中考數(shù)學二輪復習中講題的幾點思考

【摘 要】中考數(shù)學復習般分三輪進行。其中第二輪復習尤其強調(diào)以能力提升為目標。復習一般采用專題形式，以學生掌握的知識、形成的技能、積累的基本活動經(jīng)驗和形成的數(shù)學思想方法為基礎，以提升學生分析問題、解決問題的能力和培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力。對于案例分析類問題，要引導學生抓住題干關(guān)鍵詞;對于問題求解，要探求解法的多樣性;對于變式性問題，要在變式層次性上做好鋪墊，從而提高學生的復習質(zhì)量。

【關(guān)鍵詞】中考數(shù)學;二輪復習;案例分析;問題求解

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）06-0030-03

【作者簡介】楊云奎，江蘇省灌云縣實驗中學（江蘇灌云，222200）教師，中學高級教師。

一、講案例分析時，抓住題干關(guān)鍵詞

在中考二輪專題復習中，很多題目題干較長，題中彼此之間的關(guān)系相對分散，隱含在字里行間的信息不易“匯聚”。有相當一部分學生在通讀一遍題目后，抓不住重點，便失去耐心選擇放棄。因此教師在對這類問題進行分析時，要給學生留有一定的時間，給學生“理解”題干的空間，讓學生有一個“悟”的過程。還要讓學生解釋文本中的“關(guān)鍵詞”，教師針對學生的解釋要作必要的追問和闡釋，以幫助學生準確理解題意，為順利解題打下堅實的基礎。

【案例1】探索、研究。儀器箱按如圖1方式堆放（自下而上依次為第1層、第2層…），受堆放條件限制，堆放時應符合下列條件：每層堆放儀器箱的個數(shù)an與層數(shù)n之間滿足關(guān)系式an=n2-32n+247，1≤n<16，n為整數(shù)。

（1）例如，當n=2時，a2=22-32×2+247=187，則a5 = ，a6 = 。

（2）第n層比第（n+1）層多堆放多少個儀器箱（用含n的代數(shù)式表示）;

（3）如果不考慮儀器箱堆放所承受的壓力，請根據(jù)題設條件判斷儀器箱最多可以堆放幾層，并 說明理由;

（4）設每個儀器箱重54N，每個儀器箱能承受的最大壓力為160N，并且堆放時每個儀器箱承受的壓力是均勻的。

①若儀器箱僅堆放第1、2兩層，求第1層中每個儀器箱承受的平均壓力;

②根據(jù)①中的方法進行估算，求得最多可以堆放的層數(shù)。在確保儀器箱不被損壞的情況下，儀器箱最多可以堆放幾層？為什么？

圖1

在本案例中，關(guān)鍵點是對關(guān)系式an=n2-32n+247的理解。根據(jù)1≤n<16，n為整數(shù)，n的取值學生是清楚的，對不同的n，式子n2-32n+247的值也是可求的。但對于an學生普遍認識不足，雖然在求一元二次方程的根時，曾用過x1，x2表示方程的根，但對這種含角碼的字母認識上僅屬于簡單模仿階段，對關(guān)系式an=n2-32n+247中an這種含角碼的字母的意義理解并不深刻。雖然在第（1）小題中作了鋪墊，但仍有學生不能充分認識an中的角碼n與關(guān)系式右邊的n一樣，是隨n變化的變量。如果教師能對此解讀到位，則為順利解題奠定了基礎。

“每個儀器箱承受的壓力”是本案例中的又一關(guān)鍵詞，教師只需提醒學生注意，一般學生便能明白它的含義：某層以上所有儀器的重量平均分配到這一層所有儀器上。

教師在備課時要找準問題的關(guān)鍵詞。在分析題目之前，教師要充分地讓學生展示其對關(guān)鍵詞的解讀。當學生對關(guān)鍵詞不解時要作必要的點撥，學生對關(guān)鍵詞解讀差誤時，要及時糾正。緊抓問題中的關(guān)鍵詞，才能節(jié)省時間，達到事半功倍之效果。

另外還需注意，由于學生的知識結(jié)構(gòu)、思維方式各不相同，一個不起眼的名詞、符號都有可能成為某些學生問題求解過程中的絆腳石。教師在施教時也要引起足夠的重視。比如以上案例題干中有一說明：“自下而上依次為第1層、第2層…”與我們常規(guī)的理解“自上而下依次為第1層、第2層…”恰好相反，若在審題時沒有引起足夠注意，也會給解題帶來困難。

二、講問題求解時，探求解法多樣性

一題多解就是對同一問題，由于解題者觀察的角度不同，思考的側(cè)重點不同，運用知識不同和思維力度不同而得到不同的求解方法。一題多解在日常的例題教學中常被教師所采用。不可否認，對學生進行一題多解訓練，可以提高解題能力，做到舉一反三、觸類旁通，有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維能力。但是，在以提升學生能力為目標的中考第二輪復習中，在進行多途徑需求問題解答時不能為了多解而多解，而要力爭在解題方法上或思維方式上有所突破，而不是局限在某一類方法中或同一思維層面上。

【案例2】如圖2-1，正方形ABCD的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)作半圓，求圖中陰影部分的面積S陰。

思考一 求含圓弧的封閉圖形面積，一般是將圓弧所在圓的圓心與圓弧兩個端點相連接，將待求圖形面積轉(zhuǎn)化為直線型圖形與扇形的面積。本例根據(jù)圖形的對稱性，將原圖形按圖2-2變化方式，比照變化前、后兩個圖形的關(guān)系，于是有：S陰=8（■S陰-S△）=（■-1）a2。

思考二 如圖2-3，由圖形的對稱性，4個半圓把正方形分割為兩類圖形，分別用x、y表示其面積，根據(jù)面積間的相等關(guān)系，通過列方程組求出每類圖形的面積：

4x+4y=a22x+y=■π（■）2解得x=■（■-1）a2y=■（2-■）a2，于是4x=（■-1）a2，所以S陰=（■-1）a2。

思考三 如果從圖2-1陰影部分的形成過程進行思考，我們認為先是在正方形中把相對的兩個半圓染色（如圖2-4），顯然圖中的非陰影部分的面積為（a2-■πa2），于是圖2-1非陰影部分面積是2（a2-■πa2），從而S陰=a2-2（a2-■πa2）=（■-1）a2。

以上三種思考從不同的角度分析問題，思考一體現(xiàn)了求含圓弧的封閉圖形面積的通用方法;思考二是運用數(shù)形結(jié)合，將面積問題轉(zhuǎn)化為方程組的求解;思考三則是對圖形的陰影部分作了動態(tài)思考。盡管我們還可以對圖形進行剪拼，借助圖形間的面積關(guān)系列出方程（組），也可以在思考三的基礎上第二次把相對的兩個半圓染色進而求出陰影部分的面積，但它們僅是在思考二、三的解法細節(jié)上作出的調(diào)整，思維方式上并沒有真正意義上的突破。在以能力提升為主的二輪復習中，題目多解應是教師引導啟發(fā)的自然生成，而非多多益善，一切應以揭示問題的本質(zhì)為要。

三、講問題變式時，注重變式層次性

一題多變也是在中考二輪復習中教師經(jīng)常采用的一種行之有效的教學策略，它能在有限的課堂教學時空內(nèi)讓學生“聚焦”現(xiàn)有的教學資源，減少學生的信息接受總量，讓學生能有更多的時間觀察、分析、思考、探索。常以某一問題為載體，以數(shù)學知識、技能或數(shù)學方法為基本點，縱向深入，對其進行深度剖析，一題多變給人以新鮮感，能夠喚起學生的好奇心和求知欲，有助于培養(yǎng)學生的探究創(chuàng)新能力，提高學生全面掌握知識和靈活運用知識的能力。

【案例3】表1-1是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答。求表中第8行第3個數(shù)是 ，表中第20行第14個數(shù)是 。

表1-1

變式一 表1-2是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答。求表中第8行第3個數(shù)是 ，表中第20行第14個數(shù)是 。

表1-2

變式二 表1-3是由從1開始的連續(xù)奇數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答。求表中第8行第3個數(shù)是 ，表中第20行第14個數(shù)是 。

表1-3

仔細觀察表1-1，可以發(fā)現(xiàn)第一行有1個數(shù)，第二行有3個數(shù)，第三行有5個數(shù)……于是，第7行有13個數(shù)，所以前7行共有數(shù)（1+3+…+13）=49個，于是第8行第1個數(shù)是50，從而表中第8行第3個數(shù)是52。類似地，可以求出第20行第14個數(shù)為375。

通過觀察，我們還能發(fā)現(xiàn)表1-1每行的最后一個數(shù)分別是1，2，3，4…的平方數(shù)，于是第7行最后一個數(shù)是49，所以第8行第1個數(shù)是50，從而表中第8行第3個數(shù)是52。類似地，可以求出第20行第14個數(shù)是375。

表1-2中的求解，只要我們沿著以上思路的前一思路是不難給出正確的答案，但教師不能就此而止，而應該引導學生思考：是否能發(fā)現(xiàn)每行最后一個數(shù)與行數(shù)間的特殊關(guān)系？教師適時的一句點撥，激發(fā)起學生探索的欲望，對于大多數(shù)初中學生來講還不易發(fā)現(xiàn)的關(guān)系豁然開朗。

表1-3中的數(shù)與行之間的關(guān)系比較隱蔽，學生對于第一個填空可能會選擇按規(guī)律寫下去而得到答案，但對于第二空由于時間的限制及書寫量太大而大多選擇放棄。此時教師提醒學生：觀察表1-3與表1-2對應位置各個數(shù)有怎樣的關(guān)系。可謂一句點醒“夢中人”，學生容易發(fā)現(xiàn)：表1-3中的數(shù)是表1-2中對應位置數(shù)的2倍與1的差。此時變式二中待求兩數(shù)已如“甕中之鱉”。

一題多變與尋求一題多解一樣，也并非變得越多越好。在以“能力立意”的中考二輪復習中，變式問題的設計要能利于引導學生積極探索，最大限度地喚起學生的求知欲。一題多變變在思維水平上，體現(xiàn)漸進性，要利于學生思維的升華，應避免在同一思維水平上變式的反復出現(xiàn)。

中考二輪復習時間緊、任務重、要求高，教師的例題講解對于提升學生分析問題、解決問題的能力起著至關(guān)重要的作用。因此，教師要能夠在問題分析時，抓住要害，牽住問題“關(guān)鍵詞”，以四兩之力，撥動千斤之重。在例題講解時，教師要盡可能地充分利用例題資源，發(fā)揮例題的功用，適時適度地對例題作一題多解或一題多變，不論是選擇多解還是多變，都要力戒在同一層面的多解或多變，而要在思維的方式方法上有所突破。唯有如此，學生才能學有所得、學有所思、學有所益，學生的綜合能力才能有所提高。在講解例題的過程中，一定要給學生留有思考的時間，讓單位課時例題的量“降下去”，讓學生思維的質(zhì)“升起來”。當然，教學例題的選擇也至關(guān)重要，教師自己在備課時務必根據(jù)課時目標、班級實際對集體備課的選題再度進行改編、完善，做題、研題，切忌“拿來主義”。■