命題處處陷阱解題步步為營
——導(dǎo)數(shù)問題求解中的“對而不全”揭秘

☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué)夏秀梅

命題處處陷阱解題步步為營
——導(dǎo)數(shù)問題求解中的“對而不全”揭秘

☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué)夏秀梅

每次考試后總有一部分同學(xué)感覺良好，但成績并不理想，究其原因是問題解答中沒有注意到一些細(xì)節(jié)，造成“對而不全”現(xiàn)象，致使整體成績不理想·高考試題中解答題要求嚴(yán)密的推理、詳細(xì)的解答，其分值設(shè)置是按步驟得分·本文以筆者所教授的班級中部分同學(xué)在解答導(dǎo)數(shù)問題中的“對而不全”問題為例進(jìn)行說明·

一、忽視隱含條件——對而不全

（1）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）的圖像在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

（2）如果對于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），求a的取值范圍·

解析：（1）略·

（2）先考查函數(shù)g（x）=-x2+2x-3，x∈R的圖像，配方得g（x）=-（x-1）2-2，所以函數(shù)g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，因?yàn)閷τ谌我鈞1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，所以a≤1·

以下考查函數(shù)h（x）=xlnx，x∈（0，+∞）的圖像，則h′（x）=lnx+1，令h′（x）=lnx+1=0，解得

例1已知函·隨著x變化時，h（x）和h′（x）的變化情況如下表：

x 0，1（）1（）1 e e e，+∞h′（x）-0 + h（x）↘↗

若對于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），則g（a）≤h（a），即-a2+2a-3≤alna，解題無法繼續(xù)……

揭秘：本題解法受常規(guī)解題思維的影響，欲使函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)，則在分段點(diǎn)的函數(shù)值大小關(guān)系為-a2+2a-3≤alna，但此不等式不易求解·挖掘解題過程

二、忽視構(gòu)造新函數(shù)——裹足不前

導(dǎo)數(shù)問題一直是高考的壓軸題，解題中常需要構(gòu)造函數(shù)，如何構(gòu)造既是難點(diǎn)，也是熱點(diǎn)，近年高考題中出現(xiàn)了很多需要構(gòu)造函數(shù)的題，還有一些是二元變量的最值問題，這更是讓學(xué)生感覺無從下手·值大于零？若存在，請求a的取值范圍；若不存在，請說明理由·

例2

（1）當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故無極值·

（2）當(dāng)a＞0時，-ax2+x+1=0，Δ=1+4a＞0且兩根之積為極值點(diǎn)是無理的，若直接代入函數(shù)f（x）中，不可能求出參數(shù)a的取值范圍，那么如何求參數(shù)的范圍呢？

揭秘：可以通過消參，構(gòu)造函數(shù)求出極值點(diǎn)x2的具體范圍，從而求出a的取值范圍·

因?yàn)閤1＜0，x2＞0，即求使f（x2）＞0的a的取值范圍，過程如下：構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx+，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增且g（1）=0，故g（x）=lnx+＞0，得x＞1，即x=2

三、忽視對問題的探究——思維中斷

四、忽視解題方法的優(yōu)化——避簡求繁

揭秘：一般地在涉及二次函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)或最值的問題上，通常研究的方法都是利用其對稱軸與定義域區(qū)間的位置關(guān)系生成分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，然后再逐步依據(jù)題目的要求將問題予以解決，此種做法易想能做，但解題過程繁雜，能否找到有效回避分類討論的處理呢？

解法2：考慮到h（0）=1＞0，問題的對立面為方程（fx） =x在區(qū)間（-1，1）上無解，即函數(shù)h（x）=區(qū)間（-1，1）上無零點(diǎn)，

一個數(shù)學(xué)問題通常都具有兩面性，當(dāng)一方較為煩瑣的時候，往往其對立面一般就會稍顯簡單，解法2正是有效利用這一點(diǎn)，使解題過程得到了簡化·

總之，中等難度的題目是高考試題的主要構(gòu)成，是大部分考生得分的主要來源·對于中檔題，考生普遍存在的現(xiàn)象是“得分容易，得滿分難”，要解決“會而不對，對而不全”的問題，解題中要注意規(guī)范審題、規(guī)范書寫過程、深入挖掘隱含條件、深入反思·F