式出現的.可事實是，在數學教學過程中，習題課卻大量存在著.應該像習題是教材的重要組成部分一樣，習題課應該非常正式地納入教學計劃中，具體確定所用課時，針對各個章節的教學配置相應的習題課，而且習題課也應該有詳細具體的教案.［2］

二、關于數學習題課的相關理論研究

“習題是數學知識的載體，是數學思想方法的生長點，蘊含著巨大的教育潛能.”［2］“數學習題課是數學課的一種重要課型，它的主要任務是鞏固數學基礎知識，形成熟練的技能、技巧，發展學生的思維能力，提高問題解決的能力.”［4］新課標強調對學生數學能力的培養，而習題課正是通過訓練學生解題，達到鍛煉學生各方面能力的目的.由此可見，數學習題課在整個高中數學教學中占有很重要的地位，深入研究習題課教學不僅是當下現實教學的迫切需要，而且對高中數學教學質量的有效提升具有更深層次的現實意義.

1.數學習題課的設計要求

基于數學習題課的任務和特點，在具體進行設計時要“按照整體、有序和適度的原則，做到有目的、有層次、有實效地逐步提高.”［4］

首先，教學目標要具有開放性.數學習題課的主要任務是通過典型的習題讓學生掌握問題解決的策略.那么對于典型的習題，其解決策略不應是單一的、僵化的，而更應該可以從多角度思考，全方位引申.結合學生的具體情況進行開放性的設計是一節好的習題課的先決條件.

其次，教學內容要具有層次性.教材習題的編寫是按練習、習題（分A、B組）和復習參考題（分A、B組）的順序進行的.這已經充分考慮到了層次性.可一般說來，數學習題有以下三個層次：第一個層次是基本練習，其主要作用是幫助學生回憶、鞏固所學的新知識.第二個層次是深化練習，其主要功能是加深學生對所學知識的理解，提高應用水平.第三個層次是綜合題訓練，其主要目的是加強知識之間的聯系，培養綜合運用知識、問題解決和創新的能力.由此可見，基于學生的認知水平，在習題的選擇和教學設計上應充分考慮循序漸進、逐層上升的原則，對于難度相對有些難的綜合問題，必要時還須搭一些支架，扶著學生逐級而上.當然，習題的選擇應盡可能以現有教材上的題為主，適當兼顧一些教輔資料上的題，并逐步引導學生嘗試求解一些具有一定訓練價值的高考題，如此，方能給學生營造一種高考的根在教材，學習時不能好高騖遠、舍本逐末，過早陷入“題海”的學習氛圍.

最后，教學活動要具有靈活性.數學給人的印象是枯燥的，數學習題的求解是艱辛和乏味的.所以，在教學設計時應充分考慮如何組織教學活動方能讓師生在愉悅的課堂中真正實現教學相長.當然，教學活動的組織形式多種多樣，可從學生的實際出發，充分調動學生的學習積極性，讓學生真正成為課堂的主人，在解題的實踐和探索的過程中實現能力的提高.此時，教師應充分發揮自身的特長，適時引導和指導學生完成課堂教學，力爭做到既不缺位也不越位.切不可從頭講到尾，忽視了學生的學習感受.

2.數學習題課的常用模式

一方面要提倡教學活動的靈活性，給師生充分的自由，在問題解決的空間中遨游，但另一方面，作為一種重要的數學課型，其一定也存在著一些規律性的東西需要大家遵循，如此才不至于迷失方向.下面介紹兩種常用的習題課教學模式：［5］

一是“觀察—引導”模式，其操作過程如圖1所示.

圖2

“觀察—引導”模式一般從貌似簡單的問題入手，通過教師引導學生進行觀察和思考，最終尋找出其中隱含的規律，其常適用于對新知識的鞏固和提高；而“探究—解決”模式則是直接呈現比較困難的問題，通過層層設問，引發學生思考，讓學生在步步探究中發現解題策略，其常用于對舊知識的復習、總結.事實上，教無定法，只要能從學生實際出發，設計出好的問題情境，選擇什么教學模式并不重要.

三、以教材習題為主的習題課教學設計

在“平面向量”整章學習的最后，安排一兩節習題課就顯得非常有必要了.但這樣的課就不能安排成簡單的習題處理課，而更應該立足于學生的實際，結合本章的核心知識和方法，通過精選習題，設計有層次、靈活和開放的課堂，方能達成較好的教學效果.

考慮到平面向量的數量積兼具“數”和“形”的特征，是溝通代數、幾何和三角的一座橋梁，同時也是高考重點考查的內容之一，所以可選擇求平面向量的數量積為突破口.

應選擇什么樣的習題才能讓學生體會求數量積的基本方法，而且還不顯得那么吃力呢？現成的高考題較多，教輔資料上有關這方面的習題也不少，可考慮到學生還是初學這部分知識，其基本的解題能力還有待進一步培養，加之，教材上還有那么多習題，尤如一顆顆散落的珍珠，教師只要做一個有心人，將其盡可能地串成一條項鏈豈不更好.那應選擇什么樣的教學方式才能讓這些習題之花在課堂教學中完美地盛開呢？前面兩種教學模式固然可選擇.可同樣考慮到這節課要立足中下層學生，并最終實現班級全體的有效教學.那不妨借用文6所倡導的“低起點，小步子，樹信心，引方法，勤反饋，上臺階”的教學思路來進行設計.其交互作用如圖3所示，這猶如一朵美麗綻放的蓮花，不正是筆者所期待的效果嗎？基于此，筆者進行了如下的教學設計，為便于表述，特將人教社A版普通高中課程標準實驗教科書數學必修4簡稱為教材.

圖3有效教學基本思路要素的耦合關系圖

1.利用低起點，激活學生思維

師：同學們，平面向量是溝通“數”和“形”的一座橋梁，而平面向量的數量積以平面向量為載體，其結果卻是數的形式，如此別具一格的特征使其成為了高考的重點內容，那如何求平面向量的數量積呢？讓我們從教材中的一些習題開始今天的探求之旅吧！

例1（教材第108頁習題2.4A組第2題）已知△ABC中，a=5，b=8，∠C=60°，求

師：誰上來到黑板上做？其他同學在下面求解.

師：同學們，生1做對了嗎？

生：（有些疑惑）……

圖4

生：噢！

師：同學們，此題很簡單吧！（學生沒反應，估計此時不敢輕易下此結論了）確實，生1是有些輕敵了，做題時看似馬虎，實質上是概念不清，加之又沒有作出圖形，用形來啟發思考，從而導致了這樣的錯誤.事實上，此題求解用數量積的定義不假，如圖5所示，a·b= |a|·|b|cosθ，其中θ=〈a，b〉∈［0，π］，其幾何意義為：數量積a·b等于a的長度|a|與b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積.若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a·b=x1x2+ y1y2.

圖5

師：同學們，錯誤并不可怕.其實，哲學家黑格爾曾說：“錯誤本身仍是達到真理的一個必然環節.”只要能夠理清錯因，那你離真理也就不遠了.

例2（教材第120頁復習參考題B組第1題（7））等邊三角形ABC的邊長為1c+c·a等于（）.

設計意圖：從教材上一道極易出錯的習題開始，通過學生間的辨析，深化對平面向量數量積定義中兩向量夾角的認識.同時利用教材上的一道習題可進一步強化定義法求數量積這一基本方法.

由于例1的起點較低，通過教師的引導和學生的反饋，在澄清錯誤的過程中激活了學生的思維，樹立了進一步解決問題的信心.

2.借助小步子，拓展學生思維

師：已知兩個向量的模長和其夾角的余弦值時，可直接用定義求其數量積.但若其中有不明確給出的量時，又該如何求數量積呢？

例3（例1改編）如圖6，在△ABC中，AB=2，AC=8，若點P為線段BC的中點，求的值.

圖6

師：此題若直接用定義則相對難求，但考慮到已知AB和BC的長度，若選擇為基底，利用向量的幾何運算，將都用基底表示則可完成求解，即

此法容易想到，由于選擇了用已知量作為基底通過轉化完成了計算，所以可稱為基底法.當然，從定義出發仍可求解，只不過此時利用幾何意義可能相對要容易一些，即過A點作BC的垂線，垂足為D.設BD=m，DC=n，由勾股定理可知4-m2=64-n2?n2-m2=60，則由數量積的幾何意義可知可以看作的長度與上的投影的乘積，因為所以

此法較簡單，但確實不容易想到，若掌握了此法，則成為解決此類問題的一把利器.

師：以上兩種方法都是從形的角度進行的，別忘了平面向量兼有數的特征，那此題能否從數的角度進行思考呢？

生3：（思考片刻后）如圖7，以B為原點，BC為x軸建立直角坐標系，若設A（x，y），C（2a，0），P（a，0），則由4a2-4ax=60，所以

圖7

師：真是不容易，計算有些煩瑣，可此法也是求平面向量數量積的常用方法，至此，同學們已經學會了四種方法：定義法、基底法、投影法和坐標法，下面請同學們嘗試用以上方法解決下面的問題.

例4（教材第108頁習題2.4B組第4題改編）如圖8，在圓C中，若AB=2，求的值.

圖8

設計意圖：例3直接從例1改編而來，目的是通過此題的求解，讓學生進一步掌握平面向量數量積的另外三種求法，雖然步子較小，但這些方法學生不易想到，所以必須借助教師的引導和講授方能達成目的，通過學習和后面練習（例4）的訓練，學生基本掌握了數量積的常用求法，學習信心將進一步大增.

3.趁勢上臺階，優化學生思維

師：同學們，我們已學會了求平面向量數量積的幾種方法，若將例3改為下面的問題，則應如何求解為好呢？

例5（例3改編）如圖9，在△ABC中，AB=2，AC=8，若點P為△ABC的外心，求的值.

圖9

師：同例3一樣，基底法、投影法和坐標法仍可適用，下面請三位同學上臺分別板演三種求解方法，其余的同學任選一種求解.

生：（學生求解，教師適當進行指導和點評）……

師：從結果上看，結合例3，你有何發現？能總結出一般性的結論嗎？

師：能結合求解過程進行解釋嗎？

師：很好.最后請大家完成下面的題.

圖10

例6（教材第120頁復習參考題B組第8題）在△ABC中，若那么點O在△ABC的什么位置？

設計意圖：應當說，例3學完后，學生的思維已經上了一個臺階，此時設計例5的目的一方面是為了鞏固從例3所學到的方法，另一方面是為了引導學生再往上走一步，直到弄清此類問題的本質，雖然要求有些高，可由于是趁勢而上，有一種水到渠成之感.

教材上的習題應是習題課首選的題目.分析清楚每一道習題的解法，結合自身教學的需要，充分挖掘每一道習題的功能，“將那些思想性強，反應數學本質的內容、習題進行大膽取舍整合”，［7］讓教材上的習題之花在課堂教學中完美地盛開.這不僅是每位數學教師專業發展的需要，更是讓學生重視教材，不盲目陷入“題海”的需要.

對高中數學習題課再怎么深入研究都不為過，此處只是對高一、高二平常學習過程中習題課的一種嘗試，那么對高三復習過程中的習題課應如何設計為好呢？這仍是一個十分值得研究的課題，期待大家能夠在這個方面進行探討.

1.張琥.新課標高中數學教材習題教學現狀分析與建議［J］.數學教育學報，2012（4）.

2.張碩，王瀟.關于高中數學習題課教學的調查與研究［J］.數學教育學報，2013（3）.

3.李廣修.學生解題創新與守舊的行為差異［J］.數學教學，2006（11）.

4.肖柏榮.高中數學典型課示例［M］.北京：人民教育出版社，2001（6）.

5.李果民.中學數學教學建模［M］.南寧：廣西教育出版社，2003（5）.

6.葛軍.關注班級全體的有效數學教學基本思路［J］.數學教育學報，2011（6）.

7.陳海英.利用一道習題進行教材“再創造”學習［J］.中學數學（上），2014（5）.F