一類球體與柱體組合問題的通用“秒殺”解法

☉內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬中學(xué)張生

一類球體與柱體組合問題的通用“秒殺”解法

☉內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬中學(xué)張生

組合體問題是立體幾何的常考點，也是高考熱點，此類問題對學(xué)生的空間想象能力要求很高·通常以三視圖為命題背景，或以與球體有關(guān)的組合體為背景，本文就球體與柱體的組合問題，給出一種通用解題方法，并給出具體實例來說明方法的通用性·

一、球體與柱體的組合問題的基本模型

圖1所示的是一個半圓和其內(nèi)接矩形旋轉(zhuǎn)360°后形成球體與柱體的組合體，其中，滿足兩個關(guān)系式：R2=r2+ d2，d=（其中，球體半徑為R，圓柱半徑為r，圓柱高為h，圓柱底面到球心的距離為d），這兩個關(guān)系式揭示了球體與柱體組合體的內(nèi)在聯(lián)系，即在R，r，d三個變量中，可實現(xiàn)“知二求一”·

圖1

這個模型可以引申為其他柱體與球體的組合體問題，比如直三棱柱與球體、直四棱柱與球體、直六棱柱與球體等，我們只需確定r即可，此時r的含義為棱柱外接圓柱的半徑，轉(zhuǎn)化為平面圖形即為多邊形外接圓的半徑，通常會有如圖2～圖6所示的情況·

圖6

圖2

圖3

圖4

圖5

二、應(yīng)用模型解題

例1（2013年遼寧卷第10題）已知三棱柱ABCA1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB=3，AC=4， AB⊥AC，AA1=12，則球O的半徑為（）·

解析：本題為直三棱柱與球體的組合問題，且三棱柱的底面三角形為直角三角形，易得斜邊長為5·高為12，用模型，秒殺此題！

例2（2014年陜西卷第5題）已知底面邊長為1，側(cè)棱長為2

■的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（）·

解析：本題為正四棱柱與球體的組合問題，由底面邊長為1易得其外接圓半殺此題！

例3（2009年全國卷第15題）直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC= 120°，則此球的表面積等于_________·

解析：本題為直三棱柱與球體的組合問題，且三棱柱的底面三角形為等腰三角形，頂角為120°，易得r=2，4πR2=20π·

例4一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為_________cm2·

例5（2008年新課標(biāo)第14題）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面·已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為底面周長為3，那么這個球的體積為________·

以上例題充分說明模型的重要性，只要理解模型實質(zhì)，可以說，此類問題不再是難題，讀完題后直接套用模型秒殺問題！這是多么有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象·

三、重要結(jié)論及應(yīng)用

結(jié)論1：若高為h的正棱柱或圓柱內(nèi)接于半徑為R的球O中，則當(dāng)且僅，柱體的體積取得最大值·證明：由基本模型知R2=r2+d2，d=，其中，r為圓柱的半徑（或正多邊形外接圓的半徑），上式可化為r2=R2-

而正棱柱或圓柱的底面積都可化為一個r的二次函數(shù)，即S底=λr（2λ為常數(shù)）·②

所以，V=S底h=λr2h·③

由④式知體積是關(guān)于高的三次函數(shù)，可通過求導(dǎo)來計算最大值·

下面具體給出正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圓柱對應(yīng)的體積的最大值：

名稱底邊長高外接圓半徑對應(yīng)λ的值體積最大值正三棱柱a h r=3■■3aλ=33 4 Vmax=R3正四棱柱a h r=2■■2a λ=2Vmax=83 9R3正六棱柱a h r=a λ=33■2 Vmax=2R3圓柱無無r λ=π Vmax=43■π9R3

結(jié)論2：若高為h的正棱柱或圓柱內(nèi)接于半徑為R的球O中，則當(dāng)且僅當(dāng)R時，柱體的側(cè)面積取得最大值·

下面具體給出正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圓柱對應(yīng)的側(cè)面積的最大值：

名稱底邊長高外接圓半徑對應(yīng)m的值側(cè)面積的最大值正三棱柱a h r=3■■S側(cè)max=33 3am=33■R2正四棱柱a h r=2■■S側(cè)max=42 2am=42■R2正六棱柱a h r=a m=6 S側(cè)max=6R2圓柱無無r m=2π S側(cè)max=2πR2