整體把握教材規劃教學核心

☉江蘇省白蒲高級中學丁勇

整體把握教材規劃教學核心

☉江蘇省白蒲高級中學丁勇

新課改后，各地涌現出形式各樣的教學改革·這些改革涉及了課堂的組織形式、師生地位的重新確定、課堂的教學流程等，一定程度上改觀了以往沉悶的課堂，但是這樣的改革是表面的、淺層次的，一定時期后，由于教師和學生的“審美”疲勞，不能持續促進提高課堂的有效性·針對上述問題，筆者以為只有從宏觀上把握課程核心，對課程內容進行整合、再造，進一步從微觀上明晰每一節教學內容的核心，才能使我們的教學有的放矢·本文試圖從章節整體把握教材，理解教材，明確本章節最根本、最核心的地方是什么，規劃每一節的教學內容，進一步預設出合適的教學形式，使得我們的教學符合學生的認知規律，促進學生的發展，提高教學的效率·下面通過兩角和與差的余弦教學案例，闡述筆者的一些思考·

一、章頭課——發揮先行組織者的作用，承載知識生成點

案例：兩角和與差的余弦·

1·教材內容的分析

微觀角度（章節內）：本節內容是蘇教版必修四第三章“三角恒等變換”第一節內容，通過兩角和與差的余弦的學習，進一步學習兩角和與差的正弦、正切，以及二倍角的內容·在三角恒等變換的教學中，利用向量的數量積兩種運算形式推導出兩角差的余弦公式，并以此公式為起點，推導出兩角和的余弦公式，進一步推導出兩角和與差的正弦、正切，以及二倍角公式·對于學有余力的學生可以在教師的引導下，進行探索和討論交流，推導積化和差、和差化積、半角公式·新課標與傳統教材相比，摒棄把三角變換單純作為運算，一味強調三角變換的方法和技巧，而關注公式的發現、探索、推導的過程，重視學生思維的培養，關注數學思想的滲透·

中觀角度（模塊內）：必修4共三章內容，三章之間存在緊密的聯系·三角變換作為三角函數的運算，是對三角函數知識的進一步運用，另外一方面，三角變換是由三角函數的定義推出的邏輯結論，體現三角函數本質的特征，同時，三角變換中公式的推導，主要借助于同角關系和誘導公式，以及從特殊到一般，再到特殊的數學思想·向量位于本模塊的中間章節，充分體現出三角函數與向量的緊密聯系，也彰顯出向量的雙重特性·最顯性的是，利用向量數量積推導出三角恒等變換核心——兩角差的余弦公式·

宏觀角度（模塊間）：首先，三角恒等變換作為三角函數的運算，不但豐富了三角函數研究的內容，同時又為數學運算家族增添了新成員·其次，三角函數作為特殊的函數有此運算，那么對于后續學習的概率、數列等特殊函數的研究具有指引作用·另外，為數學思想、數學方法的滲透，提供了良好的思維素材·比如化歸思想，特殊與一般轉化的思想等·

2·教材內容的整合

基于上面教材的解讀，我們有必要對相關內容進行整合、再造，確定第一節課，如何體現本節課對本章后續內容的引導作用，發揮先行組織者的作用，如何體現本節課對本章后續內容研究方法的引領作用，如何實現通過本節課的教學促進對本模塊內容進一步深化理解，如何有效地把數學思想滲透在思維材料里，通過什么樣的方式讓學生深刻領會其間蘊含的數學思想和數學方法，從而增長智慧·下面結合具體的教學設計做簡要的說明·

3·兩角和與差的余弦第一課時教學設計的簡要說明

活動目標：

了解兩角和與差的余弦公式的推導過程；能用余弦的和差角公式進行簡單的三角函數式的化簡、求值·

活動方案：

活動一：了解兩角和與差的余弦公式的推導過程·

例1設向量a=（cos140°，sin140°），b=（cos25°，sin25°），根據圖1，試分別計算a·b=|a||b|cosθ及a·b=x1x2+ y1y2·通過計算你能得出什么結論？

圖1

圖2

例2若a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），根據圖2，你又能得出怎樣的結論？

設計意圖：首先，給學生指引出發現的方向，可能降低探究的難度，但這種降低是與學生的最近發展區相適切的、是必要的·然后，通過特殊情形，讓學生利用向量數量積算兩次的方法，得出結論，在此過程中讓學生發現運算結果的特征·同時引導學生感受這種發現的一般性，從而進一步推廣到一般情形，發現出一般的結論·經歷此過程，學生感受與本模塊的三角函數的定義、單位圓、和數量積的相關知識建立了聯系，同時又是一次知識的應用·最后，讓學生體會兩角差的余弦的源頭是數量積（當然還有其他方法，只是針對本書），體會推導算兩次的思想，以及特殊與一般的轉化思想·

思考：根據兩角差的余弦公式和誘導公式推導出兩角和的余弦公式·

設計意圖：和與差的運算在其他數學對象中早已經非常熟悉，互為逆運算，如何根據兩角差的余弦得到兩角和的余弦只是作為學生已有知識、經驗在新問題上的應用，另外一方面，我們可以進一步提升對問題的理解，可以把兩角和的余弦看成是兩角差的余弦的特殊情形，即把兩角差的余弦中的β用-β替換·

小結：公式特征·（略）

設計意圖：對于數學公式的教學，不但要讓學生感受探究的過程，還要對公式的特征加以認識，設計這樣的開放小結，讓學生發現公式的特征，通過學生的觀察，體會出函數名、等式兩邊的次數、符號、及公式結構等的異同·

活動二：知識運用·

例3利用兩角和的（差）的余弦公式證明下列誘導公式：

例4不查表，求cos75°，cos15°，tan15°的值·

設計意圖：例3（1）通過兩角差的余弦公式從另外一個角度認識誘導公式的由來，建立兩角差公式與誘導公式的聯系，反映出兩者的同源性，三角函數的定義·例3（2）蘊含與前面知識及后續知識的聯系，一方面與誘導公式的聯系，一方面與同角關系的聯系，一方面與兩角和差余弦的聯系，一方面又為本章后續兩角和差的正弦做鋪墊，是知識的生成點·即與前面知識建立深刻的聯系，又為后續知識的生成提供內容和方法·例4通過幾個一般角的三角函數值的求法，讓學生體會如何處理問題，如何轉化的方法·這是三角恒等變換的核心思想和方法之一·通過這兩個例題充分彰顯三角恒等變換問題的核心方法，同時加強知識間的橫向聯系，更難能可貴的是加強知識生成點的教學，為后續內容的自然發展，提供了土壤和肥料·當然在解決問題的過程，也體現了許多重要的數學思想·

二、章中課——發揮思維方法的威力，承載知識生長點

波利亞曾經說：“類比是偉大的引路人”·在教學中，通過類比能夠引導學生觀察對象的相似性，從而提出問題，解決問題·這為我們開展教學提供知識的生長點·比如“等比數列”（第一課時）的教學，學生已經學習等差數列的概念、通項公式、下標和性質，以及前n項和相關內容，那么如何進行等比數列的教學呢·常見的教學方式有以下三種：

方式一：按照等比數列的概念、通項公式、下標和性質，以及前n項和相關內容，按部就班地講授·

方式二：按照等比數列的概念、通項公式、下標和性質，以及前n項和相關內容，按部就班地講授·最后利用類比方式比較等差與等比的異同·

方式三：先給出新數列（等比數列），讓學生描述新數列的特征，讓學生給出新數列的概念（文字語言、符號語言）·進一步說出是怎么給出概念的，學生會回答類比等差數列，自然產生新的問題，等差與等比的異同（文字語言、符號語言）·引導學生思考，給出等比數列的概念后，研究什么內容，你是如何思考的？進一步學生回顧出等差數列研究的內容，說出等比數列研究的內容·再進一步，你能根據等差數列研究內容的結論，猜想出等比數列的結論嗎？這是有很大難度的，其實我們需要給學生引導出研究的方法·這時，教師可以做這樣的闡述：你能根據等差數列研究內容的方法，類比研究等比數列嗎？這樣就使得原本冷冰冰的知識，變成學生自主發現、猜想、驗證的過程，讓學習知識變為水到渠成的過程·

通過上面三種方式的比較，什么樣的方式更易于學生主動的學習，答案是顯而易見的·而其中最關鍵的是引導學生發現兩類事物的相似性，激發學生類比思維，使得后續知識有知識生長點的指引，但我們還要注意類比的時機，比如方式二、三的差異·上面的案例不僅揭示類比知識，而且類比知識的研究方法，可見類比的強大威力·其實，在高中課程中，這樣的類比思維方法，促進知識的生長點還有很多，比如指數、對數、冪、三角函數、數列、概率；橢圓、雙曲線、拋物線；線線、線面、面面·在教學中，我們可以借助思維方法，尤其是類比的方法，對于促進學生的學習，培養學生的創新能力有巨大的促進作用·

三、章尾課——重視方法論的力量，承載知識共生點

數學方法論主要研究數學的發展規律、數學思想方法·其主要目標幫助人們學會思維·重視方法論的教學，有利于把數學的學術形態轉化成數學的教育形態，有利于學生經歷、體會數學家的思維方式，有利于培養學生的創新思維·以“向量數量積”的教學為例，說明方法論教學的重要意義·

運算是數學學習的一個基本內容，運算對象的不斷擴展是數學發展的一條重要線索·學生關于數學運算已有哪些知識，有哪些研究的經驗？向量對于學生理解數學運算有哪些作用？本節向量數量積的運算有哪些知識，怎么研究，研究哪些內容？其實對于每一種運算，我們都遵循這樣的研究方法論：給出運算的定義（有些可以給出幾何解釋）；研究這種運算有哪些特殊的情形（特殊的對象的運算，特殊的位置），比如零元、單位元等（同樣可以給出幾何解釋）；進一步研究該運算有哪些運算定律，常見的有交換律、集合律、分配律等，同樣對運算定律給出幾何解釋；最后就是該運算有哪些應用·為了進一步深化對運算本質的揭示，可以從變換、映射、函數的觀點認識這些運算，發現運算結構的異同·另外，向量數量積運算的學習既增加運算的內容，又為后續學習其他運算提供方法論經驗·使得所有的運算，在運算方法論的大集體中共生·

四、結束語

生成、生長、共生是生物學中的專有名詞，反映出生物發展的狀態·其中生成、生長反應出個體的發展必經階段，而共生是反映出兩種不同生物之間所形成的互利關系·筆者以為，借助章頭課，發揮先行組織者的作用，引導學生找尋知識的生成點，使得知識的學習找到源頭，找到知識的“根”；借助章中課，發揮思維方法的威力，引導學生發現知識的生長點，找到知識的“支”，使得知識的生長順其自然；借助章尾課，發揮數學方法論的力量，引導學生挖掘出知識的共生點，為知識的“根”“支”提供養料·

1·丁非·“活動單導學”模式下的課堂籌劃與設計［M］·天津：新蕾出版社，2009·

2·朱占奎·研究整章核心預設內容形式——以高中幾何為例談復習課的整體構想·［J］·中學數學教學參考，2009（11）·

3·郭思樂·改革核心：課程與教學的再造［J］·人民教育，2015（4）·F