學習形式化的表達是數學教學的一項基本要求

☉湖南省株洲縣第五中學方厚良羅燦

學習形式化的表達是數學教學的一項基本要求

☉湖南省株洲縣第五中學方厚良羅燦

在我國基礎教育階段，對數學的形式化及其教學一直是個爭論的話題，至今似乎仍無定論·影響較大的開端，源于1991年5月張孝達先生在西南師大的一個報告中“驚世駭俗”地提出“淡化概念”，誘發西南師大陳重穆、宋乃慶二位教授撰寫《淡化形式，注重實質》（發表于1993年第2期《數學教育學報》），繼而引發國內學者對“形式”與“實質（本質）”的熱烈探討甚至爭議·進入21世紀，隨著新一輪課程改革的展開、深入，關于數學及其教學的“形式化”又有了新的變化，對形式化和本質的認識、處理直接影響了數學教學的質量與效果：教育家們曾基于“作為科學性原則的補充（或反思）”提出在中小學數學教學“淡化形式”（需要指出的是《淡化形式，注重實質》一文主要針對初中數學教學）有其深刻的時代背景，即是對我國中小學數學教學受前蘇聯影響而過分強調“科學性”、過分形式化的批判，自有其積極意義；但矯枉過正，如今數學課“去數學化”鬧得厲害，數學課缺乏數學味，這必須引起我們的高度警覺！教育是一件十分重大的事情，不能從一個極端走向另一個極端·事實上，2003年國家教育部制定的《普通高中數學課程標準（實驗）》對此作出了平衡意義下的表述，將“強調本質，注意適度形式化”作為“課程的基本理念”之一，旨在指導高中數學教師在數學教學中協調好“形式與本質”的關系·從2004年廣東、山東、海南和寧夏四省率先實施課改至今已愈十年，課改的理念很好地得到踐行了嗎？一線教師對數學形式化教學要求處理到位了嗎？筆者的觀察是不太樂觀的：大家對“形式化”是很忌諱的，各種數學期刊、教育雜志刊發文章中，最熱鬧、最時髦的詞匯也許是“本質”，而“形式”則是批判的對象，是作為“本質”的對立面看待的！甚至將教學手段、方式誤解為數學“形式”的也大有人在！這些誤解、混淆、混亂是不正常不應該的，嚴重影響了中學數學的教學·章建躍老師的《數學課要教數學》絕不是偶感而發，所列舉現象實乃頗具普遍性，筆者的思考是：10年課改，我們是不是應對“作為科學性原則的補充（或反思）”再做反思？限于討論課題的專業性和復雜性，本文僅探討其中一個子課題，即“學習形式化的表達是數學教學的一項基本要求”，側重探討如何在數學教學中落實這一要求·

一、學習形式化的表達是數學教學的一項基本要求

1·數學教學為什么要學習形式化表達

首先，學習形式化表達是課標對數學教學提出的一項基本要求·課標指出：形式化是數學的基本特征之一·所以，避開、拋開數學的形式化是做不到的，也是不應該的·課標明確提出“在數學教學中，學習形式化表達是一項基本要求”，請注意“基本”二字！試問，數學教學有哪些是基本要求？

其次，學習形式化的表達是達成“提高數學表達和交流能力”課程具體目標的主要途徑·數學表達和交流當然有多種方式和途徑，但誰也無法否認，形式化表達是其主要方式，尤其是書面的、文本的成果展示·

再次，形式化表達是抽象概括、符號表示和推理論證等數學思維過程的重要環節和具體體現，是數學思維能力培養和理性精神啟蒙不可或缺的手段·“數學家在純粹數學的研究中，借助于明確的定義去構造相應的量化模式，并以此為直接對象去從事純形式的研究·”雖然教師教數學、學生學數學與數學家研究數學在數學形式化的“質”與“量”有很大的區別和不同，但有一點是肯定的：數學思維活動的展開離不開數學的形式化表達·最后，從非功利的人的素質和精神層面的發展、累積來看，形式化表達有助于將對事物的形式與本質思考導向哲學高度，提升智慧·形式與本質的概念屬于哲學范疇，上溯古希臘，以亞里斯多德的《形而上學》為源；近窺現代數學，有希爾伯特“形式主義流派”為盛·隨著數學學習、研究的深入，必然會提升到哲學層面的探索與思考，歷史上的大數學家像牛頓、萊布尼茨、希爾伯特、羅素、愛因斯坦等同時也是哲學家·我們的數學教師和學生，達不到這些大家思想的深度、高度和厚度，但“哲學就是愛智慧”，人人可以愛智慧，人人應該愛智慧·

2·數學教學如何實踐“學習形式化的表達”

數學教學如何實踐“學習形式化的表達”這一要求呢？適當地了解形式（化）、本質的概念、聯系、關系固然有益，但從以下幾個方面入手可能更重要、更實在：以數學概念、法則、結論等具體知識為載體，特別是核心知識和內容，通過內核挖掘、表征選擇等不斷經歷形式化過程；以數學特有的、具體的語言運用，如集合語言、算法語言、向量語言和邏輯用語等進一步在“語言”層面學習形式化表達；在公理和定理鏈條、具體數學方法的結構、體系中了解、學習形式化表達；問題解決過程中通過推理與證明來學習形式化表達等·

（1）在數學核心概念、重要法則和結論構建過程中學習形式化的表達·

世界知名幾何學家伍鴻熙教授在文3中提出了數學的五個基本原則，其中原則1是“每個數學概念必須精確定義，而定義是構成邏輯推理的基礎·”在文中他沉重地指出目前中小學數學忽略定義已非常嚴重（這也被章建躍老師認同的，見《數學課要教數學》）·“每個數學概念必須精確定義”在中小學數學可能難以做到（主要是基于學生學習的可接受性），但對核心概念還是要提出“精確定義”要求，章建躍老師主持的“中學數學核心概念、思想方法結構體系及教學設計的理論與實踐”課題，對核心概念教學進行了深入、系統和卓有成效的研究，構建了概念教學“7環節”模式，指出概括是概念教學的核心，下定義（位于第4環節，“用準確的數學語言表達”即形式化表達）建立在概括（即得到概念的本質屬性）的基礎之上；張乃達先生在《教學設計與案例分析》一文中提出數學概念的建構必須經歷“問題情境→觀念（胚胎）→概念”過程，指出“從觀念‘粗胚’到概念‘定義’是一個形式化過程”·兩位老師給我們指出了什么是概念學習的形式化表達：即用準確（精確）的數學語言表達觀念或本質屬性；同時也指出了形式化表達的時機和方法：即從樸素的觀念粗胚到嚴格的形式化的定義轉換，在共同本質特征概括基礎之上用精確的數學語言表達·筆者認為，在概念中學習形式化表達還有兩點是需要注意的：一是將概念的形式化表達既視為一個確定的對象又需關注它表述過程中的動態修正完善，對于后者意味著在教學中要盡可能讓學生用他們自己的話和方式多次的、反復的、多角度的表達；二是盡可能讓學生認識、體會形式化表達的必要性和作用，這就要求教師精心設計問題和例子·下面所舉案例，僅重點探討學習形式化表達，不及其余；雖探討的是概念教學，但對法則和結論教學也基本相仿·

案例1：函數的單調性·

活動1：從圖形語言到自然語言表述·

教師用PPT展示一次函數f（x）=x和二次函數f（x）=x2的圖像，要求學生觀察、描述圖像的“升降變化”規律·

活動2：從數表語言到文字語言描述·

教師用PPT展示一次函數f（x）=x和二次函數f（x）=x2關于x、y值的對應表，要求學生從自變量x取值大小變化刻畫對應函數值y的大小變化規律·

活動3：將文字語言轉換成符號語言·

前面兩個活動應視為不斷形式化的有機組成部分，是觀念粗胚形成、單調性本質屬性抽象概括的重要階段·活動3則進入概念形式化實質階段，包括用區間限定自變量范圍（單調性是在區間上討論的）、用不等式表示大小關系、關鍵詞“任意”、定義呈現的邏輯結構“如果…，那么…”等不斷琢磨、精確化·具體操作時，可先給出增函數的定義，再讓學生模仿給出減函數的定義；先讓學生自己嘗試定義，再正式給出教材中規范的形式化定義·

活動4：證明函數f（x）=x2+1在（0，+∞）上是增函數·

給出一個簡單的函數證明它的單調性是有必要的，除了直接鞏固單調性概念，學會用形式化定義證明之外，還可通過學生板書過程及其暴露出的種種問題來規范、澄清一些認識：圖像不能替代證明、說理不是推理、概念是證明的出發點等·

（2）以數學特有的、具體的語言運用，在“語言”層面學習形式化表達·

對于數學語言，大家熟悉的分類是文字語言、符號語言和圖表語言，在高中課程，還需要學習更為具體的數學語言，如集合語言、算法語言、向量語言和邏輯用語等·首先，這些具體語言有其規范的形式要求和特定的意義指向；其次，學習這些語言，其中一個主要目的是為了更好地、準確簡潔地表述和刻畫數學對象、數學內容·課標指出：“高中數學課程只將集合作為一種語言來學習，學生將學會使用最基本的集合語言表示有關的數學對象，發展運用數學語言進行交流的能力·”“體會算法的基本思想……發展有條理的思考與表達的能力，提高邏輯思維能力·”“能用向量語言和方法表述和解決數學和物理中的一些問題……”“體會邏輯用語在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語準確地表達數學內容，更好地進行交流·”所以，應將這些語言學習看成是對數學形式化表達的一種要求·如課標對算法的“說明與建議”中提出“本模塊中的算法內容是將數學中的算法與計算機技術建立聯系，形式化地表示算法，在條件允許的學校，使其能在計算機上實現·”

案例2：秦九韶算法·

高中數學課程對算法形式化地表示一般經歷自然語言表述→程序框圖→程序語句·以秦九韶算法為案例，具體內容參看人教A版必修3P39·

（3）在公理和定理體系、具體數學方法結構中了解、學習形式化表達·

新課程將立體幾何內容作了很大的調整，改變了以往由公理到定理的演繹體系，消弱了對該內容形式化要求，但作為數學老師，還是可以適當介紹、滲透一些公理化思想，讓學生知道這一形式化系統（齊民友語）·［4］相對于消弱立體幾何公理化思想與形式化要求，與之對應引人關注的一大變化則是專門設置“推理與證明”章節（選修1-2和選修2-2）、模塊4-1幾何證明選講、4-5不等式選講：不僅學習演繹推理，還要學習合情推理；不僅學習直接證明方法（綜合法、分析法等），還要學習間接法（反證法）；不僅在不等式選講中介紹（甚至與必修5、選修2-2內容重復）證明不等式的基本方法，又在幾何證明選講中從幾何關系、性質角度提出證明要求·學生學習這些方法，當然要熟悉它的結構、陳述形式，這是相對集中學習形式化表達的機會，有利于學生表達清晰、思考更有條理·

案例3：演繹推理的“三段論”·

先通過具體例子介紹“三段論”結構，具有如圖1所示的形式·

圖1

再要求學生通過正反例子練習、思考、辨別，獲得“三段論”推理形式的正確認識：只要前提和推理形式是正確的，結論必定是正確的；推理形式正確，大前提錯誤則結論錯誤（人教A版選修2-2P80“思考”）；“推理形式正確，大前提正確，結論正確，但小前提不是大前提的‘子集’”是偽證明（人教A版選修2-2P81練習3）·

（4）在問題解決過程中以推理與證明為核心來學習形式化表達·

數學教學離不開問題解決，伍鴻熙教授五個基本原則的原則3是“每一個斷言都能用邏輯推理來證實，推理是數學的命脈，是解決問題的平臺·”在文3中對此還指出：就中小學數學中經常缺乏推理而言，如果教師們還沒有經過培訓去讓學生持續地使用邏輯推理，我們怎么能要求學生解決問題呢？據此，一方面看出“推理與證明”對問題解決的重要性，另一方面卻是現實的無奈，這是不是受“淡化形式”和“淡化推理與證明”的影響呢？

張乃達先生在文5中從數學文化觀和理性精神的教育功能視角指出“數學證明規范是理性探索精神的產物，”“數學證明必須是演繹的證明，這仍然是數學證明的規范，這種規范的確定，正是理性探索精神的勝利！也是數學對人類文化發生重大影響的決定性因素·”認為數學教學“應該堅持演繹證明的要求”，并建議“教學中應該把證明看成是一個過程，一種活動……重視提出問題、提出猜想、驗證猜想的過程……再在這個基礎上尋求演繹的證明……在證明中，要重視證明思路的探求過程，在證明后，要對證明的過程進行反思，以達到對證明的理解·”

二、結束語

事實上，要真正弄懂什么是數學（乃至一般事物）的形式與本質是很困難的，正如前面的分析，形式與本質的概念屬于哲學范疇，實屬深不可測，很多東西，數學家們都爭論不清（如什么是數學），所以，作為中學數學教師，不必在抽象和形而上學上對此過多“玄思深究”，不要把時間和精力耗費在無謂之爭上，相反，關注學生發展，為學生發展謀出路和改進教學才是最實在和最重要的事情·

1·鄭毓信·數學方法論［M］·南寧：廣西教育出版社，1996·

2·亞里斯多德，著·形而上學［M］·吳壽彭，譯·北京：商務印書館，1983·

3·伍鴻熙·數學的基本原則［J］·數學通報，2012（4）·

4·數學通報編輯·“現代數學及其對中小學數學課程的影響”數學家座談會紀要［J］·數學通報，1999（11）·

5·張乃達·數學證明和理性精神——也談數學證明的教學價值［J］·中學數學教與學，2003（6）·F