重視反思，培養學生的數學思維能力

☉江蘇省張家港市樂余高級中學張森焱

重視反思，培養學生的數學思維能力

☉江蘇省張家港市樂余高級中學張森焱

學生若能在課前預習、課堂教學或者課后完成作業的基礎上，主動反思成功的經驗，總結失敗的教訓，概括自己所學及其所應用的數學思想方法，那么一定會達到培養自身數學思維能力的目的·本文中筆者將結合課堂教學實例，從三個方面來探討學生數學思維能力的培養·

一、重視對書本例題、課后習題的反思

高考數學試題越來越重視對以思維能力為核心的數學能力的考查·命題“來源于課本，又高于課本，是課本的創新”的趨勢越來越明顯，即命題不再是課本例題、課后習題的簡單再現，而是取于課本，加以變式得到·這就要求教師在平時的數學教學中，對課本中的例題、課后習題不能停留在照搬照用上，而應以課本中的例題、習題為依據，精心設計問題串，引導探索發現，展現形成過程，從而達到既適應高考又培養學生數學思維能力的目的·

在蘇教版必修2立體幾何教學部分有這樣一道習題（書本第71頁）：設P、A、B、C是球O表面上的四個點，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1m，求球的體積和表面積·

筆者執教的是鄉鎮上一所三星級普通高中，初次接觸這個題目，學生在處理上都出現了很大問題·作為教師，不妨先降低題目的難度，在解決書本上這道習題之前我們可以先引入這樣的一個問題：已知長方體的長、寬、高分別為1、2、3，求此長方體外接球的表面積·

評析：在教學中我們通過實物展示和電子白板再現讓學生發現長方體的體對角線的長度即為球體的直徑，積S=4πR2=14π.

引申：在上述例題講解的基礎上，教師可以引導學生反思長方體的長、寬、高與其外接球的直徑的關系·通過教學過程中的實物展示，學生發現若長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則其外接球的直徑為其體對角線的長，

有了本題作為突破口，我們再來解決書本上的這道例題·雖然在本題中我們看不到長方體的影子，但是同學們可以想象PA、PB、PC兩兩垂直，即從同一個點出發有三條線相互垂直，有點像我們平時生活中遇到的什么問題？同學們會聯系到我們立體幾何中常說的“墻角”問題，于是構造長方體就產生了·

《普通高中數學課程標準（實驗）》提出“應提高數學地提出、分析和解決問題（包括簡單的實際問題）的能力·”筆者以上面的兩個問題為契機，引出了下面的練習：已知正四面體的棱長為求其外接球的體積·

事實上，學生經過總結反思發現這三個題目是同一個類型·在教學中，教師可以從書本上的例題、課后習題出發，以問題串的形式，不斷引導學生進行積極的思維活動·在解決問題過程中，通過觀察、發現、歸納、類比、猜想、推理、證明等一系列數學活動來培養學生的數學思維能力·

二、重視對解題教學的反思

1·反思解題方法

在數學解題教學中，不同的數學問題存在不同的解決方法·教師應適當地引導學生反思解決問題的方法·對解題方法的反思，其教學價值不是單純讓學生知道如何解出這個數學題，而是督促學生站在不同的視角、用不同的方法去思考、去審視、去理解這個題目，從而開闊學生的思路，培養學生的數學思維能力·

在高二“圓錐曲線與方程”教學中筆者曾經執教過這樣一個例題：已知A（-2，0）、B（2，0），動點M（x，y）滿足則動點M的軌跡是什么？

第一次接觸這個題目，在教學中筆者發現很多學生第一思路是通過移項、完全平方解決，這時教師不要立刻制止學生的做法·等學生的做法結束后，教師可以慢慢引導學生觀察經過移項、兩邊完全平方最終算出動點的軌跡是以（-2，0）、（2，0）為焦點，2a=6的橢圓·做到這里，教師不妨反問一下學生：大家現在反思一下剛才的解題方法，發現了什么？這個解決的過程有點類似什么的解決方法？哦！學生此時才明白，努力了半天的化簡過程就相當于把橢圓方程又推導了一遍·教師追問：我們能否直接用橢圓的定義進行解決呢？經過觀察我們發現定點（-2，0）、（2，0）的距離和，式子右邊是定值6·于是順理成章地就又回到了橢圓的定義上：平面內到兩個定點的距離和為定長（2a＞2c）的點的軌跡是橢圓·于是可以根（-2，0）、（2，0），定值為2a=6，從而得出橢圓的標準方程·

在解題教學中，教師要努力培養學生的主動精神，要先給學生提供獨立“攻堅”的機會，教師要“延遲判斷”，在學生嘗試、探索的過程中允許他犯錯誤·缺乏經驗的教師通常認為需要克服困難的地方是學生容易犯錯誤的地方，因此，常常在學生犯錯誤之前就提醒學生加以注意，甚至直接給學生正確的示范·事實上，學生自己思考出來的結果，往往是應用策略多種多樣，有的甚至比已知應用的策略好得多·教師要轉變“講得越多、越細，學生就掌握得越好”的師本位的觀念為學生自主地進行積極探索和嘗試的生本位的觀念，這樣學生可能獲得對思維策略的更深刻理解和認識·

2.對解題結果的再反思

學習數學不僅要在理解的基礎上掌握知識，還要學會應用所學知識解決問題，更要養成數學地看待問題的習慣·G·波利亞在“怎樣解題表”中將解題過程分為弄清問題、擬訂計劃、實施計劃、解后回顧四個步驟·一般在解題教學中教師偏重于“審題（即弄清問題）”這一步驟，對解后的回顧與反思做的較少·事實上，解題后的回顧與反思，一方面可以檢驗解題過程和結果，另一方面可以對解題思路進一步整理、歸納、引申、發散，既有助于學生對數學知識的融會貫通，更有利于學生數學思維品質的培養·筆者仍以例題“已知A（-2，0）、B（2，0），動點跡是什么？”做研究·

教師在引導學生觀察可將代數方程語言轉化為幾何語言后，可以繼續啟發學生思考：若修改條件，軌跡又是什么？

方案1：6改成4，軌跡又是什么？

方案2：4改成3，軌跡又是什么？

這些方案的一一引出，可以加深學生對圓錐曲線的定義的認識·通過對一系列問題的探究，深化對數學問題的理解，培養思維品質的深刻性、創造性、科學性和批判性，提高了學生的想象力及分析、解決問題的能力·通過對問題的不斷引申，精心設問，引導學生學習解題的一般方法及聯想、類比、猜測、證明和合情推理等方法·

三、重視對錯題的反思

在教學中，我們不難發現對同一種類型的數學問題，即使做了多次后，學生還是經常出錯·究其原因，學生習慣于做完題就了事，并不會主動考慮在應用數學知識解決這類問題時，對解題方法、解題中反映出的數學思想作深刻的再認識，即沒有反思的習慣·筆者在執教“基本不等式及其應用”這節內容時曾讓學生到黑板上展示這樣的兩道課堂練習的錯誤解法·

在學生展示錯誤的基礎上，教師可以引導學生自查自糾，反思錯在哪里·通過小組間合作討論，從而總結出錯誤原因，即用基本不等式求最值必須具備三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”·對于展示1，因為0＜x＜1，故lnx＜0，所以不滿足基本不等式求最值的第一個條件“正”，解決本題必須“變負為正”·對于展示2，事實上t=中的新元“t”是有范圍的，即t≥2·注意這一細節之后發現用基本不等式求最值的第三個條件：三“相等”中的等號是取不到的，那么展示2的最值只能通過函數的單調性來解決了·

在解題教學中，教師對學生出現的錯誤解法未必每次都要及時指出，教師可以從學生錯誤的地方入手展開教學，在認知沖突中加深學生的印象，從而培養學生的數學思維能力·A