復合泊松需求分布下生產(chǎn)企業(yè)的生產(chǎn)

劉恒+董作文

摘 要：通過研究需求到達次數(shù)為復合泊松過程的生產(chǎn)企業(yè)的生產(chǎn)與庫存問題，建立生產(chǎn)企業(yè)的生產(chǎn)——庫存系統(tǒng)模型，研究生產(chǎn)企業(yè)缺貨發(fā)生的概率，建立這種模型是保險精算學里經(jīng)典風險模型在存儲論中的一個應用，以期能夠利用精算數(shù)學的有效結(jié)論對于解決物流存儲的問題開辟一條新的途徑。

關鍵詞：復合泊松過程；缺貨概率；庫存費

中圖分類號：F224 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2015）10-0014-02

引言

風險理論是對風險進行定量分析和預測的一般理論，主要處理保險事務中的隨機風險模型。研究這些風險模型的破產(chǎn)概率即為破產(chǎn)理論，它是保險精算數(shù)學的研究內(nèi)容。它對保險公司的長期經(jīng)營穩(wěn)定性分析有重要意義，也是保險公司最為關心的一個熱門課題。

一、經(jīng)典的風險模型

經(jīng)典的風險模型由Lundberg于1909年創(chuàng)立，他首次利用隨機過程來研究風險模型，他的模型可如下構(gòu)造[1]：

（一）基本假設

1.Ti表示第i-1次與第i次索賠之間的時間間距，i=1，2，∧。Ti獨立同分布，分布函數(shù)G（x）。

2.Xi表示第i次索賠額，Xi獨立同分布，分布函數(shù)為F（x）；對任意的i與j，Xi與Tj獨立。

3.保費收入是線性增長的，記線性增長因子為c。

（二）經(jīng)典的盈余過程的構(gòu)造

由假設1～3，令N（t）表示t時已發(fā)生的索賠的總次數(shù)。

S（t）=X1+X2+∧+X

N（t）表示t時已發(fā)生的索賠總額。

記u為公司的初始準備金或初始盈余，令X （t）=ct-S（t），U（t）=u+ct-S（t）為t時刻的盈余；記破產(chǎn)時刻T=inf{t：U（t）<0}，則Ψ（u）=P{T<∞}為在初始盈余為u的情況下，公司的最終破產(chǎn)概率，Ψ（u，t）=P{T

二、復合泊松需求分布下生產(chǎn)企業(yè)的生產(chǎn)——庫存系統(tǒng)模型[2]

（一）模型的構(gòu)造

1.假設生產(chǎn)企業(yè)初始存貨量為Q，單位時間的貨物生產(chǎn)量為c。

2.假設生產(chǎn)企業(yè)面對的貨物需求次數(shù)符合復合泊松過程，假設（0，t]內(nèi)的需求到達次數(shù)為N（t），則N（t）符合泊松過程。

3.假設生產(chǎn)企業(yè)面對的每次貨物需求量為Ri，i=1，2，∧，Ri，i=1，2，∧獨立同分布，分布函數(shù)為F（x），假設E（Ri）=R，i=1，2，∧。

在以上假設下，生產(chǎn)企業(yè)在t時刻的貨物存儲量U（t）=Q+ct-Ri。下面，我們就要討論該模型的缺貨發(fā)生的概率了。記缺貨發(fā)生的時刻T=inf{t：U（t）<0}，則Ψ（Q）=P{T<∞}為在初始存貨為Q的情況下，企業(yè)的最終缺貨概率。

（二）缺貨發(fā)生概率

定義1：我們稱關于a的方程1+（1+θ）Ra=eaxdF（x）的正數(shù)解A1為Ri的次調(diào)節(jié)系數(shù)，其中θ=-1。

定義2：取A=max{r∶r=A1}，稱A為Ri的調(diào)節(jié)系數(shù)。

定理1：設企業(yè)初始存儲量為Q，貨物需求量Ri的分布函數(shù)為F（x），則：

Ψ（Q）≤e-AQ。

定理2：設企業(yè)初始存儲量為Q，則缺貨發(fā)生的概率滿足：

Ψ（Q）=。

定理3：如果企業(yè)初始存儲量等于0，那么對所有的y>0，我們有：

P[U（T）∈（-y-dy，-y），T<∞=[1-P（y）]dy。

證明：在復合泊松過程下，在時間區(qū)間（t，t+d1）有一個需求發(fā)生的概率等于λdt，該概率獨立于t以及過程直至該時刻的歷史。所以在0和dt之間要么沒有需求發(fā)生（概率為1-λdt），且存貨從Q增加到Q+cdt，要么有一個大小為X的需求量發(fā)生。后一種情況包含兩種可能：如果該需求量小于Q，那么過程將以資本金Q+cdt-X繼續(xù)下去；否則缺貨就會發(fā)生，不過只有當X>Q+y時破產(chǎn)的嚴重程度會大于y。

定義：

G（Q，y）=P[U（T）∈（-∞，-y），T<∞|U（0）=Q]，

我們有：

G（Q，y）=（1-cdt）G（Q+cdt，y）+cdt{G（Q-x，y）d

Fx（x）+d

Fx（x）}

（1）

記G'為函數(shù)G關于u的偏導數(shù)，那么：

G（Q+cdt，y）=G（Q，y）+cdtG'（Q，y） （2）

把（2）式代入（1）式，從兩邊消掉G（Q，y），并除以cdt，我們得到：

G'（Q，y）={G（Q，y）-G（Q-x，y）dFx（x）- dFx（x）} （3）

再按Q∈[0，z]對（3）式積分可得：

G（z，y）-G（0，y）={G（Q，y）dQ-G（Q-x，y）dF

x（x） dQ

- dFx（x）dQ} （4）

求解（4）式得到：

G（z，y）-G（0，y）={G（Q，y）[1-F（z-Q）dQ-[1-F（Q）]dQ

取z→∞，由上式得：

G（0，y）={[1-Fx（Q）]dQ } （5）

得證。

（三）概率的進一步討論[3]

在破產(chǎn)理論中，我們定義最大累積貨物需求量，即到時刻為止的貨物需求總額和貨物產(chǎn)量的差的最大值：

L=max{S（t）-ct，t≥0}。

S（t）為到t時的貨物需求總額，c為貨物生產(chǎn)速度。因為S（0）=0，所以L≥0。

事件L>Q發(fā)生當且僅當存在一個有限時間t，使得U（t）<0；換一句話說，不等式L>Q和T<∞是等價的，從而：

Ψ（Q）=1-FL（Q），

接下來，我們考慮了貨物存儲創(chuàng)新下記錄的時刻，下記錄只能發(fā)生在提貨時刻。我們用隨機變量Lj，j=1，2，∧來表示第j個下記錄比第j-1個下記錄小的額度。設M是新紀錄的隨機個數(shù)，我們有：

L=L1+L2+∧+LM。

由于泊松過程是無記憶的，所以每一個指定的下記錄是最后一個下記錄的概率是相同的，為1-Ψ（0），也就是說，隨機變量M復合幾何分布，參數(shù)為p=1-Ψ（0）。

定理4：Ψ（0）=[1-F（y）]dy =R=。

定理5：假設在生產(chǎn)過程中至少存在一個下記錄L1，那么L1的概率密度函數(shù)fL1（y）可以表示為：

fL1（y）=，y>0。

總結(jié)

本文研究需求到達次數(shù)為復合泊松過程的生產(chǎn)企業(yè)的生產(chǎn)與庫存問題，建立生產(chǎn)企業(yè)的生產(chǎn)——庫存系統(tǒng)模型，研究生產(chǎn)企業(yè)缺貨發(fā)生的概率。本文建立的這種模型是保險精算學里經(jīng)典風險模型在存儲論中的一個應用，希望能夠利用精算數(shù)學的有效結(jié)論對于解決物流存儲的問題開辟一條新的途徑。

參考文獻：

[1] 徐保華，李小愛，鄒捷中.時間贏余過程的構(gòu)造及其破產(chǎn)理論[J].數(shù)學理論與應用，2003，（1）：89-90.

[2] 方秋蓮.幾類需求帶跳隨機庫存模型及其應用研究[D].武漢：中南大學，2010.

[3] [荷]R.卡爾斯，M.胡法茲，J.達吶，M.狄尼特.現(xiàn)代精算風險理論[M].唐啟鶴，胡太忠，成世學，譯.北京：科學出版社，2001：70-71.

[責任編輯 吳高君]