橢圓中的存在性成立問題

☉江蘇省徐州高級中學孟文娣

橢圓中的存在性成立問題

☉江蘇省徐州高級中學孟文娣

數學的深奧在于數學問題的千變萬化，數學方法的靈活多變，數學思想的內在統一·函數歷來是高考考查的重點，而函數中借助“恒成立”與“存在性”成立問題求解參數的取值范圍又是考卷中的老面孔·很多教師致力于此類題型的研究，總結出了各種考查形式及解決方法·實際上，這類問題的本質就是化歸為函數的最值問題·而在橢圓的有關問題中，橢圓離心率的求解是常考題型，特別是求離心率的取值范圍是考查的重點·由于方法較多，綜合性較強，這類問題往往又成為考查的難點，學生在碰到這類問題時比較棘手·筆者在執教過程中發現，在求橢圓離心率取值范圍的問題中，如果能將函數中的“存在性”成立問題的思想加以借鑒，則能較快地解決一些較復雜的問題·

下面以幾個較簡單的例題來闡述這種思想方法的運用·

解析：此題解法較多，可通過設P點坐標，利用有界性建立不等式；也可以通過設角，轉化為三角函數問題求取值范圍·前者計算量較大，后者綜合性較強，現在從“最值問題”研究解決方法·

通過橢圓圖像不難發現，當點P在橢圓上運動時，越靠近長軸端點∠F1PF2越小，最小值趨向于0，越靠近短軸端點∠F1PF2越大，當P點與短軸端點重合時，∠F1PF2最大·即當P點在橢圓上運動時，∠F1PF2存在最大值·因此若存在點P，使∠F1PF2=90°，設短軸上的頂點為B，只需∠F1BF2≥90°即可·再利用橢圓的對稱性，只需∠OBF2≥

當且僅當PF1=PF2=a，P點與短軸端點重合時，余弦值取得最小值，即∠F1PF2取得最大值·

解析：此題設點坐標，利用有界性求離心率取值范圍仍然是基本方法，但是運算量仍較大·點M到左焦點的距離與到右準線的距離的比值隨著M的變化而變化，并且存在最值·只要2在這個變化范圍內，則必存在點M滿足條件·易證橢圓上的點在長軸兩端點處時，到左焦點與到右準線的距離的比值取到最值·由題意，只需

（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，P為橢圓上任意一點·當點P在長軸右端點時，取得最小值當點P在長軸左端點時取得最大（即書上例題中出現的結論變形：橢圓上到兩焦點的距離的最大值、最小值分別為a+c，a-c）

例4設點F1、F2分別是橢右焦點，若在其右準線上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，求橢圓離心率的取值范圍·

解析：由題意，F1F2=F2P=2c，題目轉化為：存在點P，使得F2P=2c·由圖易得，F2與右準線上的點的連線存在最

解析：此題雖然沒有明確談及存在性，但仔細審題不難發現，題目就是在橢圓上存在一點P，可證當點P在長軸端點時，

總結：以上各題都有其他多種解決方法，在這就不一一贅述了·橢圓中的存在性成立問題，與函數中的存在性成立問題有著異曲同工的解決方法，并且將解決函數問題的方法用到此處更顯簡便、自然·但是并非所有含有“存在點P”這種條件的問題都可使用這種方法，要認真審題，確定條件中所蘊含的量存在最值才能夠進行轉化·并且此類問題多以填空題的形式給出，如果能記住橢圓中的一些最值結論將能夠大大提高解題速度·作為教師，在教學過程中要不斷的摸索，真正找到數學思想、數學方法的統一，教會學生會思考，能類比，真正達到舉一反三的效果·F