基于中心流形理論的小水電并網系統Hopf分岔分析

張中華，付景超，李鵬松

(東北電力大學理學院，吉林 132012)

基于中心流形理論的小水電并網系統Hopf分岔分析

張中華，付景超，李鵬松

(東北電力大學理學院，吉林 132012)

針對小水電并網系統，用Matcont軟件搜尋系統的Hopf分岔點繪制分岔圖;利用中心流形理論將高維電力系統降到二維模型，并通過計算二維模型分岔穩定性指標的正負判定原系統Hopf分岔類型。結果表明，分岔穩定性指標大于零時電壓失穩，小于零時電壓穩定。用Matlab軟件對討論結果進行數值仿真，證明理論結果的正確性。

電力系統;Hopf分岔;中心流形理論;電壓穩定性

電力系統的電壓失穩因致電壓崩潰造成巨大損失而被廣泛關注及研究。電壓失穩為系統結構穩定性問題，系統結構失穩時存在局部或全局分岔現象為電壓失穩的主要原因之一。各種分岔中Hopf分岔［1］為最基本、最具代表性的分岔形式。已有研究表明，Hopf分岔可能先于鞍結分岔出現而導致電壓失穩或崩潰［2］。因此，研究電力系統Hopf分岔具有重大意義。

文獻［3］研究小電源為汽輪發電機時對負荷斷面電壓穩定影響，利用模態分析法討論機組勵磁及調速系統增益環節對電壓穩定指標影響，但對分岔行為未詳細討論。文獻［4］用Matlab數值分岔分析軟件對一經典單機－動態負荷系統進行分岔分析，驗證PQ動態負荷模型系統存在鞍結分岔現象，但未研究Hopf分岔現象。文獻［5］研究小水電并網系統的電壓穩定性，并結合圖形討論機械轉矩及勵磁系統增益對電壓穩定性影響，但未進行理論分析。電力系統Hopf分岔研究多采用數值模擬方法［6－9］。本文在文獻［5］基礎上利用中心流形降維理論［10］將高維電力系統降維進行Hopf分岔理論分析，并據所得分岔穩定性指標［11］判定原系統Hopf分岔類型。通過Matlab軟件編程驗證理論結果的正確性，為研究高維電力系統電壓穩定性分析提供新途徑。

1 小水電并網系統

該電力系統為負荷中心含小水電的系統，負荷采用Walve等值電動機模型及恒定功率負荷模型并聯的綜合模型模擬;小水電接入負荷中心母線，接入線路阻抗忽略不計，見圖1。式中:δ為發電機轉子角(rad);ω為轉子角速度(rad/ s);E'q為發電機暫態電勢;Efq為發電機勵磁電勢;V，θ為負荷母線電壓幅值及相角;P1為負荷中心恒功率負荷有功功率;Id為發電機定子電流直軸分量;P，Q分別為負荷有功、無功需求;Me為發電機電磁轉矩。各因數表達式為

圖1 小水電并網系統簡化模型Fig.1 Simplified model of the grid－connected small hydropower system

2 系統Hopf分岔點尋找及分岔圖

選可變參數P1為分岔參數，式(1)取上述參數值時，利用Matcont軟件可搜尋到系統的四Hopf分岔點。分岔點位置見圖2、圖3。

圖2 平衡點分岔位置圖Fig.2 Bifurcation position diagram near equilibrium

圖3 平衡點分岔位置圖Fig.3 Bifurcation position diagram near equilibrium

圖4 式(1)H1處分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram calculated by Eq.(1)for H1

圖5 式(1)H2處分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram calculated by Eq.(1)for H2

圖6 式(1)H3處分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram calculated by Eq.(1)for H3

圖7 式(1)H4處分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram calculated by Eq.(1)for H4

四個Hopf分岔點分別為

式(1)在H1，H2，H3，H4處分岔圖分別見圖4～圖7。由圖中看出，式(1)在H1、H2處的Hopf分岔方向均發生于臨界點右側，在H3、H4處的Hopf分岔方向均發生于臨界點左側。

3 系統Hopf分岔點類型判定

研究式(1)P1=－3.742 371時的Hopf分岔類型。在分岔點H1處計算導算子的6個特征值為

(λ1，λ2，λ3，λ4，λ5，λ6)=(－4.850 86，－0.079 26+

式中:y=［y1，y2，y3，y4，y5，y6］T，T為分岔點H1處導算子特征值對應的特征向量實部、虛部組成的變換矩陣。變換后得

式中:β2為判斷非線性系統在Hopf分岔點處分岔類型的特征量，稱分岔穩定性指標。

β2＞0時分岔類型為超臨界Hopf分岔，系統在平衡點處發生等幅振蕩，出現穩定極限環;β2＜0時分岔類型為亞臨界Hopf分岔，系統在平衡點處發生增幅振蕩，出現不穩定極限環。據規范形理論［11］知，g20，g11，g02，g21分別為規范形系統中非線性項在零平衡點處對變量求偏導后的值。對式(5)，在零平衡點條件下計算結果為

由Hopf分岔理論［1］知，式(5)在平衡點(0，0)處發生的為亞臨界Hopf分岔，見圖8，仿真初值為(y4，y5) =(10－5，10－5)。因此，式(1)在平衡點H1處發生的為亞臨界Hopf分岔，見圖9，仿真初值為(δ，ω，E'q，Efd，V，θ)=(2.631 167，1，0.002 401，1.673 169，0.991 794，0.355 225)。由圖9看出，電壓u隨時間t的增加作增幅振蕩，且越來越強烈。即系統在Hopf分岔點H1處發生亞臨界Hopf分岔致結構不穩定，體現為電壓失穩。

圖10 H2鄰域內電壓幅值V的仿真曲線Fig.10 Simulation curve of voltage V neighborhood of H2

圖11 H3鄰域內電壓幅值V的仿真曲線Fig.11 Simulation curve of voltage V neighborhood of H3

圖12 H4鄰域內電壓幅值V的仿真曲線Fig.12 Simulation curve of voltage V neighborhood of H4

圖8 (0，0)鄰域內y4仿真曲線及y4－y5平面軌跡Fig.8 Simulation curve of y4and phase trajectory in y4－y5plane neighborhood of(0，0)

圖9 H1鄰域內轉角δ及電壓幅值V的仿真曲線Fig.9 Simulation curve of rotor angle δ and voltage V neighborhood of H1

由圖8看出，經中心流形理論降維后的二維系統在原點(0，0)也發生亞臨界Hopf分岔，且隨時間增加系統振幅不斷增大。由圖(7)、圖(8)知，中心流形降維并未改變原系統的Hopf分岔性質，說明在研究高維非線性動力系統的分岔性質時可通過中心流形理論將高維系統降到低維系統進行研究，進一步了解高維系統的非線性性質。

用同樣方法可判定式(1)在分岔點H2，H3處的Hopf分岔類型均為亞臨界分岔，在分岔點H4處的Hopf分岔類型為超臨界分岔，見圖10～圖12。在H2的仿真初值為(－1.377 174，1，0.039 78，1.405 589， 0.992 972，－0.481 710)，在H3的仿真初值為(－2.634 906，1，4.885 528，11.274 485，－0.953 628，12.727 280)，在H4的仿真初值為(－1.619 343，1，6.614 190，20.961 744，0.895 191，－1.672 56)。

4 結論

本文以小水電并網系統模型為例，將中心流形理論與極限環曲率系數法相結合，研究該系統的Hopf分岔類型，并借助Matcont及Matlab軟件對理論結果進行數值仿真，驗證所給方法判定Hopf分岔類型的有效性。本文方法可為研究高維電力系統Hopf分岔行為提供新途徑。

［1］張琪昌，王洪禮，竺致文，等.分岔與混沌理論及應用［M］.天津:天津大學出版社，2005.

［2］Jing Zhu－jun，Xu Da－shun，Chang Yu.Bifurcations，chaos，and system collapse in a three node power system［J］. Electrical Power and Energy System，2003，25(6):443－461.

［3］楊浩，牛強，吳英霞.負荷中心含微電網的小干擾電壓穩定性分析［J］.電力系統保護與控制，2010，38(18):38－43.

YANG Hao，NIU Qiang，WU Ying－xia.Analysis of small disturbance voltage stability of the load center with microgrid［J］.Power System Protection and Control，2010，38(18): 38－43.

［4］李升，徐艷，陳建華.基于MATCONT的電力系統電壓穩定分析及控制仿真研究［J］.實驗室研究與技術，2011，30(12):63－67.

LI Sheng，XU Yan，CHEN Jian－hua.Simulation tests of voltage stability bifurcation and control in power system based on Matcont［J］.Research and Exploration in Laboratory，2011，30(12):63－67.

［5］李升，王家華，王海雯，等.小水電并網系統電壓穩定分岔研究［J］.中國農村水利水電，2013(1):152－155.

LI Sheng，WANG Jia－hua，WANG Hai－wen，et al.Research on the voltage stability bifurcation of the Grid－connected small hydropower system［J］.China Rural Water and Hydropower，2013(1):152－155.

［6］JingZhu－jun，YuChang，ChenGuan－rong.Complex dynamics in a permanent－magnet synchronous motor model［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2004，22(4):831－848.

［7］Sarai M A，Claudio R F E，Becerril R.A numerical study of the effect of degenerate Hopf bifurcations on the voltage stability in power systems［J］.Electric Power Systems Research，2013，101(8):102－109.

［8］Nikos G S，Michael E K，Costas D V.Local and global bifurcations in a small power system［J］.Electrical Power and Energy Systems，2011，33(7):1336－1347.

［9］Subramanian D P，Devi R P K，Saravanaselvan R.A new algorithm for analysis of SVC's impact on bifurcations，chaos and voltage collapse in power systems［J］.Electrical Power and Energy Systems，2011，33(5):1194－1202.

［10］張家忠.非線性動力系統的運動穩定性、分岔理論及應用［M］.西安:西安交通大學出版社，2010:75－76.

［11］Hassard B D，Kazarinoff N D，Wan Y H.Theory and Applications of Hopf bifurcation［M］.Cambridge Univ. Press，1981:129－145.

［12］袁惠群，張中華.規范形Qi系統的Hopf分岔分析及控制［J］.控制理論與應用，2013，30(5):656－660.

YUAN Hui－qun，ZHANG Zhong－hua.Bifurcation analysis and control of a Qi system based on normal form［J］.Control Theory and Applications，2013，30(5): 656－660.

Analysis on Hopf bifurcation of the grid-connected small hydropower system based on center manifold theory

ZHANG Zhong－hua，FU Jing－chao，LI Peng－song
(College of Science，Northeast Dianli University，Jilin 132012，China)

The grid－connected small hydropower system was concerned.The Hopf bifurcation point of system was found and bifurcation diagrams were drawn by using Matcont Software.The high－dimensional power system was tranfeered to a two－dimensional system in the light of center manifold theory，and the bifurcation stability coefficient of the twodimensional system was calculated to determine the Hopf bifurcation type of original system.Some conclusions were drawn that the voltage is unstable when the stability coefficientis greater than zero and the voltage is stable when the stability coefficient is less than zero.Matlab Software was applied to verify the discussions.

power system;hopf bifurcation;center manifold theory;voltage stability

O193

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.02.009

吉林省科技發展計劃項目(20130101065JC);吉林省教育廳“十二五”科技研究項目(吉教科合字［2013］第429號)

2013－10－21修改稿收到日期:2014－01－19

張中華女，博士，講師，1979年11月生郵箱:zhangzhonghua1979@163.com