從整體出發認識教材，從認知出發設計教學
——以“對數運算”的幾種教學設計為例

☉浙江省臨海市教研室徐世白

從整體出發認識教材，從認知出發設計教學
——以“對數運算”的幾種教學設計為例

☉浙江省臨海市教研室徐世白

在臺州市高一數學新課程培訓會議上，章建躍博士作了題為《注重數學整體性》的專題報告·報告會上，章博士以一種全新的角度對數學的教學方式作了詮釋，與會教師都沉浸在章博士的發言之中·筆者也有幸參加了本次報告會，在聆聽的過程中，筆者不時有茅塞頓開的感覺·章博士提出的新角度，開拓了筆者對數學教學的思維，令筆者受益匪淺·

章博士提出，整體是事物的一種真實存在形式·數學是一個整體，數學的整體性體現在代數、幾何、三角等各部分內容之間的相互聯系上，同時也體現在同一部分內容中知識的前后邏輯關系上——縱向聯系、橫向聯系·

數學又是一個系統，理解和掌握數學知識需要系統思維·系統思維就是把認識對象作為系統，從系統和要素、要素和要素、系統和環境的相互聯系及相互作用中綜合地考察認識對象的一種思維方法·系統思維能極大地簡化人們對事物的認知·系統思維給我們帶來整體觀、全局觀·培養系統思維，是為了養成全面思考問題的習慣，避免“只見樹木不見森林”，在面對數學問題時，能把解決問題的目標、實現目標的過程、解決過程的優化以及對問題的拓展、深化等作為一個整體進行研究·這樣“使學生學會思考，成為善于認識和解決問題的人才”才能落在實處·

但是學生的學習又是循序漸進、逐步深入的，概念要逐個學，知識要逐步教·如何處理好這種矛盾，是教學中的核心問題·以數學知識的發生、發展過程為載體，按學生的認知規律設計教學，使學生經歷研究一個數學對象的基本過程，提高發現和提出問題、分析和解決問題的能力，培養認識和解決問題的能力，就顯得尤為重要了·然而在實際教學中，不少教師缺乏整體意識和全局觀，缺乏對數學系統思維的深刻認識，教學設計往往著眼于點而缺乏全面思考，更有不少教師忽視概念教學，忽視知識的形成過程，把概念教學演繹為解題教學，導致學生對概念生吞活剝，缺乏深刻理解，沒法形成知識網絡，這對學生的素質培養都是極為不利的·

近期筆者在臨海市一所高中調研，聽了幾節“對數的運算”公開課，感覺幾位教師在授課時，大都能把教學重、難點落到實處，但在概念教學中明顯缺乏全局觀、沒有整體眼光，沒法從數學的系統性和學生的認知入手設計教學·聯系到張博士的整體性思想，感觸頗深，特整理成文·

一、教學設計1

師：根據對數的定義及對數與指數的關系，你能解答下列問題嗎？

評析：采用這種教學設計的往往是受過老人教教材滋潤的教師.以問題形式提出，通過問題解決的方式達到教學目標，是典型的問題式教學法，即教師首先提出問題，學生帶著問題自學教材、分析問題、理解問題、討論問題、解決問題.這種設計看似合理，但關鍵是問題從何而來.提問是數學教學常用的方式，但問題的提出應合情合理，符合學生實際才不致于突兀.如果問題如同空降，不符合學生的思維發展，學生會驚訝、佩服，會以仰視的目光看待教師的教學，但也會挫傷學生的學習積極性，對學生學習興趣的培養是無任何裨益的.筆者認為，產生這種教學設計的根源是教師找不到更合理的教學設計而不得已采用的.

也有教師在其基礎上作了如下的變式·

師：請研究以下兩組對數，思考這三個對數之間有怎樣的內在聯系，你能得出什么規律？

（1）log232，log24，log28；（2）log215，log25，log23·

由log232=5，log24=2，log28=3，得log232=log24+log28，而三個真數之間滿足32=4×8，于是猜測（2）的三個對數間也滿足log215=log25+log23，進而在猜測基礎上繼續教學設計1的教學·

這個變式是為了讓問題的提出變得合理，所以從特殊情況入手猜測一般性結果，然后證明，體現了從一般到特殊的數學思想·但問題的提出仍然顯得不自然，教師設計過分明顯，學生沒法理解接受·

另外證明時先設loga（M·N）=x是為了把對數問題化為指數問題進行解決，但不符合學生實際，學生很難想到，不設x則容易出錯·筆者在調研中，就曾看到有教師在教學時出現了下面的錯誤證明：由logaM=m，logaN=n，得am=M，an=N，則loga（M·N）=loga（am+n）=m+n，即loga（M·N）= logaM+logaN·

錯誤的原因是運用了尚未證明的logaMn=nlogaM·教師尚且出錯，學生就不必說了·但如果教師注意到上節課中的練習3、4，并且已經事先落實到位，則最后一步的推理是正確的·這也體現了數學整體性的重要性·如果沒有落實到位，也可以令loga（am+n）=x，化為指數ax=am+n，即得正確的推導過程·

二、教學設計2

師：從指數與對數的關系以及指數的運算性質，你能得出相應的對數的運算性質嗎？

由于am·an=am+n，設M=am，N=an，于是M·N=am+n·由對數的定義得到logaM=m，logaN=n，loga（M·N）=m+n·這樣，我們就得到對數的一個運算性質：loga（M·N）=logaM+logaN·同樣可以仿照上述過程，由am÷an=am-n推出logaN·由am=M，（am）n=amn=Mn，化為對數式，得logaMn= mn= nlogaM·

評析：這是2004版人教教材中的引入，由于對數是源于指數，所以教材的設計是從指數的運算來推導對數的運算，體現了將新問題化歸為舊問題以及從知識的相互聯系性思考問題的想法，較符合整體思想，能體現數學教學的系統思維，而且證明過程也非常流暢.但在實際教學中，發現較少有教師用這種引入方式進行教學，為什么呢？個人感覺從指數運算直接推導對數運算，雖說符合思維發展過程，但本質是綜合法思想，推導變形時缺乏目標，看似簡單，實則困難.所以不符合學生學習的實際和認知過程，學生不易掌握，估計問題就在此吧.

三、教學設計的再思考

對數在現在的高中數學中處于非常尷尬的地位·在發明電子計算機之前，對數對進行冗長的數值運算是很有用的，它們廣泛地用于天文、工程、航海和測繪等領域中·所以恩格斯把對數的發明和解析幾何的創始、微積分的建立稱為17世紀數學的三大成就，伽利略也說過：“給我空間、時間及對數，我就可以創造一個宇宙·”即使在電子計算機廣泛使用的今天，對數的一些重要的性質仍在廣泛使用中·但是高中學生感受不到對數學習的必要性和重要性，對學生而言，對數只是必考的知識，所以雖然能勉強對付學習，但時間稍長就什么都忘了·可以說，對數是高中教材中學生掌握得最差且遺忘最快的內容·

那么如何解決這個問題呢？筆者認為，對數的教學更應該注重數學的整體性和系統性，把對數放到一個知識網絡中去，讓學生在知識的相互聯系中理解、掌握、記憶、應用，這才是合理的教學思路·

從整體性、系統性的角度來分析本單元內容·本章首先學習對數，然后學習對數運算，再在此基礎上研究對數函數，三者環環相扣·對數源于指數，所以對數的概念教學離不開指數概念，但對數運算的教學直接從指數運算入手就顯得有點牽強·所以如上文所述，教師也很少愿意使用教學設計2進行教學·

那么剩下的可能性就是從對數入手研究對數運算了·從數學的整體性和系統性來看，學習了新的數，接下來就要研究它們的運算，所以我們會自然想到兩個對數也應該有加、減、乘、除等運算，那么在實際教學中，我們不妨從兩個對數的加、減運算著手研究，此時又考慮到對數的底會有所不同，所以先把問題特殊化，考慮同底的兩個對數的加、減運算，這樣自然把問題引到同底數對數的和、差運算公式的推導上來·即已知logaM、logaN，求logaM+logaN·

由指數與對數的關系，對數問題還是得化為指數進行，所以設logaM=m，logaN=n，有am=M，an=N，運用指數運算法則得am·an=M·N=am+n，化為對數式，得loga（M·N）=m+ n，即loga（M·N）=logaM+logaN（*）·這樣推導顯然合情合理，符合學生的認知過程，所以教師教得輕松，學生學得自在·同理，設logaM=m，logaN=n，由指數與對數的關系，化為指數式有am=M，an=N，由指數運算法則得am÷an=logaN·把n視為正整數，令（*）中M=N，推廣得nlogaM=礎上引導學生自主證明，這樣也符合學生思維的發展·

按這種思路繼續思考，如果對數的底數不同呢？不同底的對數能否化為相同的底呢？自然而然地引入對數的換底公式，設logab=x，則b=ax，取對數logcb=logcax=生認知而一氣呵成·

最后，由指數與對數的關系，我們知道指數對應對數、冪對應真數，所以在指數運算中指數相加，在對數運算中應該有對數相加，指數運算中的同底數冪相乘對應對數運算中的真數的相乘；在指數運算中指數相減，在對數運算中應該有對數相減，指數運算中的同底數冪相除對應對數運算中的真數相除；指數運算中冪的乘方對應對數運算中的真數乘方，指數運算中的乘方數與指數相乘對應對數運算中的乘方數與對數相乘·利用這樣的聯系來引入對數運算的教學，其實也不失為一種合理的教學引入方法，同樣符合數學的整體性，但考慮到過分抽象，在實際教學中難度過大，不符合學生的實際，所以可以在完成教學后揭示這種關系，幫助學生形成知識網絡，進一步加深理解·

上文所述的幾種對數運算教學設計，表面上看，只是同樣幾個步驟在教學時的不同組合，實質上則是不同教學理念在教學中的體現·在追求教材系統性、整體性的同時，我們還應該考慮學生的接受能力，盡量符合學生的認知，根據學生的認知來設計教學，這樣才能真正使學生學會思考，成為善于認識和解決問題的人才·A