概率與遞推數列的綜合應用

河北省石家莊市第二中學 李 林

在高考復習中要注意知識間的聯系與結合.數列是高考的重點與難點，概率問題也在近幾年的高考中份量越來越大.筆者在此選擇了三道數列與概率結合的典型例題，獻給讀者朋友，不足之處，請不吝賜教.

例1（2006年北京春季高考題）A、B兩人拿兩顆骰子做拋擲游戲，規則如下：若擲出的點數之和是3的倍數，則由原擲骰子的人繼續擲，若擲出的點數和不是3的倍數，就由對方接著擲.第一次由A開始擲，設第n次由A擲的概率為Pn，求Pn的表達式（用n表示）.

解：由題意可知，第n次由A擲有兩種情況：①第n-1次由A擲，且此時拋出骰子的點數和為3的倍數，此時概率為P=；②第n-1次由B擲，且此時拋出骰子的點數和不是3的倍數，此時概率為（1-Pn-1）.由這兩種情況是互斥的，得（1-Pn-1），（n≥2，n∈N）.將上式變形為：

例2 某人玩“擲硬幣走跳棋”的游戲，已知硬幣出現正反面的概率都是0.5，棋盤上標有第0站、第1站、…、第100站，一枚棋子開始在第0站，棋手擲一次硬幣棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋子向前跳1站（即從第k站跳到第k+1站），若擲出反面（即從第k站跳到第k+2站），棋子向前跳兩站；直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或跳到第100站（失敗大本營）時，游戲結束.設棋子跳到第n站的概率為Pn.

（1）求 P0，P1，P2；

（3）求Pn.

解：（1）棋子開始在第0站為必然事件，故P0=1.第一次擲硬幣出現正面，棋子跳到第1站，其概率為，因此棋子跳到第2站應從如下方面考慮：

（2）棋子跳到第 n（2≤n≤99）站有且只有以下兩種情況：

（3）由（1）、（2）知數列{Pn-Pn-1}是首項為，公比為的等比數列，由等比數列的通項公式知：

Pn-Pn-1=

由迭加法得：

例3 質點A位于數軸x=0處，質點B位于x=2處.這兩個質點每隔1秒都向左或向右移動1個單位，設向左移動的概率為，向右移動的概率為

（1）求3秒后，質點A在點x=1處的概率；

（2）求2秒后，質點A、B質點在點x=2處的概率；

（3）假若質點C在x=0，x=1兩處之間移動，并滿足：當質點C在x=0處時，1秒后必移到x=1處；當質點C在x=1處時，1秒后分別以的概率停留在x=1處或移動到x=0處，今質點C在x=1處，求8秒后質點C還在x=1處的概率；

解：（1）3秒后，質點 A到 x=1處，必須經過兩次向右，一次向左移動.

（2）2秒后，質點A、B同時在點x=2處，必須質點A兩次向右，且質點B一次向左，一次向右，

（3）設第n秒后，質點C在x=1處的概率為xn，質點C在x=0處的概率為yn，由題意可知

由xn+yn=1得

∴ {3xn-2}是首項為，公比為的等比數列.

小結：概率問題在高考中常常以單元內的知識的橫向綜合為主要題型，與單元外知識的縱向綜合屈指可數，但隨著近幾年高考對概率問題考察程度的進一步加深，難度的加大，復習時應引起足夠的重視。本文3道例題，不僅融合自然，而且還突出了能力立意這個核心。