看最新高考試題 談數列求和方法

石家莊二中實驗學校 李姍姍

數列是高中數學比較重要的一個知識版塊，課程標準中要求教師用大約12課時進行教學；在每年的高考試題中，不論是選擇或填空對基礎知識、基本解題方法的考查，還是解答題中與其他知識交匯命題綜合考查都會涉及數列的知識，由此可見數列在高考中的地位實在是不一般。本文就解答題中最常見的一類問題——求數列的前n項和問題，結合最新高考試題對其常用解法加以分析。

一、公式法

公式法，指的是在已知數列是特殊的等差（等比）數列時，可以直接利用所學的等差（等比）數列的求和公式求解前n項和。

例1（2014年浙江卷·文）已知等差數列{an}的公差d>0，設{an}的前n項和為

（1）求 d及 Sn；

（2）求 m，k（m，k∈N*）的值，使得

（a1+a2）（a1+a2+a3）=36，

即（2+d）（3+3d）=36，

化為d2+3d-10=0，

解得d=2或-5，

又公差d>0，則d=2，

（2）由（1）得，an=1+2（n-1）=2n-1，

由am+am+1+am+2+…+am+k=65得，

即（k+1）（2m+k-1）=65.

又 m，k∈N*，則（k+1）（2m+k-1）=5×13，或（k+1）（2m+k-1）=1×65，

下面分類求解：

當 k+1=5時，2m+k-1=13，

解得 k=4，m=5；

當 k+1=13時，2m+k-1=5，

解得 k=12，m=-3，故舍去；

當k+1=1時，2m+k-1=65，

解得k=0，故舍去；

當k+1=65時，2m+k-1=1，

解得 k=64，m=-31，故舍去；

綜上得，k=4，m=5.

二、倒序相加法

在推導等差數列前n項和公式時用到的就是“倒序相加法”，這種方法適用的數列要具有以下特點：數列的首末兩端等“距離”的兩項的和相等。

三、錯位相減法

該方法是推導等比數列前n項和時用到的方法，也是高考中考查頻率最高的一種求和方法。這種方法適用于所求數列的各項是一個等差數列和一個等比數列的對應項之積的情況。使用該方法時一定要注意在兩端同時除以某項時，前提條件是該項永遠不為0，在直接利用等比數列的前n項和公式時也要特別注意。

例2（2014年江西卷·理）已知首項都是 1的兩個數列 {an}，{bn}（bn≠0，n∈N+），滿足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.

（1）令，求數列{cn}的通項公式；

（2）若 bn=3n-1，求數列{an}的前 n 項和 Sn.

解：（1）因為 anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，

即 cn＋1－cn＝2，

所以數列{cn}是以c1＝1為首項，d＝2為公差的等差數列，故cn＝2n－1.

（2）由 bn＝3n－1，知 an＝(2n－1)3n－1，

于是數列{an}的前n項和

將兩式相減得：

所以 Sn＝(n－1)3n＋1.

四、分組求和法

當一個數列的通項是由明顯的等差與等比構成的時候，可以采用此種方法，將數列的項重新分組，分別利用等差（等比）數列的前n項和公式求和后再相加。

例3（2014年湖南卷·文）已知數列{an}的前n項和

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）設 bn=2an+（-1）nan，求數列{bn}的前2n項和.

解：（1）當 n＝1時，a1＝S1＝1；

當n≥2時，

故數列{an}的通項公式為an＝n.

（2）由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.

記數列{bn}的前2n項和為T2n，

則 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．

記 A＝21＋22＋…＋22n，

故數列{bn}的前2n項和：

數列求和問題一般出現在解答題的后一問，在求出數列的通項公式之后，設置利用通項公式構造的新數列的求和問題，形式雖然各有不同，但是求和方法不外乎以上幾種。只要認真領會上述幾種求和方法的要領，認真分析數列前n項和形式的特點，“對癥下藥”，選對方法，解決這類問題不在話下。