數列單調性問題探究

☉遼寧省沈陽市教育研究院王恩賓

數列單調性問題探究

☉遼寧省沈陽市教育研究院王恩賓

這是一堂關于高三復習中數列問題的一個小的專題·該課對數列的單調性與函數的單調性進行了有機的結合，將二者的區別與聯系進行了剖析·利用信息技術將數列的單調性和函數的單調性進行了形象的描繪，在此過程中數形結合思想得到了滲透·通過對問題不同解法的探求，開拓了學生的視野，發散了學生的思維·通過編寫相似題型，激發了學生的學習潛力，拓寬了眼界，培養了創新能力和創新意識·

一、開場白

師：同學們好，前面已經復習了函數和數列的基礎知識，對數列與函數有了比較深入的了解·數列和函數有著千絲萬縷的聯系，數列可以看作是一個函數，當自變量為正整數（或它的有限子集）時，自變量從小到大依次取值時所對應的一列函數值·因為從數列第二定義可以看出數列就是一列函數值，所以很多數列問題都可以借助函數的性質進行解答·

二、鞏固基礎

師：在前面給大家的導學案中給出了學生自主學習的內容，下面請各小組在小組內用2分鐘時間交流、修正自主學習的問題，并請一名同學進行實物展示自主學習的第一個問題·

生1：我要展示的是自主學習部分的問題1·

問題1：數列的單調性的定義·

遞增數列的定義：如果數列｛an｝滿足an＜an+1，那么稱數列｛an｝為遞增數列；

遞減數列的定義：如果數列｛an｝滿足an＜an+1，那么稱數列｛an｝為遞減數列·

師：生1同學關于數列遞增、遞減的定義非常準確，但有時在證明數列的遞增（或遞減）時還經常應用an-1＜an（或an-1＞an），此時一定要注意n≥2，n∈N+這一前提條件，即證明后一定要驗證n=1時結論是否成立，這是學生解題過程中經常出現錯誤的地方，一定要引起足夠的重視·

生2：我要展示的是自主學習部分的問題2·

問題2：等差數列、等比數列的單調性·

數列單調性及其滿足的條件遞增數列，d＞0不增不減，d=0遞減數列，d＜0等比數列遞增數列，a1＞0，q＞1（或a1＜0，0＜q＜1）遞減數列a1＞0，0＜q＜1（或a1＜0，q＞1）等差數列

師：該同學很好地將等差數列和等比數列這兩個重要數列遞增、遞減的條件進行了整理，做的非常好·如果將等差數列、等比數列單調遞增、遞減的這些條件和結論通過圖像的形式進行記憶，那么效果會更好·如圖1所示，是老師作出的數列an=a1qn-1在a1＞1，q＞1時，條件、結論、圖像三者有機結合的一個反映數列單調遞增的圖像·請同學們課后用GeoGebra軟件將其他情況下數列增減性的圖像作出來·

圖1

三、源于教材

師：導學案上兩個自主探究的問題都是選自教材上的問題，下面我們研究第一個問題·

問題3：（必修5P39）已知兩個等差數列的公差不相等，但第5項相等，這兩個等差數列中除了第5項外，還有序號相同且數值相等的項嗎？為什么？

生3：設等差數列｛an｝，｛bn｝的公差分別為d1，d2，且d1≠d2，a5=b5·假設兩個等差數列中除了第5項外，還有序號相同且數值相等的項，那么an=a5+（n-5）d1=bn=b5+（n-5）d2，得到d1=d2，與已知d1≠d2相矛盾·因此，兩個等差數列中除了第5項外，沒有其他序號相同且數值相等的項·

師：該同學利用反證法推導出等差數列不存在項數和項完全相同的情況，推理過程很嚴謹·還有沒有同學用其他方法解答此問題？

生4：因為等差數列an=a1+（n-1）d1=d1n+（a1-d1）可以看作是自變量為正整數（或有限子集）的一次函數（或常數），當自變量從小到大依次取值時，對應的是一列函數值，所以點（n，an）一定落在直線p：y=d1x+（a1-d1）上·

同理：點（n，bn）一定落在直線q：y=d2x+（a1-d2）上·因為兩個數列｛an｝，｛bn｝具有相同的第5項，所以直線p，q有一個交點（5，a5）·因為兩條直線在斜率不同的情況下最多只能有一個交點，不會有第二個交點，所以也不會存在這樣的數列，除了第五項之外再有序號相同且數值相等的項·

師：該同學將等差數列的通項公式與一次函數圖像有機地建立聯系，將抽象的代數問題幾何化，借助幾何圖形直觀形象地對問題進行了闡述·雖然沒有畫圖，但數形結合思想在解答中完美地得到了體現，值得鼓勵·

師：自主探究中還要求探究問題4·

問題4：（必修5P48）已知兩個等比數列的公比不相等，但第5項相等，這兩個等比數列中除了第5項外，還有序號相同且數值相等的項嗎？為什么？

生5：設等比數列｛an｝，｛bn｝的公比分別為q1，q2，且q1≠q2，a5=b5·假設兩個等比數列中除了第5項外，還有序號相同且數值相等的項，那么an=a5·qn-51=bn=b5·qn-52，得到qn-51=qn-52，如果n-5為偶數，那么q1=-q2是符合要求的，與已知q1≠q2不矛盾·

因此，兩個等比數列中除了第5項外，還有其他序號和數值均相等的項·

例如：等比數列an=2n-1，bn=（-2）n-1的奇數項相同，偶數項互為相反數·

師：圖2所示的是給出的公比互為相反數的兩個等比數列的圖像的對照圖·當公比為負數時，對應的數列為擺動數列，正負交替出現，圖中三角形點、圓形點部分分別為的圖像（注意三角形點和圓形點重合的點）·

圖2

師：前面回顧了數列單調性的定義，下面用5分鐘時間結合數列單調性的定義各小組給出教材上問題5的不同的解題思路和解題方法·

問題5：（必修5P28）若數列｛an｝的通項公式是an=是第幾項？

生6：要判定數列項的最大值和最小值，可以先判定數列的變化規律，根據數列的變化規律再考慮數列的最大項和最小項·

師：該同學首先利用定義判定了數列的變化規律，再利用分離系數的方法確定數列各項的大小關系，推理過程嚴密·但是，此種方法運算的過程比較麻煩，對抽象思維的要求比較高，計算量較大，因此用此種方法很多同學還存在一些困難·除了用上面的方法確定數列項的大小外還可以用什么方法解答？

其次，在函數圖像上作出數列的各個點（n，an）；

第三，根據函數圖像數形結合就可以得到第10項最大，第9項最小·

圖3

師：哪位同學還能提出不同的解題思路？

師：該同學的思路非常好，此種方法是將an=與過兩點A（x，y），B（x，y）直線的斜率公式k=1122相對比可知，a相當于過兩點M（n，n），N（

n）的直線的斜率，因此當n變化時，動態的M點與靜態的N點形成的線段的斜率的最大值就是要求的an的最大值·從理論上看這種思考方法非常的好，但由于點M（n，n）都在直線y=x上，點N（雖然不在直線y=x上，但是相對的位置非常接近，所以用肉眼很難判定斜率的大小·如圖4所示，即使用計算機作出的圖形也無法判定斜率的不同·由于此題中點的特殊性，因此此題不適合用此方法·但是，如果N點不在M點所在的直線附近，那么此種方法可以采用，并且可以起到一目了然的作用·

圖4

師：從上面三種解題方法看，請一個同學談一下自己的體會·

生9：解決數列單調性問題可以從以下幾方面考慮：

（1）首先想一想從哪些角度可以解決此問題，確定解決此問題的思路或方向·

（2）若從函數角度解決問題，則需要將數列問題抽象為函數問題，利用函數的圖像和性質進行解題·

（3）因為數列和函數有很多可以相通的地方，所以數列問題可以借助函數進行解題，但數列并不是函數，因此要注意二者的區別·

師：該同學總結的非常好·

四、高于教材

師：剛才我們研究了教材上的習題，同學們有很多好的解答問題的方法·下面給大家幾分鐘的時間，請各個小組設計一個與問題5類似的試題，并說明設計思路·

生10：我們小組考慮改變兩個常數為變化的數值，將問題從特殊變換成一般·

設計問題1：數列｛an｝的通項公式是λ∈N+，它的前n項中最大的項是第幾項？最小的項是第幾項？如圖5所示的圖像是我們借助GeoGebra軟件制作的取不同值時的圖像·

圖5

生11：小組2的同學研究了分式函數上數列的單調性變化情況，常見的函數當然包括二次函數，因此我們設計的題目是針對二次函數進行設計·

設計問題2：數列｛an｝的通項公式是an=n2+2n，n∈N+，它的前n項中最大的項是第幾項？最小的項是第幾項？

師：兩個小組的設計非常好，能夠將常見的函數與數列進行有機的整合，為數列單調性問題的分類提供了依據·下面結合該小組同學的設想看下面的問題·

五、問題探究

問題6：若數列｛an｝的通項公式是an=n2+λn，｛an｝是單調遞增數列，求實數λ的取值范圍·

生12：因為數列｛an｝的通項公式是an=n2+λn，｛an｝是單調遞增數列，所以an+1＞an，所以（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，所以λ＞-（2n+1）·因為-（2n+1）max=-3，所以λ＞-3·

師：該同學利用遞增數列的定義建立關于n、λ的不等式，通過分離系數得到關于λ的恒成立不等式，因此λ只需大于-（2n+1）的最大值-3即可·

師：除了上面的解法還可以怎么考慮此問題？

生13：若將an=n2+λn看成關于二次函數，則此函數的圖像是開口向上的拋物線，點（n，an）都是拋物線上的點·如果函數an=n2+λn的對稱軸n=≤1，即λ≥-2時，根據二次函數圖像的特點，都有an+1＞an，此時數列為遞增數列·

師：該同學能夠將an=n2+λn看成關于n的二次函數，并利用二次函數的圖像和性質來研究數列的單調性，很好地在函數與數列之間建立起聯系的橋梁，體現了數形結合思想·但是，考慮到了函數和圖像間的聯系，卻忽略了函數與數列之間的區別·數列是一列特殊的函數值，因此數列的單調性既與函數的單調性有聯系，又與函數的單調性有區別·

（1）如果函數an=n2+λn的n=1，即λ≥-2時，根據二次函數圖像在對稱軸右邊單調的特點，都有an+1＞an，此時數列｛an｝為遞增數列；

所以λ＜-2，且1+λ＜22+2λ，所以-3＜λ＜-2·

綜上（1）（2）所述，實數λ的取值范圍是λ＞-3·

六、鞏固加深

師：利用上面研究問題的方法解答下面的問題·

問題7：已知數列｛an｝的通項公式是若｛an｝是單調遞增數列，求實數λ的取值范圍·

生14：因為｛an｝是單調遞增數列，所以a以λ＜n（n+1）min=2，所以λ＜2·

師：該同學的方法思路簡單，根據數列單調性的定義，很容易將數列遞增的問題轉化為不等式恒成立問題，再求參數的取值范圍·下面請同學們利用函數的性質進行解答·

n

師：該同學解答問題的思路很好，能夠將數列和函數聯系在一起研究，但是該同學在思考問題時，人為地將λ的取值范圍進行了縮小，造成解答問題不夠全面的情況·因為實數λ的取值范圍沒有確定，所以對λ的取值情況要根據函數的不同情況進行分類討論，再將各種情況進行合并，找到符合要求的λ的取值范圍·下面請各小組將該問題的解答補充完整·

生16：根據老師剛才的提示，我們小組認為函數（fx）= x+為對號函數的條件是λ＞0，所以還要對λ＜0，λ=0兩種不同情況進行思考·我們小組分三種情況進行討論·

（2）當λ=0時，an=n為單調遞增數列；

圖6

綜上（1）（2）（3）所述，｛an｝是單調遞增數列時，實數λ的取值范圍是λ＜2·

師：該同學的解法中，首先，將數列問題和函數問題結合在一起，利用函數思想解決數列問題；其次，利用分類討論思想將對函數不同的情況進行了討論；第三，實現了數列的單調遞增與不等式組的等價轉化·

七、舉一反三

師：通過問題1～問題7的學習，復習、鞏固、引申了數列單調性，對數列的單調性有了比較深入的理解·請各小組結合教材上與單調性有關的問題8提出自己小組設計試題的思路和想法·

（1）求證：an＞-2；

（2）數列｛an｝是遞增數列還是遞減數列？為什么？

師：該小組的同學能夠利用信息技術手段研究數學問題，開辟了數學新的研究方式·數學已經不僅僅進行邏輯推理得出結論，數學已經變成了一個實驗性的學科，將會有更多的數學結論通過實驗被發現·此種思路很好，課后請同學們按照該小組提出的設計思路命制出符合要求的試題·

生18：我們小組考慮的是問題中給出的是分式函數，如果在此函數的基礎上乘以一個x+a，那么函數將變成k（x）=（x+a）f（x）的形式，整理、換元后該函數k（x）是關于x的“對號函數”形式，并且含有參數a，這樣就可以設計出下列問題·

師：該小組同學從另一角度思考了這一問題，通過一個簡單的變形，將一個問題轉化為另一問題，將前面研究的兩個試題整合在一起，這種思考問題的方法可以大大地拓寬試題的設計思路，命制出更好的試題·

八、課堂小結

師：下面請各小組對本節課進行小結·

生19：復習鞏固了數列單調性的定義，并能應用定義判斷數列的單調性·

生20：能夠將數列的單調性與函數的單調性進行整合，借助函數的單調性研究數列的單調性·

生21：利用信息化手段可以進行數學試驗獲得數學結論，探索獲取新知識、新結論的方法·

生22：通過舉一反三環節可以有效地培養創新意識和創新能力·

九、反思啟發

什么樣的課是好課？不同的人對好課的理解會有所不同·比如：華東師范大學教授葉瀾認為：一堂好課沒有絕對的標準，但有一些基本的要求·

（1）有意義：學生的學習首先是有意義的·初步的意義是他學到了新的知識；進一步是鍛煉了他的能力；往前發展是在這個過程中有良好的、積極的情感體驗，產生進一步學習的強烈要求；再發展一步，是他越來越會主動投入到學習中去·對于高三復習來說問題的選取要源于教材、高于教材，要將高考的要求與教材上的例題、習題有機地結合在一起·在本節課中幾個試題的原型都來自于教材，因此從有意義的角度看，完全符合要求·

（2）有效率：一是對面上而言，這節課下來，對全班學生中的多少學生是有效的，包括好的、中間的、困難的，他們有多少效率；二是效率的高低·有的高一些，有的低一些，但如果沒有效率或者只是對少數學生有效率，那么這節課都不能算是比較好的課·從這個意義上講，這節課應該是充實的課·整個學習過程，有課前的復習總結、有課上的展示發言、有問題的拓展引申、有課后的完善，課上、課下大家都有事情干，通過教師的點評，學生都能從中獲得啟迪，整個課堂的容量很大·

（3）生成性：本節課不完全是預先設計好的，而是在課堂中有教師和學生真實的、情感的、智慧的、思維和能力的投入，有互動的過程，氣氛相當活躍·在本節課中，既有資源的生成，又有過程狀態的生成，既研究試題本身的變化，又研究試題所反映出的本質特點，學會對試題進行歸類，這樣的課可稱為豐實的課·

（4）常態性：平時的教學離不開教材，善于對教材上的試題進行總結、分類、合并、變形是教學的常態，本節課就很好地反映了這一點·

（5）有待完善：本節課還有需要完善的地方，特別是在短時間內研究了這么多的問題，即使學生課前有所研究，但時間上還是顯得比較緊張·只要是真實的課就會有缺憾，課不能十全十美，十全十美的課造假的可能性最大，有缺憾是真實的一個指標，筆者喜歡上這樣的課·生活中的課本來就是有待完善，這樣的課稱之為真實的課·扎實、充實、平實、真實，說起來好像很容易，真正做起來卻很難，但正是在這樣的一個追求過程中，教師的專業水平才能提高，心胸才能博大起來，同時也才能真正享受到：“教學的過程是一個創造性的過程，也是歡樂和智慧的體驗過程”·F