重視反思，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

☉江蘇省張家港市樂(lè)余高級(jí)中學(xué)張森焱

重視反思，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

☉江蘇省張家港市樂(lè)余高級(jí)中學(xué)張森焱

學(xué)生若能在課前預(yù)習(xí)、課堂教學(xué)或者課后完成作業(yè)的基礎(chǔ)上，主動(dòng)反思成功的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)失敗的教訓(xùn)，概括自己所學(xué)及其所應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法，那么一定會(huì)達(dá)到培養(yǎng)自身數(shù)學(xué)思維能力的目的·本文中筆者將結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)例，從三個(gè)方面來(lái)探討學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)·

一、重視對(duì)書本例題、課后習(xí)題的反思

高考數(shù)學(xué)試題越來(lái)越重視對(duì)以思維能力為核心的數(shù)學(xué)能力的考查·命題“來(lái)源于課本，又高于課本，是課本的創(chuàng)新”的趨勢(shì)越來(lái)越明顯，即命題不再是課本例題、課后習(xí)題的簡(jiǎn)單再現(xiàn)，而是取于課本，加以變式得到·這就要求教師在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)課本中的例題、課后習(xí)題不能停留在照搬照用上，而應(yīng)以課本中的例題、習(xí)題為依據(jù)，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題串，引導(dǎo)探索發(fā)現(xiàn)，展現(xiàn)形成過(guò)程，從而達(dá)到既適應(yīng)高考又培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的目的·

在蘇教版必修2立體幾何教學(xué)部分有這樣一道習(xí)題（書本第71頁(yè)）：設(shè)P、A、B、C是球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1m，求球的體積和表面積·

筆者執(zhí)教的是鄉(xiāng)鎮(zhèn)上一所三星級(jí)普通高中，初次接觸這個(gè)題目，學(xué)生在處理上都出現(xiàn)了很大問(wèn)題·作為教師，不妨先降低題目的難度，在解決書本上這道習(xí)題之前我們可以先引入這樣的一個(gè)問(wèn)題：已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、3，求此長(zhǎng)方體外接球的表面積·

評(píng)析：在教學(xué)中我們通過(guò)實(shí)物展示和電子白板再現(xiàn)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度即為球體的直徑，積S=4πR2=14π.

引申：在上述例題講解的基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生反思長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高與其外接球的直徑的關(guān)系·通過(guò)教學(xué)過(guò)程中的實(shí)物展示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則其外接球的直徑為其體對(duì)角線的長(zhǎng)，

有了本題作為突破口，我們?cè)賮?lái)解決書本上的這道例題·雖然在本題中我們看不到長(zhǎng)方體的影子，但是同學(xué)們可以想象PA、PB、PC兩兩垂直，即從同一個(gè)點(diǎn)出發(fā)有三條線相互垂直，有點(diǎn)像我們平時(shí)生活中遇到的什么問(wèn)題？同學(xué)們會(huì)聯(lián)系到我們立體幾何中常說(shuō)的“墻角”問(wèn)題，于是構(gòu)造長(zhǎng)方體就產(chǎn)生了·

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》提出“應(yīng)提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問(wèn)題（包括簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題）的能力·”筆者以上面的兩個(gè)問(wèn)題為契機(jī)，引出了下面的練習(xí)：已知正四面體的棱長(zhǎng)為求其外接球的體積·

事實(shí)上，學(xué)生經(jīng)過(guò)總結(jié)反思發(fā)現(xiàn)這三個(gè)題目是同一個(gè)類型·在教學(xué)中，教師可以從書本上的例題、課后習(xí)題出發(fā)，以問(wèn)題串的形式，不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極的思維活動(dòng)·在解決問(wèn)題過(guò)程中，通過(guò)觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、類比、猜想、推理、證明等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力·

二、重視對(duì)解題教學(xué)的反思

1·反思解題方法

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題存在不同的解決方法·教師應(yīng)適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生反思解決問(wèn)題的方法·對(duì)解題方法的反思，其教學(xué)價(jià)值不是單純讓學(xué)生知道如何解出這個(gè)數(shù)學(xué)題，而是督促學(xué)生站在不同的視角、用不同的方法去思考、去審視、去理解這個(gè)題目，從而開闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力·

在高二“圓錐曲線與方程”教學(xué)中筆者曾經(jīng)執(zhí)教過(guò)這樣一個(gè)例題：已知A（-2，0）、B（2，0），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？

第一次接觸這個(gè)題目，在教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生第一思路是通過(guò)移項(xiàng)、完全平方解決，這時(shí)教師不要立刻制止學(xué)生的做法·等學(xué)生的做法結(jié)束后，教師可以慢慢引導(dǎo)學(xué)生觀察經(jīng)過(guò)移項(xiàng)、兩邊完全平方最終算出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以（-2，0）、（2，0）為焦點(diǎn)，2a=6的橢圓·做到這里，教師不妨反問(wèn)一下學(xué)生：大家現(xiàn)在反思一下剛才的解題方法，發(fā)現(xiàn)了什么？這個(gè)解決的過(guò)程有點(diǎn)類似什么的解決方法？哦！學(xué)生此時(shí)才明白，努力了半天的化簡(jiǎn)過(guò)程就相當(dāng)于把橢圓方程又推導(dǎo)了一遍·教師追問(wèn)：我們能否直接用橢圓的定義進(jìn)行解決呢？經(jīng)過(guò)觀察我們發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)（-2，0）、（2，0）的距離和，式子右邊是定值6·于是順理成章地就又回到了橢圓的定義上：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和為定長(zhǎng)（2a＞2c）的點(diǎn)的軌跡是橢圓·于是可以根（-2，0）、（2，0），定值為2a=6，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程·

在解題教學(xué)中，教師要努力培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)精神，要先給學(xué)生提供獨(dú)立“攻堅(jiān)”的機(jī)會(huì)，教師要“延遲判斷”，在學(xué)生嘗試、探索的過(guò)程中允許他犯錯(cuò)誤·缺乏經(jīng)驗(yàn)的教師通常認(rèn)為需要克服困難的地方是學(xué)生容易犯錯(cuò)誤的地方，因此，常常在學(xué)生犯錯(cuò)誤之前就提醒學(xué)生加以注意，甚至直接給學(xué)生正確的示范·事實(shí)上，學(xué)生自己思考出來(lái)的結(jié)果，往往是應(yīng)用策略多種多樣，有的甚至比已知應(yīng)用的策略好得多·教師要轉(zhuǎn)變“講得越多、越細(xì)，學(xué)生就掌握得越好”的師本位的觀念為學(xué)生自主地進(jìn)行積極探索和嘗試的生本位的觀念，這樣學(xué)生可能獲得對(duì)思維策略的更深刻理解和認(rèn)識(shí)·

2.對(duì)解題結(jié)果的再反思

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要在理解的基礎(chǔ)上掌握知識(shí)，還要學(xué)會(huì)應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，更要養(yǎng)成數(shù)學(xué)地看待問(wèn)題的習(xí)慣·G·波利亞在“怎樣解題表”中將解題過(guò)程分為弄清問(wèn)題、擬訂計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃、解后回顧四個(gè)步驟·一般在解題教學(xué)中教師偏重于“審題（即弄清問(wèn)題）”這一步驟，對(duì)解后的回顧與反思做的較少·事實(shí)上，解題后的回顧與反思，一方面可以檢驗(yàn)解題過(guò)程和結(jié)果，另一方面可以對(duì)解題思路進(jìn)一步整理、歸納、引申、發(fā)散，既有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)·筆者仍以例題“已知A（-2，0）、B（2，0），動(dòng)點(diǎn)跡是什么？”做研究·

教師在引導(dǎo)學(xué)生觀察可將代數(shù)方程語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言后，可以繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生思考：若修改條件，軌跡又是什么？

方案1：6改成4，軌跡又是什么？

方案2：4改成3，軌跡又是什么？

這些方案的一一引出，可以加深學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義的認(rèn)識(shí)·通過(guò)對(duì)一系列問(wèn)題的探究，深化對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解，培養(yǎng)思維品質(zhì)的深刻性、創(chuàng)造性、科學(xué)性和批判性，提高了學(xué)生的想象力及分析、解決問(wèn)題的能力·通過(guò)對(duì)問(wèn)題的不斷引申，精心設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)解題的一般方法及聯(lián)想、類比、猜測(cè)、證明和合情推理等方法·

三、重視對(duì)錯(cuò)題的反思

在教學(xué)中，我們不難發(fā)現(xiàn)對(duì)同一種類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，即使做了多次后，學(xué)生還是經(jīng)常出錯(cuò)·究其原因，學(xué)生習(xí)慣于做完題就了事，并不會(huì)主動(dòng)考慮在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決這類問(wèn)題時(shí)，對(duì)解題方法、解題中反映出的數(shù)學(xué)思想作深刻的再認(rèn)識(shí)，即沒(méi)有反思的習(xí)慣·筆者在執(zhí)教“基本不等式及其應(yīng)用”這節(jié)內(nèi)容時(shí)曾讓學(xué)生到黑板上展示這樣的兩道課堂練習(xí)的錯(cuò)誤解法·

在學(xué)生展示錯(cuò)誤的基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自查自糾，反思錯(cuò)在哪里·通過(guò)小組間合作討論，從而總結(jié)出錯(cuò)誤原因，即用基本不等式求最值必須具備三個(gè)條件：一“正”、二“定”、三“相等”·對(duì)于展示1，因?yàn)?＜x＜1，故lnx＜0，所以不滿足基本不等式求最值的第一個(gè)條件“正”，解決本題必須“變負(fù)為正”·對(duì)于展示2，事實(shí)上t=中的新元“t”是有范圍的，即t≥2·注意這一細(xì)節(jié)之后發(fā)現(xiàn)用基本不等式求最值的第三個(gè)條件：三“相等”中的等號(hào)是取不到的，那么展示2的最值只能通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決了·

在解題教學(xué)中，教師對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤解法未必每次都要及時(shí)指出，教師可以從學(xué)生錯(cuò)誤的地方入手展開教學(xué)，在認(rèn)知沖突中加深學(xué)生的印象，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力·A