浸潤數學文化啟發數學思維
——“數系的擴充”教學設計

☉江蘇省泰興市第二高級中學丁劍波

浸潤數學文化啟發數學思維
——“數系的擴充”教學設計

☉江蘇省泰興市第二高級中學丁劍波

一、教材解讀

“數系的擴充與復數的概念”是蘇教版普通高中數學實驗教材選修2-2第三章第一節的內容，課時安排約一課時·復數的引入是中學階段數系的又一次擴充，引入復數以后，這不僅可以使學生對于數的概念有一個初步的、完整的認識，也為進一步學習數學打下基礎·

復數的引入實現了中學階段數系的最后一次擴充·新課程中復數內容突出復數的代數表示，同時也強調了復數的幾何意義·它的內容是分層設計的：先將復數看成是有序實數對，再把復數看成是直角坐標系下平面上的點或向量，最后介紹復數代數形式的加、減運算的幾何意義·同時，復數作為一種新的數學語言，也為我們今后用代數的方法解決幾何問題提供了新的工具和方法，體現了數形結合思想·通過本節課的學習，一方面讓學生回憶數系擴充的過程，體會虛數引入的必要性和合理性；另一方面，讓學生理解復數的有關概念，掌握復數相等的充要條件，為今后的學習奠定基礎·因此，本節課具有承前啟后的作用，是本章的重點內容·

二、教學目標

（1）理解虛數單位等概念；掌握復數相等的充要條件·

（2）由經歷解方程的運作領悟引入復數的必要性，在探索復數有關概念中進一步提升合作、交流水平，在定義復數相等的探討中增強數學轉化意識·

（3）在問題情境中了解數系的擴充過程，體會實際需求與數學內部矛盾（數的運算規則、方程求根）在數系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用，以及數與現實世界的聯系·

三、教學流程

活動一：情境引入，再現歷史

問題1：1545年意大利數學家卡爾丹遇到如下問題：將10分成兩部分，使兩者的乘積為40·

設計意圖：一方面展示數學家提出的問題，激發學生的學習興趣；另一方面，引領學生重溫歷史，感悟數學發現并不神秘，數學家也是從常規問題入手·

問題2：有沒有兩個數之和為10呢？有沒有兩個數之積為40呢？為什么剛才的問題無解呢？

設計意圖：充分暴露數學家的思維過程，一方面讓學生體驗數學家的科研精神，另一方面讓學生處于“憤悱”狀態·

問題3：實數集中有沒有這兩個數？

設計意圖：打破原有認知平衡，形成認知沖突，讓學生感受到數已經不夠用了，體現學習新知識的必要性·

活動二：設置問題，追溯歷史

問題4：數集經歷了哪幾次擴充？（配圖，穿插數的發展史相關知識）

設計意圖：學生已經學習過自然數、整數、分數、負數、有理數、無理數、實數等，在此礎之上，幫助學生重新建構數集的擴充過程，即自然數集→整數集→有理數集→實數集，這是學生的“最近發展區”，也是本節課知識的生長點·數學典故的講解可提高學生的興趣，讓學生更加了解數學的本質·

問題5：什么原因導致數的概念逐步擴充的？

設計意圖：學生通過回憶、思考每次數集擴充的必要性，解決了哪些問題，即數集為什么要擴充？

讓學生感受到這些數的產生不是從天而降，是數學內部發展的需要，也是社會發展的需要·

問題6：如圖1，新數集與舊數集是怎樣的關系？

圖1

（答案：N?Z?Q?R）

問題7：這幾次擴充有什么共同的特點？

設計意圖：一方面培養學生的觀察、概括與表達能力；另一方面通過對前幾次數集擴充的梳理，為數系的再一次擴充，以及如何擴充打好了堅實的基礎，讓學生感受到數系擴充的合理性，并能提煉出數系擴充的一般原則·由此，突破本節課的一個難點·

活動三：還原理論，借鑒歷史

然而，歷史在前進，社會在發展，生活中的矛盾不斷涌現·五百多年前一個怪東西擺在卡爾達諾面前，即-15開平方問題（板書：）·要解決問題，就是要找一個數的平方為-15（板書：（）2=-15=15×（-1））·我們知道，已經解決，因此問題即轉化為找一個數的平方為-1？（板書：（）2=-1）

設計意圖：教師引領學生再現卡爾達諾問題，將問題轉化為找一個數的平方為-1，而且運用規范醒目的板書和留白藝術，給予學生充分思考問題的時間與空間，從而讓“引入新數”水到渠成·

問題8：為什么用i呢？是誰引入了i呢？

i是英文單詞imaginary（虛幻的）的第一個字母·卡爾達諾當時只是發現了這個矛盾，它的引入者是被稱為“分析的化身”的瑞士著名數學家歐拉，引入時間公元1777年，從十六世紀到十八世紀，歷史的車輪已經行進了兩百多年，可見科學上每一步的邁出是多么的艱辛！

設計意圖：教師通過自問自答，介紹與虛數單位i有關的歷史，激發學生興趣，強化對i的認識，并讓學生感受到科學上每一步的邁出是多么的艱辛！

問題9：引入i后，你能寫出卡爾達諾要找的數嗎？

問題10：你還能寫出其他含有i的數嗎？

問題11：bi與實數a相加的幾何意義呢？

復平面上的點（a，b）對應a+bi形式的數，點（a，b）唯一·

設計意圖：分別類比實數賦予虛數單位i，數bi和a+ bi的幾何表示，使學生更清楚地認識“虛數不虛”，很自然地引出了復數的定義，同時為復數的分類和兩個復數相等的條件等知識的出現打下了堅實的基礎，同時也為第二節內容做好了鋪墊·

問題12：你能寫出一個形式，把剛才所寫出來的數都包含在內嗎？

設計意圖：數學需要形式化、符號化·復數的代數形式正是這一體現，也是本節課的重點與難點·筆者通過設計問題9，10，11來鋪墊問題12的提出，引導學生由特殊到一般，抽象概括出復數的代數形式，培養學生的抽象概括能力·

問題13：a+bi（a，b∈R）一定是虛數嗎？

設計意圖：引導學生自然而然地對復數進行分類，攻克本節課的重點·

問題14：虛數與實數構成了一個新的數集，我們把這個新的數集叫做復數集，記作C·這樣我們就完成了數系的又一次擴充·我們把新的數系稱作復數系·該怎樣用描述法表示集合C呢？

（1）復數的定義：（具體內容略）

（2）復數的分類：

設計意圖：通過學生自己動手，合作探究，找到復數分類的標準，解決復數的分類問題，加深對這一知識的理解·

活動四：例題解析，深化概念

例1請你說出下列集合之間的關系：N，Z，Q，R，C·

例2寫出下列復數的實部與虛部，并指出哪些是實數？哪些是虛數？哪些是純虛數？

例3實數m取什么值時，復數z=m（m-1）+（m-1）i是：（1）實數？（2）虛數？（3）純虛數？

例4已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i，求實數x，y的值·

設計意圖：例1主要是前后照應，采用概念同化的方式完善認知結構；例2、例3主要是鞏固復數的分類標準；例4主要是強化復數相等的充要條件·讓學生在解決問題的過程中內化復數的有關概念，起到及時反饋、學以致用的功效·

活動五：反思總結，提煉收獲

回顧本節課，i的引入者是歐拉，問題的提出者是卡爾達諾，卡爾達諾雖然沒有解決問題，但他依然是大數學家，因為，發現問題比解決問題更重要，哈爾莫斯說過：“問題是數學的心臟·”

四、幾點思考

1·浸潤數學文化，讓學生經歷數學知識的發現過程

數學文化，從狹義上說，是指數學思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發展·廣義上說，除了上述內涵，還包括數學家，數學史，數學美，以及數學發展中的人文成分、數學與社會的聯系等·《新課標》指出：“高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質·數學課程要講邏輯推理，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊含在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態·”

本教學設計就是從數學史出發，無論從上課的流程還是問題的設置都盡可能返璞歸真，讓學生經歷數系的發生發展過程·通過對數系擴充的還原，讓學生在掌握了知識的同時也獲得發現問題、解決問題的能力·數學結論的發現，似乎只是前人的事、數學家的事，不必讓學生去尋找，教師也把教學的重心放在結論的應用與鞏固練習上·但是，教師應該注意到數學既是一門系統的演繹科學，也是一門試驗性的歸納科學，用對數學本質的認識設計自己的教學，力圖把“學術形態轉化為學生易于接受的教育形態”，有意設計成“研究性學習”，讓學生通過實驗、觀察、探究、歸納，體驗數學發現、創造的歷程，發展創新意識·

2·改變學習方式，實現以生為本的自主學習

努力改變學生的學習方式，促進學生各方面能力的發展·以人的發展為本，突出學生的發展是《新課標》的基本理念之一·《新課標》“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”，指出：“學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式·”

本節課的教學試圖努力改變學生的學習方式，以問題串的形式展開，通過數學實驗、動手實踐、合作交流完成相關問題·學生的參與面較廣，參與度較大，積極性很高·整節課學生圍繞著數系的發展過程設置問題展開，通過學生獨立學習、共同學習，學生的觀點得到碰撞，學生的思維得以激發，學生的認知得以提升·在激烈的爭辯和思辨中圓滿地解決了提出的問題，從中體驗了數學發現的快樂，感受到數學的魅力，再現了數學家的思維軌跡，增強了學生自信·教學實踐表明，在這樣的教學活動中，不僅學生的認知結構得到發展，而且“使學生具有實事求是的態度、敢于探索和創新的精神”，身心與品質也得到發展·

3·教師主導，讓學生的思維在問題解決中綻放

扮演好教師在教學活動中的角色·《新課標》指出：“教師不僅是知識的傳授者，而且也是學生學習的引導者、組織者和合作者·……在高中數學教學中，教師的講授仍然是重要的教學方式之一，但要注意的是必須關注學生的主體參與，師生互動·”要改變學生的學習方式，首先教師要改變在教學活動中的角色·數學教學是教師組織下的師生、生生的雙邊活動·傳統意義上的數學教學，往往忽視學生在學習過程中的主體性，忽視學生在課堂上的“參與度”·

本教學設計中，教師通過問題引導，啟發學生的思維，引導學生進入知識本質的思考，而且文中問題的設置具有一定的思維容量和梯度性，都能有效地激發學生的思維活動，引導學生有效學習·問題1到3從卡爾達諾第一個研究復數的歷史問題入手，再現數學家的思維過程·這樣設計在學生思維的“最近發展區”內，具有適切性、聯系性、思想性，可引導學生探究發現新知·問題12意在挖掘定義的內涵，界定其外延，通過適當的形式化，反應概念的本質，對提高學生的認識非常有意義·

總之，以學生為主體，教師為主導的教學，教師以組織者、引導者、合作者、促進者的身份捕捉學生的數學心聲，點撥探究思路，助燃認知熱情，互動雙方達成共識，形成共鳴·導學案的教學開放了教學的形式，開放了學習的時間，放開了學生的思維，再現了知識生成的思維軌跡，保障了高效課堂·

1·王振輝，汪曉琴·數學史如何融入中學教材［J］·數學通報，2003（9）·

2·孫慶華·復數的歷史發展及在中國的早期傳播［J］·西北大學學報，2006（6）·

3·伊夫斯·數學史概論［M］·哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2009·

4·中華人民共和國教育部·普通高中數學課程標準（實驗）［M］·北京：人民教育出版社，2003·F