人字齒輪減振修形優化設計

蔣進科，方宗德，賈海濤

(1.西北工業大學機電學院，西安 710072;2.中國船舶重工集團公司第703研究所，哈爾濱 150036)

人字齒輪減振修形優化設計

蔣進科1，方宗德1，賈海濤2

(1.西北工業大學機電學院，西安 710072;2.中國船舶重工集團公司第703研究所，哈爾濱 150036)

通過理論齒面與修形曲面疊加設計人字齒輪修形齒面，結合TCA(Tooth Contact Analysis)、LTCA(Loaded Tooth Contact Analysis)技術，綜合考慮輪齒剛度、軸向竄動及嚙合沖擊激勵，建立人字齒輪嚙合型彎－扭－軸－擺10自由度動力學模型。以LTE(Loaded Transmission Error)幅值、軸向力及振動加速度最小為目標，通過優化確定最佳修形齒面。研究表明，軸向竄動與修形可共同改善齒面載荷分布;轉速增加嚙合沖擊激勵較剛度激勵、軸向竄動激勵振動更明顯，剛度激勵與沖擊激勵為引起嚙合線方向振動的主要原因，而軸向位移激勵對嚙合線方向振動無影響;軸向位移激勵為引起軸向、扭擺方向振動的主要原因;修形可降低嚙合沖擊、軸向竄動量、輪齒剛度及剛度波動，能有效降低系統振動。

人字齒輪;修形;振動;優化;軸向位移

人字齒輪具有承載能力高、工作平穩性好等優點廣泛用于航空航海動力傳動裝置。因此對傳動系統的動力穩定性、振動噪聲控制要求更高。由于制造、安裝誤差及軸扭轉變形影響，兩對斜齒輪傳動時左右不完全對稱，造成兩端傳遞的扭矩不相等，易引起齒面偏載。故人字齒輪傳動中小輪一般采用軸向浮動安裝，通過軸向位置自動微調實現兩端扭矩相等。而已有對人字齒輪的研究卻忽略其影響，認為左右兩端斜齒輪副產生的軸向推力可相互抵消，研究中將其作為直齒輪考慮，軸向振動被忽略。文獻［1－3］建立考慮嚙合剛度激勵、嚙合沖擊激勵及軸向位移激勵的人字齒輪系統12自由度嚙合型彎－扭－軸耦合振動模型，將人字齒輪左、右齒面分別考慮，忽略左右齒面間聯系，求解的左、右齒面動力學特性基本一致(可簡化為6個自由度)。實際上當存在安裝誤差或扭轉變形時，浮動小輪將通過軸向竄動使左右兩端齒面承擔相同扭矩，左右齒面綜合變形相同，動力學特性基本一致，因此人字齒輪動力學模型可簡化為有軸向位移激勵的斜齒輪動力學模型，且軸向竄動會引起扭擺振動。

本文考慮人字齒輪小輪浮動特性，大輪為理論齒面，設計小輪修形齒面，結合文獻［4－5］，用集中參數法建立考慮剛度激勵、嚙合沖擊激勵及軸向位移激勵的人字齒輪嚙合型彎－扭－軸－擺10自由度動力學模型，以軸向載荷、承載傳動誤差幅值、嚙合線向相對扭轉加速度均方根最小進行多目標優化，設計最佳修形齒面，討論激勵及輪齒修形對人字齒輪動態特性影響。

1 修形齒面設計

高精度寬圓柱齒輪，通常進行齒端修薄，因此齒廓、齒向采用2段拋物線與1段直線表示修形曲線。改變參數可表示為齒端修薄與齒向修鼓曲線，人字齒輪軸向微調保證左右齒面承擔相等扭矩，左右齒面對稱修形，但為降低軸向位移，左右齒面齒向修形參數可取不同共10個參數，見圖1。其中y1～y10為修形參數，即旋轉投影面數據。

圖1 齒廓、齒向修形曲線Fig.1 Curves of profile and longitudinal modification

通過理論齒面與法向修形曲面疊加構造修形齒面，其法向矢量及位移矢量可表示為

式中:R1，n1分別為小輪理論齒面位移矢量及法向矢量;R1r，n1r分別為小輪修形齒面位移矢量及法向矢量; δ(x，y)為齒面法向修形量，是旋轉投影面上參數，可通過三坐標測量得到;u1，l1分別為理論齒面參數。

2 優化模型

本文修形優化考慮安裝誤差及扭轉變形影響，在TCA［6］、LTCA基礎上以承載傳動誤差(Loaded Transmission Error，LTE)幅值即剛度波動幅值、嚙合線相對扭轉振動及軸向位移激勵引起的扭擺振動、軸向振動為優化目標，即:

(1)將Z轉化為嚙合線上位移，用轉角表示即承載傳動誤差LTE為

式中:rb2，β分別為被動大輪基圓半徑及螺旋角。

(2)由于軸向竄動不對嚙合線向扭轉振動產生影響，竄動位移迭代求解過程較繁瑣，優化時動力學模型無需考慮軸向竄動，通過優化一個嚙合周期的最大軸向力最小，則軸向、扭擺振動必會減小;左、右嚙合齒對產生的軸向推力為

式中:cosαjk為法向載荷與軸向夾角，可由TCA計算獲得;pjk為瞬時接觸橢圓長軸上離散點載荷，由LTCA計算獲得。

(3)采用集中質量法建立考慮時變剛度、軸向位移、嚙入沖擊激勵的人字齒輪系統彎－扭－軸－擺10自由度動力學模型，見圖2，其廣義位移可表示為{xp，yp，zp，θpy，θpz，xg，yg，zg，θgy，θgz}，動力學方程［7］為

式中:xi，yi，zi(i=p，g)為主、被動齒輪中心點在橫向、切向、軸向的平移振動位移;θiy(i=p，g)為主、被動齒輪中心點通過該中心并平行于y軸軸線的扭擺振動位移;θiz(i=p，g)為主、被動齒輪繞z軸軸線的扭轉振動位移;Fni，Fsi(i=x，y，z)為法向嚙合力Fn、嚙入沖擊力Fs在x，y，z向分量;zs為軸向位移激勵;mi，Ii，Ri，Ti(i=p，g)為主、被動質量、轉動慣量、基圓半徑及扭矩; cij，kij(i=p，g，i=x，y，z)為主被動輪各方向支撐阻尼及剛度;ckpz，kkpz為軸向嚙合阻尼及剛度。

輪齒剛度通過LTCA求解，輪齒嚙合沖擊(嚙入沖擊)通過人字齒輪TCA計算正常嚙入點位置及相關參數。據LTCA分析求解嚙入沖擊點法向輪齒變形，嚙合沖擊力求解過程見文獻［8］，不再贅述。將所求一個嚙合周期的沖擊力及嚙合剛度通過傅里葉級數擬合代入動力方程;通過量綱統一化，利用變步長四階Runge－Kutta數值積分法對其求解。沿嚙合線相對扭轉振動加速度均方根為

圖2 人字齒輪副振動模型Fig.2 Vibration model of double helical gears

由上，目標函數可表示為

式中:yi為優化變量(圖1);Qmin，Qmax為修形量范圍; lmin，lmax為修形長度范圍［9］;G10，G20，G30為未修形的承載傳動誤差幅值、軸向力、嚙合線向相對扭轉加速度均方根;w1，w2，w3為各目標權系數，本文取其相等值。

優化過程即通過改變齒面接觸狀況求解TCA、LTCA及動力學方程的非線性迭代過程［10］。因動力學求解耗時，故需尋找高效優化方法。而粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)具有全局收斂性，可求解具有多個局部極值的非線性優化問題;但該算法的后期種群多樣性消失易出現早熟停滯，從而陷入局部最優。為此本文對二階震蕩粒子群法［11］進行改進:①用最大速度線性遞減法平衡全局尋優能力與算法收斂精度矛盾;②用指數自適應慣性權重平衡算法的全局、局部搜索能力;③迭代初期利用較大加速因子c1及較小c2，使粒子可自由在搜索空間尋優，增加群內粒子的多樣性，隨迭代次數增加線性遞減c1，線性遞增c2，加強粒子收斂到全局最優解能力;④學習因子二階振蕩使種群在粒子數目不變情況下維持多樣性，提高全局搜索能力。具體算法不做介紹，優化流程見圖3。

3 算例與分析

圖3 修形優化流程Fig.3 Optimization flow chart of modified gear

以表1標準安裝齒輪副為例進行額定載荷、轉速工況優化。動力從小輪左端輸入，安裝誤差取±15″，優化的修形曲線參數見表2，由于動力從左端輸入，左端齒面較右端齒面齒向有較大修形;圖4為性能修形優化結果。

(1)齒面載荷、軸向竄動分析。①軸向固定安裝，動力從小輪左端輸入且負安裝誤差時，載荷偏向左端(圖4(b))，加之扭轉變載荷也偏向左端，因此載荷較正安裝誤差(圖4(a))偏載更嚴重，齒向拋物線修形后，載荷雖有改善，但仍存在偏載;②小輪浮動安裝，有軸向竄動后兩端齒面載荷基本均勻(圖4(c));③齒向修形已改善兩端載荷，軸向力減小，齒向竄動位移降低，隨載荷增加軸向竄動位移漸增(圖4(d));④無修形齒輪在軸向竄動后兩端齒面重合度基本不變，因此隨載荷增加剛度增加，承載變形(剛度波動)增加，修形后輪齒重合度發生變化，重合度亦增加，傳動誤差降低，載荷增大到一定程度重合度基本不變，幅值(剛度波動)逐漸增大(圖4(e)、(f))。

圖4 考慮安裝誤差、扭轉變形的人字齒輪多目標優化結果Fig.4 Multiple optimal results of modified double helical gears with toraional deformation and installing error

表1 人字齒輪副參數Tab.1 Parameters ofdouble helical gears

表2 優化修形曲線參數Tab.2 Optimal parameters of deviation curves

(2)嚙入沖擊分析。①因嚙入端接觸線上載荷及輪齒嚙合剛度降低，修形后嚙合沖擊降低(圖4 (g));②隨轉速增加沖擊動能增大，沖擊力增大(圖4 (h));③因嚙合基節誤差隨外載荷增加而增大，無修形時嚙合剛度增大已削弱嚙合齒對對沖擊能量的緩沖能力，線外嚙合沖擊力大幅度增加，修形使嚙入點載荷、剛度及幅值降低，因此可增強齒對對沖擊能量的緩沖能力，沖擊力下降(圖4(i));

(3)多轉速系統振動分析。①僅考慮剛度激勵，未修形時7 000 r/min為系統主共振，在1/3、1/2倍頻處扭轉、切向振動出現次共振(圖4(k));修形后因嚙合剛度降低，故主共振轉速略有下降(6 500 r/min)，在1/3、1/2倍頻附近各方向振動明顯降低(圖4(j));②僅有嚙合沖擊激勵時，隨轉速增加嚙合沖擊逐漸增強，無修形時嚙合沖擊激勵遠大于剛度激勵引起的振動(圖4(l)、(m))，修形后嚙合沖擊降低振動降低;③剛度－軸向竄動綜合激勵時扭擺、軸向振動增加，其它方向振動不變，修形后在1/3、1/2倍頻處振動明顯降低(圖4(n)、(o));

(4)多載荷下系統振動分析。①僅考慮剛度激勵、修形后載荷＜2 000 Nm時系統重合度較低，載荷增大使重合度增加，剛度波動降低，振動逐漸減小。載荷＞2 000 Nm時則相反(圖4(p));②僅有嚙合沖擊激勵時修形后嚙合沖擊降低，振動明顯降低(圖4(r));③剛度－軸向竄動綜合激勵時軸向竄動引起扭擺、軸向振動增加，其它方向振動不變。修形后軸向竄動量降低，振動亦降低(圖4(q))。

4 結論

本文據人字齒輪小輪浮動安裝特點設計修形齒面，將人字齒輪動力學模型簡化為有軸向位移激勵的斜齒輪動力學模型，結合TCA、LTCA技術用集中參數法建立考慮剛度激勵、嚙合沖擊激勵及軸向位移激勵的人字齒輪嚙合型彎－扭－軸－擺10自由度動力學模型，以軸向載荷、承載傳動誤差、嚙合線向相對扭轉加速度均方根最小進行多目標優化，結論如下:

(1)人字齒輪軸向竄動與修形可共同改善齒面載荷分布;對左、右齒面齒向進行不同修形，可降低軸向竄動。

(2)剛度、沖擊激勵為引起嚙合線方向振動主因，軸向位移激勵對嚙合線方向振動幾乎無影響;軸向位移激勵為引起軸向、扭擺方向振動主因，修形可降低嚙合沖擊、軸向竄動量、輪齒剛度及剛度波動，使振動降低。

(3)轉速增加嚙合沖擊激勵較剛度激勵影響更明顯;多載荷承載傳動誤差(承載變形)幅值能反映振動隨載荷的變化趨勢;安裝誤差較大且輪齒較寬時載荷增加軸向竄動增大，故軸向、扭擺振動引起的破壞不可忽視。

［1］吳新躍，朱石堅.人字齒輪傳動的振動理論分析模型［J］.海軍工程大學學報，2011，13(5):13－19.

WU Xin－yue，ZHU Shi－jian.Theoretical vibration pattern of herringbone gearing［J］.Journal of Naval University of Engineering，2011，13(5):13－19.

［2］王成，方宗德，張墨林，等.人字齒輪傳動的動態特性分析［J］.哈爾濱工業大學學報，2011，43(7):122－126.

WANG Cheng，FANGZong－de，ZHANGMo－lin，etal. Analysis of dynamics behavior for double helical gears transmissions［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2011，43(7):122－126.

［3］王峰，方宗德，李聲晉.多載荷工況下人字齒輪傳動系統振動特性分析［J］.振動與沖擊，2013，32(1):50－52.

WANGFeng，FANGZong－de，LISheng－jin.Dynamic characteristic of double helical gear under muti－load［J］. Journal of Vibration and Shock，2013，32(1):50－52.

［4］Litvin F L，Qi F.Computerized generation and simulation of meshing of modified spur and helical gears manufactured by shaving［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2001，190:5037－5055.

［5］王成，方宗德，谷建功，等.人字齒輪承載接觸分析與試驗研究［J］.航空動力學報，2010，25(3):718－722.

WANG Cheng，FANG Zong－de，GU Jian－gong，et al.Loaded tooth contact analysis of double helical gears and experimental investigation［J］.JournalofAerospacePower，2010，25(3):718－722.

［6］蔣進科，方宗德，卞翔.人字齒輪齒向修形優化設計［J］.哈爾濱工業大學學報，2013，45(11):86－92.

JIANG Jin－ke，FANG Zong－de，BIAN Xiang.Optimal design of longitudinal correction of double helical gear［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2013，45(11):86－92.

［7］李潤方，王建軍.齒輪系統動力學［M］.北京:科學出版社，1997.

［8］武寶林，楊素君，姚俊紅.齒輪傳動中嚙合沖擊的理論分析［J］.機械科學與技術，2003，22(1):55－57.

WU Bao－lin，YANG Su－jun，YAO Jun－hong.Theoretical analysis on meshing impact of involute gears［J］.Mechanical and Technology，2003，22(1):55－57.

［9］詹東安，王樹人，唐樹為.高速齒輪齒部修形技術研究［J］.機械設計，2000，8(8):8－10.

ZHAN Dong－an，WANG Shu－ren，TANG Shu－wei.A study on tooth dressing technique of high speed gears［J］.Journal of Machine Design，2000，8(8):8－10.

［10］蔣進科，方宗德，蘇進展.基于承載傳動誤差幅值最小的斜齒輪修形優化設計［J］.航空動力學報，2013，28(7): 1638－1442.

JIANG Jin－ke，FANG Zong－de，SU Jin－zhan.Optimal design of modified helical gear tooth surfaces based on the minimum amplitude of loaded transmission error［J］.Journal of Aerospace Power，2013，28(7):1638－1442.

［11］龔純，王正林.精通Matlab最優化計算［M］.北京:電子工業出版社，2009:296－299.

Optimal design of minimum vibration for modified double helical gear

JIANG Jin－ke1，FANG Zong－de1，JIA Hai－tao2
(1.Northwestern Polytechnical University，Xi＇an 710072，China; 2.No.703 Research Institute of China Shipbuilding Industry Corporation，Harbin 150036，China)

A method based on the minimization of LTE amplitude，axis force and vibration were proposed to reduce the vibration of double helical gears.The modified tooth surfaces were represented by the sum of two vector functions，describing respectively the theoretical tooth surface and the deviation surface.A 10－DOF vibration model was established considering the excitations of time－varying meshing stiffness，corner meshing impact and axial motion based on TCA and LTCA.An improved algorithm was applied to optimize the parameters of modified pinion for getting the best performance. The results show that the loads will tend to be uniform when taking the measures of gear modification and axial motion. Besides，torsional vibration mainly results from corner meshing impact and meshing stiffness excitation which have little effect on axial vibration.The axial motions excitation contribute to both axial and swing vibrations.In brief，the vibration decreases greatly because of smaller excitations by modified double helical gears.

double helical gear;modification;vibration;optimal design;axial displacement

TH132

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.02.002

國家自然科學基金資助項目(51175423)和(51375384)

2013－10－21修改稿收到日期:2014－01－15

蔣進科男，博士生，1981年生

方宗德男，教授，博士生導師