基于網上閱卷的試題分析與教學建議
——以一道高三解析幾何試題為例

☉江蘇省常熟市教育局教學研究室陳志江

基于網上閱卷的試題分析與教學建議
——以一道高三解析幾何試題為例

☉江蘇省常熟市教育局教學研究室陳志江

一、問題的提出

目前高三統考大多采用網上閱卷，這樣會有每個小題、每個學生的得分情況等大量的數據，還可以收集一個題目各種錯誤答案或不同的解法等，但有些學校或區域可能并沒有充分研究和掌握這些學情，而導致教學中的“高耗低效”，其實如果我們能夠對這些信息作好客觀準確的分析，并用其指導和改進我們的后續教學，定會使教學更科學、更有針對性·本文以蘇州市2015屆高三期初調研測試的一道試題為例進行試題分析，希望能對現在的高三教學有所啟發·

二、試題的分析

1·試題呈現

解析幾何是高中數學中的重要內容，是高考中的重點和熱點，同時又是教學中的難點·很多學生認為解析幾何就是簡單地“算”，并把考試中做不對解析幾何題歸結為計算不過關，不少教師也這么認為，因此教學中會大量地做題，想通過量的積累達到質的飛躍，實際卻往往事與愿違·那么問題到底出在哪里？筆者希望通過分析尋找到答案·

圖1

（2）設直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰好過原點，求橢圓C的離心率·

本題主要考查橢圓方程的求解，兩直線的垂直關系，橢圓離心率的計算，以及直線、圓、橢圓的相關基礎知識，考查學生的運算求解能力·本次考試常熟市采用網上閱卷，兩位老師雙批一個題目，若在誤差分數之內則取平均分；若在誤差之外，則由閱卷組長仲裁給分，故分數具有很好的參考價值·

2·學生答題概況及分析

本題全市平均得分8·29分（滿分16分），難度系數為0·52，其中第一問平均得分5·484分（滿分6分），第二問平均得分2·805分（滿分10分）·考生總數為4058人，具體各分數人數如下表：

第一問第二問整個題目分數人數分數人數分數人數分數人數分數人數分數人數6 3639 10 787 3 443 16 774 9 432 2 14 5 31 9 39 2 224 15 44 8 221 1 57 4 6 8 62 1 356 14 61 7 354 0 260 3 51 7 8 0 2028 13 11 6 1652 2 17 6 7 12 9 5 19 1 54 5 20 11 20 4 5 0 260 4 84 10 85 3 40

對上表數據進行分析，我們可以掌握如下學情·

（1）對求橢圓方程這樣的基本問題絕大部分學生能順利解決·

第一問求橢圓的方程，得滿分人數為3639，占考生總數的89·67%，說明絕大部分學生對此問題的解決掌握得很好，也表明對該類問題的教學是成功的；得分在3-5分的有88人，占考生總數的2·17%，這部分學生正確得到了關于a、b、c的方程組，但計算出錯了，表明少數學生對方程組的計算還不過關；得分小于或等于2分（含0分）的有331人，占考生總數的8·16%，這部分學生大都空白未做，對本題作放棄處理，查閱試卷后發現，近一半為體藝班學生·這一方面反映了學生的解題心理有問題，他們認為這樣的題目肯定得不到分，于是就放棄了；另一方面給我們教師的教學找到了方向，這300多位學生應是我們對該類問題進行后續教學的重點對象，要鼓勵他們樹立正確的解題觀點，要敢于去探討、研究，不輕易放棄，通過平時對題目的鉆研提升自己的解題能力和解題信心·

（2）對多字母運算的基本量求值問題的解決學生呈現三個層次·

第二問求橢圓的離心率，重點考查字母運算求解能力，將學生區分為了三個層次·

第一層次，得8-10分的人數為888，占考生總數的21·88%，這些同學主要采用參考答案給出的方法或思路進行求解，還有部分同學設M（acosα，bsinα）引入角為參數求解，也有一些同學設出過A點的直線，引入斜率為參數，通過韋達定理來求解M點，接著求解P點，再利用垂直求解出離心率的值·極少數同學在規范表達或計算上還有一些小問題導致1-2分的失分·

第二層次，得1-5分的人數為1127，占27·78%，這部分同學對條件多少作了些轉化，但都是半途而廢·出現的主要錯誤有：①部分同學用了第一問的條件準線為x= 4，這樣直接出錯了；②有不少同學設直線方程求出M點的坐標，算錯了或有的算出M點后放棄往下做；③有的同學設P點然后解M點，算算也中途放棄了；④不少同學直接采用kMA·kMB作為結論使用，但未作證明；⑤不會用點M在橢圓上這個條件代入化簡·總體表現出解題方向不明確和計算能力不過關兩大問題·

第三層次，得0分的人數為2028，占49·98%，這個比例是比較大的，反映出有近一半的同學在這類問題的解決中毫無辦法、束手無策·分析原因，一部分同學是直接放棄的，他們認為做了也做不出或想把時間放在其他題目上；一部分同學進行了嘗試，但覺得字母多，分不清主次，理不清思路，這些同學絕大部分第一問是得滿分的，應該是具備基本知識的，不過在剛剛進入高三，尚未進行復習的情況下，還缺乏對知識與信息的整合能力，對有一定難度的問題難以解決，這也給我們提示，在后面的一輪復習中要重點關注這些同學，同時對此類問題的解決要做好思路探索、方法提煉和恰當訓練·

3·對解析幾何復習教學的建議

（1）教學中要呈現解題的思維過程·

針對上述第二、三層次的學生，在教學中教師要重點呈現解題的思維過程·解析幾何問題，往往解決過程長，學生要經歷審題、思考、解決、出現錯誤、修改、調整方案等一系列環節，這就是“思維過程”·如本題中，M是主動點，P是從動點，M的移動帶來直線MB、OP的轉動，而由條件知MB⊥OP，這樣可得方程kOP·kBM=-1，再轉化到用a、c表示即可解出離心率e，其思維過程如圖2所示，其中①處主要為計算，②處為問題轉化，③處為消參，可分兩個層次，先消x、y，再消b·

圖2

這些是學生解題的困難之處，是本題能否順利解決的障礙點，教學中只有把這些關鍵點突破，才能把學生點化·

因此解析幾何復習中，我們一方面要合理展示教師的思維過程，教師要盡量設法使學生看到，面對一個新問題，自己是怎樣尋求解決思路的，其依據是什么，特別是在思路受阻后是如何調整思路的，為什么這樣調整等·另一方面，要充分展示學生的思維過程，教學中應給學生充分暴露和展示思維過程的機會，教師要關注課堂提問、板演、作業中反映出的學生思維，及時地發現學生的思維“閃光點”和存在的問題，并肯定正確、矯正錯誤，才能讓學生在復習中打通思維、提高其求解解析幾何問題的能力·

（2）要將算理與計算相結合·

現在學生的運算能力普遍較差，有些是計算出錯，還有很多是不通算理·解析幾何問題的解決大多需要具備方程（組）思想，一般過程為“引參—列方程（組）—消參—求值”·當然我們應該要清楚如果方程個數和未知數個數相等，都可以解出具體值，比如本題第一問，由條件可得關于a、b、c的三個方程，然后解這個三元方程組就可以了；如果方程個數少于未知數個數，最后可能會求比值，如第二問首先引參，可以設點引入兩個參數x、y，也可以設直線的斜率k，但無論引入什么參數，所得方程個數總比未知數個數少一個，所以最終要求離心率實際上為求兩個未知數的比值，這樣宏觀把握，那么我們只要去做方程的消元工作就可以了·如何提高學生的運算能力？筆者覺得除了注重學生基本運算技能的培養，還要讓學生準確理解和掌握常用公式、法則及算法·數學公式、法則中，有的是運算的依據，說明了“為什么可以這樣做”，有的是運算方法與步驟，給出了“如何做”的程序·對公式、法則的掌握程度會直接影響到解題的質量與速度·如果學生理解不深刻，便會陷入一種盲目遲鈍的狀態，出現各種各樣的錯誤·算法其實是對問題的處理方法，但其間蘊含著為什么這樣處理的一般性規律，我們的教學要直擊到這些規律性的東西，這樣才能讓學生做一題通一類·

（3）要梳理常見題型，優化解題方法·

笛卡兒說：“我們每解一題都要成為以后解題的范例·”個人覺得所謂“范例”可以落點在兩個方面，一是題型，二是方法·解析幾何復習中我們要和學生梳理好常見的題型，筆者將其歸納為基本量求值問題、最值問題、范圍問題、軌跡問題、定點問題、定值問題等六類，我們對每一類問題都應做好細致的研究，對每一類問題的解法要結合學生的解法進行梳理、改造，解法的探究必須做到“從學生中來，到學生中去”，要在錯誤中學習·錯誤是一面鏡子，是解題教學中重要的教學資源，它能充分暴露學生的思維過程·我們暴露考試和作業中學生出現的典型錯誤，并進行討論反思，讓學生明白每一種方法的優點（適用面）和缺點（不適用面），讓學生的思維走出誤區，在錯誤中“撥亂反正”，從而生成新思維·只有這樣，學生才能在解題時根據具體情況，選擇有效、便捷的方法解決問題·就本題而言，有兩點值得關注：一是要掌握一些比較常用的運算技能，如直線與圓錐曲線的交點問題中，知道一個交點的坐標，如何計算另一個交點的坐標；二是本題為基本量求值問題，解完后我們要反思解題的思路，優化解題的路徑，是設點，還是設斜率，哪個簡單，還是都行？對條件“MP為直徑的圓”是否可以利用圓的幾何性質，如何轉化這個條件？如何消參更簡單、便捷？

三、一點感想

以上是筆者對該試題作的粗淺分析，是基于事實與數據得出的論斷·教育對數據的使用才剛剛起步，教育的數據時代即將來臨，通過技術的創新與發展，以及數據的全面感知、收集、分析、共享，我們會有一種全新的研究方法，這樣的研究方法，將推動一些習慣于靠“差不多”運行的事情發生巨大變革·正如哈佛大學社會學教授加里·金對“大數據分析”這樣評價：“這是一場革命，龐大的數據資源使得各個領域開始了量化進程，無論學術界、商界還是政府，所有領域都將開始這種進程·”將來我們的教育教學該是怎樣的，我們目前還不清楚，但我們不應只做看客，我們要有整合教學數據的能力，要有探索數據背后的價值和制定精確行動綱領的能力，要有進行精確快速實時行動的能力，我們應努力做一個創新的實踐者·A