概率與遞推數(shù)列的綜合應(yīng)用

河北省石家莊市第二中學(xué) 李 林

在高考復(fù)習(xí)中要注意知識(shí)間的聯(lián)系與結(jié)合.數(shù)列是高考的重點(diǎn)與難點(diǎn)，概率問題也在近幾年的高考中份量越來越大.筆者在此選擇了三道數(shù)列與概率結(jié)合的典型例題，獻(xiàn)給讀者朋友，不足之處，請(qǐng)不吝賜教.

例1（2006年北京春季高考題）A、B兩人拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)，則由原擲骰子的人繼續(xù)擲，若擲出的點(diǎn)數(shù)和不是3的倍數(shù)，就由對(duì)方接著擲.第一次由A開始擲，設(shè)第n次由A擲的概率為Pn，求Pn的表達(dá)式（用n表示）.

解：由題意可知，第n次由A擲有兩種情況：①第n-1次由A擲，且此時(shí)拋出骰子的點(diǎn)數(shù)和為3的倍數(shù)，此時(shí)概率為P=；②第n-1次由B擲，且此時(shí)拋出骰子的點(diǎn)數(shù)和不是3的倍數(shù)，此時(shí)概率為（1-Pn-1）.由這兩種情況是互斥的，得（1-Pn-1），（n≥2，n∈N）.將上式變形為：

例2 某人玩“擲硬幣走跳棋”的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面的概率都是0.5，棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、…、第100站，一枚棋子開始在第0站，棋手?jǐn)S一次硬幣棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正面，棋子向前跳1站（即從第k站跳到第k+1站），若擲出反面（即從第k站跳到第k+2站），棋子向前跳兩站；直到棋子跳到第99站（勝利大本營(yíng)）或跳到第100站（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站的概率為Pn.

（1）求 P0，P1，P2；

（3）求Pn.

解：（1）棋子開始在第0站為必然事件，故P0=1.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子跳到第1站，其概率為，因此棋子跳到第2站應(yīng)從如下方面考慮：

（2）棋子跳到第 n（2≤n≤99）站有且只有以下兩種情況：

（3）由（1）、（2）知數(shù)列{Pn-Pn-1}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：

Pn-Pn-1=

由迭加法得：

例3 質(zhì)點(diǎn)A位于數(shù)軸x=0處，質(zhì)點(diǎn)B位于x=2處.這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)每隔1秒都向左或向右移動(dòng)1個(gè)單位，設(shè)向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為

（1）求3秒后，質(zhì)點(diǎn)A在點(diǎn)x=1處的概率；

（2）求2秒后，質(zhì)點(diǎn)A、B質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)x=2處的概率；

（3）假若質(zhì)點(diǎn)C在x=0，x=1兩處之間移動(dòng)，并滿足：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)C在x=0處時(shí)，1秒后必移到x=1處；當(dāng)質(zhì)點(diǎn)C在x=1處時(shí)，1秒后分別以的概率停留在x=1處或移動(dòng)到x=0處，今質(zhì)點(diǎn)C在x=1處，求8秒后質(zhì)點(diǎn)C還在x=1處的概率；

解：（1）3秒后，質(zhì)點(diǎn) A到 x=1處，必須經(jīng)過兩次向右，一次向左移動(dòng).

（2）2秒后，質(zhì)點(diǎn)A、B同時(shí)在點(diǎn)x=2處，必須質(zhì)點(diǎn)A兩次向右，且質(zhì)點(diǎn)B一次向左，一次向右，

（3）設(shè)第n秒后，質(zhì)點(diǎn)C在x=1處的概率為xn，質(zhì)點(diǎn)C在x=0處的概率為yn，由題意可知

由xn+yn=1得

∴ {3xn-2}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.

小結(jié)：概率問題在高考中常常以單元內(nèi)的知識(shí)的橫向綜合為主要題型，與單元外知識(shí)的縱向綜合屈指可數(shù)，但隨著近幾年高考對(duì)概率問題考察程度的進(jìn)一步加深，難度的加大，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起足夠的重視。本文3道例題，不僅融合自然，而且還突出了能力立意這個(gè)核心。