復合泊松需求分布下生產企業的生產

劉恒+董作文

摘 要：通過研究需求到達次數為復合泊松過程的生產企業的生產與庫存問題，建立生產企業的生產——庫存系統模型，研究生產企業缺貨發生的概率，建立這種模型是保險精算學里經典風險模型在存儲論中的一個應用，以期能夠利用精算數學的有效結論對于解決物流存儲的問題開辟一條新的途徑。

關鍵詞：復合泊松過程；缺貨概率；庫存費

中圖分類號：F224 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2015）10-0014-02

引言

風險理論是對風險進行定量分析和預測的一般理論，主要處理保險事務中的隨機風險模型。研究這些風險模型的破產概率即為破產理論，它是保險精算數學的研究內容。它對保險公司的長期經營穩定性分析有重要意義，也是保險公司最為關心的一個熱門課題。

一、經典的風險模型

經典的風險模型由Lundberg于1909年創立，他首次利用隨機過程來研究風險模型，他的模型可如下構造[1]：

（一）基本假設

1.Ti表示第i-1次與第i次索賠之間的時間間距，i=1，2，∧。Ti獨立同分布，分布函數G（x）。

2.Xi表示第i次索賠額，Xi獨立同分布，分布函數為F（x）；對任意的i與j，Xi與Tj獨立。

3.保費收入是線性增長的，記線性增長因子為c。

（二）經典的盈余過程的構造

由假設1～3，令N（t）表示t時已發生的索賠的總次數。

S（t）=X1+X2+∧+X

N（t）表示t時已發生的索賠總額。

記u為公司的初始準備金或初始盈余，令X （t）=ct-S（t），U（t）=u+ct-S（t）為t時刻的盈余；記破產時刻T=inf{t：U（t）<0}，則Ψ（u）=P{T<∞}為在初始盈余為u的情況下，公司的最終破產概率，Ψ（u，t）=P{T

二、復合泊松需求分布下生產企業的生產——庫存系統模型[2]

（一）模型的構造

1.假設生產企業初始存貨量為Q，單位時間的貨物生產量為c。

2.假設生產企業面對的貨物需求次數符合復合泊松過程，假設（0，t]內的需求到達次數為N（t），則N（t）符合泊松過程。

3.假設生產企業面對的每次貨物需求量為Ri，i=1，2，∧，Ri，i=1，2，∧獨立同分布，分布函數為F（x），假設E（Ri）=R，i=1，2，∧。

在以上假設下，生產企業在t時刻的貨物存儲量U（t）=Q+ct-Ri。下面，我們就要討論該模型的缺貨發生的概率了。記缺貨發生的時刻T=inf{t：U（t）<0}，則Ψ（Q）=P{T<∞}為在初始存貨為Q的情況下，企業的最終缺貨概率。

（二）缺貨發生概率

定義1：我們稱關于a的方程1+（1+θ）Ra=eaxdF（x）的正數解A1為Ri的次調節系數，其中θ=-1。

定義2：取A=max{r∶r=A1}，稱A為Ri的調節系數。

定理1：設企業初始存儲量為Q，貨物需求量Ri的分布函數為F（x），則：

Ψ（Q）≤e-AQ。

定理2：設企業初始存儲量為Q，則缺貨發生的概率滿足：

Ψ（Q）=。

定理3：如果企業初始存儲量等于0，那么對所有的y>0，我們有：

P[U（T）∈（-y-dy，-y），T<∞=[1-P（y）]dy。

證明：在復合泊松過程下，在時間區間（t，t+d1）有一個需求發生的概率等于λdt，該概率獨立于t以及過程直至該時刻的歷史。所以在0和dt之間要么沒有需求發生（概率為1-λdt），且存貨從Q增加到Q+cdt，要么有一個大小為X的需求量發生。后一種情況包含兩種可能：如果該需求量小于Q，那么過程將以資本金Q+cdt-X繼續下去；否則缺貨就會發生，不過只有當X>Q+y時破產的嚴重程度會大于y。

定義：

G（Q，y）=P[U（T）∈（-∞，-y），T<∞|U（0）=Q]，

我們有：

G（Q，y）=（1-cdt）G（Q+cdt，y）+cdt{G（Q-x，y）d

Fx（x）+d

Fx（x）}

（1）

記G'為函數G關于u的偏導數，那么：

G（Q+cdt，y）=G（Q，y）+cdtG'（Q，y） （2）

把（2）式代入（1）式，從兩邊消掉G（Q，y），并除以cdt，我們得到：

G'（Q，y）={G（Q，y）-G（Q-x，y）dFx（x）- dFx（x）} （3）

再按Q∈[0，z]對（3）式積分可得：

G（z，y）-G（0，y）={G（Q，y）dQ-G（Q-x，y）dF

x（x） dQ

- dFx（x）dQ} （4）

求解（4）式得到：

G（z，y）-G（0，y）={G（Q，y）[1-F（z-Q）dQ-[1-F（Q）]dQ

取z→∞，由上式得：

G（0，y）={[1-Fx（Q）]dQ } （5）

得證。

（三）概率的進一步討論[3]

在破產理論中，我們定義最大累積貨物需求量，即到時刻為止的貨物需求總額和貨物產量的差的最大值：

L=max{S（t）-ct，t≥0}。

S（t）為到t時的貨物需求總額，c為貨物生產速度。因為S（0）=0，所以L≥0。

事件L>Q發生當且僅當存在一個有限時間t，使得U（t）<0；換一句話說，不等式L>Q和T<∞是等價的，從而：

Ψ（Q）=1-FL（Q），

接下來，我們考慮了貨物存儲創新下記錄的時刻，下記錄只能發生在提貨時刻。我們用隨機變量Lj，j=1，2，∧來表示第j個下記錄比第j-1個下記錄小的額度。設M是新紀錄的隨機個數，我們有：

L=L1+L2+∧+LM。

由于泊松過程是無記憶的，所以每一個指定的下記錄是最后一個下記錄的概率是相同的，為1-Ψ（0），也就是說，隨機變量M復合幾何分布，參數為p=1-Ψ（0）。

定理4：Ψ（0）=[1-F（y）]dy =R=。

定理5：假設在生產過程中至少存在一個下記錄L1，那么L1的概率密度函數fL1（y）可以表示為：

fL1（y）=，y>0。

總結

本文研究需求到達次數為復合泊松過程的生產企業的生產與庫存問題，建立生產企業的生產——庫存系統模型，研究生產企業缺貨發生的概率。本文建立的這種模型是保險精算學里經典風險模型在存儲論中的一個應用，希望能夠利用精算數學的有效結論對于解決物流存儲的問題開辟一條新的途徑。

參考文獻：

[1] 徐保華，李小愛，鄒捷中.時間贏余過程的構造及其破產理論[J].數學理論與應用，2003，（1）：89-90.

[2] 方秋蓮.幾類需求帶跳隨機庫存模型及其應用研究[D].武漢：中南大學，2010.

[3] [荷]R.卡爾斯，M.胡法茲，J.達吶，M.狄尼特.現代精算風險理論[M].唐啟鶴，胡太忠，成世學，譯.北京：科學出版社，2001：70-71.

[責任編輯 吳高君]