“函數的表示法”：教什么，怎么教

☉安徽省六安中學 陸學政

“函數的表示法”：教什么，怎么教

☉安徽省六安中學 陸學政

一、一節公開課引發的問題

2014年9月下旬，六安市一位G教師在一所薄弱學校（生源基礎普遍較差）開設了一節高中數學公開課，課題是“函數的表示法”（第一課時）.G教師的教學主要依托以下三個例題展開.

例1 （人教A版教材例題）某種筆記本的單價是5元，買x（x∈｛1，2，3，4，5｝）個筆記本需要y元.試用函數的三種表示法表示函數y=f（x）.

例2 （人教A版教材例題）下表是某校高一（1）班三名同學在高一學年度六次數學測試的成績及班級平均分表.

姓名 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次王偉 98 87 91 92 88 95張城 90 76 88 75 86 80趙磊 68 65 73 72 75 82班級平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6

請你對這三位同學在高一學年度的數學學習情況做一個分析.

例3 （自編例題）如圖1，函數y=f（x）的圖像由兩條射線和一段拋物線構成，求

圖1

對于例1，無論是寫解析式、列表格，還是畫函數圖像，都是教師一邊提問一邊板書.當學生回答解析式是y=5x時，教師追問：這里x的范圍是什么？讓學生從題目條件中找出“x∈｛1，2，3，4，5｝”.當教師在坐標系中描完五個點后，緊接著問：這五個點要不要連起來？面對學生七嘴八舌的不同回答，教師很快給出“定論”：若連起來，則意味著x可以取小數，所以不能連.最后，教師讓學生討論三種表示法各自的優點，并列舉了生活中的若干實例.

對于例2，教師讀完題后提問：根據表格分析每位同學的成績變化情況，能否做到？前兩位學生均未作答，第三位學生回答“不太容易，需要看圖像”，教師對此予以肯定，然后展示事先畫好的同一坐標系下的四個圖像（三個人的成績，以及班級平均分），讓學生根據圖像進行分析，從語言表述來看，學生的回答與教材的解答如出一轍.最后，教師總結強調函數圖像的作用以及三種表示法的合理選擇.

對于例3，在明確了“為求函數值，需求函數解析式”之后，教師指出：顯然，圖像由三段組成，在每一段上的表達式不同，這就是分段函數.接著，教師邊講解邊板書利用待定系數法求每一段的解析式的過程.當教師問學生“函數y=f（x）是否有三個解析式？”時，絕大多數的回答是“三個”，教師立即糾正為“不對，應該只有一個”，但沒有作出具體分析，然后板書分段函數的解析式，進而求出函數值.

從課堂氣氛上看，本節課的教學是比較自然、流暢的，學生的學習積極性也較高.可是，只要細致觀察就不難發現，課堂上，不少學生存在著這樣或那樣的認知錯誤或障礙，而G教師并沒有充分地關注并暴露學生的認知沖突，進而有針對性地進行教學，客觀上導致教學重點不夠突出，教學難點未能有效突破.另外，在課后交流時，很多觀摩教師覺得本節課“沒有什么可教的”，無外乎“講幾個例題，做幾道練習”，這種觀點也值得商榷.

作為高中數學的傳統內容，“函數的表示法”在各級各類公開課中卻很少涉及.如何理解“函數的表示法”教學？怎樣才能真正上好這節課？現將筆者的粗淺思考與實踐體會概述如下，與同行交流.

二、“函數的表示法”教什么

既然學生在初中已經學習過函數的三種表示方法，那么進入高中，“函數的表示法”究竟還有什么可教的呢？

第一，可以幫助學生鞏固對函數概念的理解，特別是要從整體上把握函數概念.

無論是用解析法、圖像法還是列表法表示函數，其結果都要受到對應關系與定義域的雙重制約，二者構成一個整體、缺一不可.在初中，學生所接觸的函數很少涉及定義域問題，往往將函數單一地理解成表達式而忽視定義域的限制作用，導致在高中階段解決具體的函數問題時，由此而產生的錯誤屢見不鮮.

學習函數的表示法，既可以幫助學生鞏固對函數概念的理解（例如，判斷一個圖形是不是函數圖像），又可以不斷提升學生整體把握函數概念的意識與能力.

第二，可以幫助學生克服原有的認知局限性，豐富對函數圖像、函數對應關系的認識.

據調查，在不少高一新生的心目中，函數的種類僅僅局限于初中學過的一次函數、二次函數與反比例函數，除此以外再也沒有別的函數.相應地，函數的圖像也僅僅局限于直線、拋物線與雙曲線.這些“根深蒂固”的觀念會極大地束縛學生的思維，對研究函數的性質、研究新的函數以及運用函數解決問題都是極為不利的.

學習函數的表示法，可以幫助學生突破這種認識上的局限性：函數的圖像是豐富多彩的（如散點圖、折線圖等），函數的對應關系是千變萬化的（特別是分段函數的出現），函數與生產、生活實際也有著廣泛而緊密的聯系.應該說，這種認識上的豐富與提升是非常及時而必要的.

第三，可以幫助學生在解決具體問題的過程中領悟數形結合、轉化與化歸等數學思想方法的重要價值.

在函數的各種表示方法中，解析法是從“數”的角度來說的，優點是簡明、精確，缺點是不夠直觀、形象；圖像法則是從“形”的角度來說的，優點是直觀、形象，缺點是不能準確地刻畫變量之間的關系.因此，研究函數，一方面要注意突出函數圖像的地位，通過圖形去把握一個函數的整體情況，另一方面也要注意充分發揮解析法的優勢，以彌補函數圖像的不足.

學習函數的表示法，可以幫助學生意識到“數”與“形”的各自優點與不足，必要時能夠自發地將不同的表示方法進行合理轉換.在解決具體問題的過程中，自然感悟到數形結合、轉化與化歸等數學思想方法的重要價值.

由此可見，“函數的表示法”絕不是“沒有什么可教的”.恰恰相反，本節課應該是學生全面而深刻地領會函數概念的內涵、外延以及數形結合等思想方法的良好契機，也是提升學生思維品質與數學素養的優質平臺.

三、“函數的表示法”怎么教

根據以上分析，筆者認為，“函數的表示法”教學，應著眼于學生在初中階段與高中階段認知上的“落差”，精心設計典型素材，充分暴露學生的思維錯誤或障礙，自然激發學生的思維沖突；立足于讓學生親歷嘗試、對比、說理、辨析、領悟的過程，以完善自己的認知結構、提高自己的數學能力.現將筆者指導F教師在同一學校另一平行班借班上課的主要環節概述如下.

環節1：理解函數表示中定義域的“不可或缺”，從整體上把握函數概念.

本環節，教師先讓學生嘗試獨立解決例4.

例4 設某種飲料的單價是6元/聽，買x（x∈｛1，2，3，4｝）聽這種飲料需要y元，你能用初中學過的方法表示函數y=f（x）嗎？

從實際教學來看，對于解析法，很多學生此時并沒有意識到要在表達式y=6x的后面注明定義域；對于圖像法，也有不少學生很自然地將描出的點連成了線.對此，教師并沒有匆忙給出結論，而是通過延后評價，針對不同做法之間的區別，引導學生進行他評、自評并說明理由，使學生領悟到：定義域與對應關系是一個整體，構成了函數的“左膀右臂”，切不可“厚此薄彼”.

接著給出兩個變式.

變式1：設某種食品的單價是6元/公斤，買x（x∈（1，4］）公斤這種食品需要y元，若用上述三種方法表示函數y= f（x），結果有什么不同嗎？為什么？

變式2：設某種食品的單價是6元/公斤，買x公斤這種食品需要y元，若用上述三種方法表示函數y=f（x），結果有什么不同嗎？為什么？

這里，仍由學生獨立作答，教師組織評價，以進一步強化學生的“定義域意識”.

環節2：感受函數表示中對應關系的“不拘一格”，正確認識分段函數.

本環節，教師首先讓學生嘗試解決例5.

例5 乘坐某市出租車，付費規則如下：

（1）4公里以內（含4公里），費用為6元；

（2）4公里以上，每增加1公里，費用增加1.5元（不足1公里的按1公里計算）.

如果乘坐該市出租車不超過7公里，試寫出費用（y元）與里程（x公里）之間的函數解析式y=f（x），并畫出函數圖像.

分段函數是本節課的難點，對基礎較差的學生來說尤為如此.在巡視交流時，教師發現，絕大多數學生對題意理解不清，出現了不少錯誤（例如，有學生認為x只能取4、5、6、7這四個值）.基于此，教師提出了以下問題串.

問題（1）：x取0.6、3.2、4.7、5.1、6、6.3，有意義嗎？相應的y值是多少？

問題（2）：x在哪個范圍內取值時，y=6？

問題（3）：y還能取到哪些值？相應的x值的范圍是什么？

由于問題（1）～（3）起點低、坡度小、環環相扣，學生得以順利厘清思路，正確地分四類寫出了函數表達式.

此時，教師指出：本題中，為求函數y=f（x）的解析式，需要將x的取值范圍分割成若干“段”，“段”不同，對應關系不同，我們把這樣的函數稱為分段函數.好比一個國家，在其不同的地區可能施行不同的社會制度，但它們還是屬于同一個國家，而不是多個國家，也就是“一國多制不分家”.所以分段函數是一個函數，而不是多個函數.注意到每一段表達式中都有“y=”，因此這個分段函數可統一寫成如下的形式：

當教師讓學生回答函數y=f（x）的定義域與值域時，有學生說“有四個定義域”，對此，教師漸次作了如下的引導：讓我們回歸定義.（1）什么叫函數的定義域？（自變量的取值范圍）（2）取值范圍，是指所有能取到的值，還是指部分能取到的值？（指所有能取到的值）（3）因此，函數y=f（x）的定義域是一個還是四個？（是一個，即（0，7］）

對函數y=f（x）的值域的理解類似.

在作函數y=f（x）的圖像時，由于學生是第一次遇到，因此教師首先邊講解邊畫出其中的一段作為示范，然后指導學生畫出其余三段，最后展示、評價、總結，得出：“分段函數，分而治之；合中有分，分中有合.”

環節3：甄別函數圖像，體會函數表示法的“合理選擇”，領悟數形結合等思想.

本環節設置了三道練習.

練習1：（口答）下列圖形是不是函數圖像？為什么？

圖2

圖3

練習2：求函數f（x）=x2+2x-1，x∈［-2，1］的值域.

練習3：如圖3，設x軸代表地面，OA為直立在地面上的一根水管，若要求水從點A噴出，沿拋物線運行，在點B（1，3）處到達拋物線的最高點，最后落于地面上的點C（3，0）處，問：水管OA的高度該如何設計？

從課堂觀察來看，對于練習1，學生回答得較為順利，解決練習2則遇到了一些“障礙”：有學生回答說函數值只有3個，經教師追問“你是怎么想的”，獲知他對區間的意義沒有弄清楚，將x只取為定義域［-2，1］內的整數-2、-1、0、1去計算相應的y值；也有學生分別取x=-2、x=1代入解析式計算得y=-1、y=2，得出值域為［-1，2］，其理由是“最小的x對應最小的y，最大的x對應最大的y”，對此，教師沒有立即作出評價，而是“不動聲色”地將定義域改為［-2，0］，再讓該學生用同樣的方法求函數的值域，由于x=-2、x=0時均有y=-1，根據上述理由可得函數的最大值、最小值都是-1，因此函數的值域只能是｛-1｝（相應地，函數圖像只能是一條水平線段，而不可能是拋物線的一段），這時，該學生主動意識到自己想法的錯誤，進而轉化為結合函數圖像思考并解決問題，體現了圖形的優勢.對于練習3，學生能夠意識到圖形的不足，必須根據條件求出相應的函數解析式（將圖像法轉化為解析法），才能精確計算.在明確思路后，由于下課時間快到了，教師省略了具體的解題過程.

環節4：總結歸納，知識建構.

在這一環節，教師用事先寫的一首打油詩對本節課作了總結歸納：

函數表示有三招，定義域它地位高；

分段函數非奇葩，一國多制不分家；

函數圖像多又美，回歸定義辨真偽；

數形結合思想妙，取長補短真有效.

整節課，F教師將相當多的精力放在了對學生思維的暴露、想法的辨析、錯誤的糾正上，因而有些人認為，教學過程“不夠流暢”，甚至“沒有完成教學任務”.然而，在筆者看來，課堂是否流暢，教學任務有沒有完成，判斷依據或者說決定因素不是死板的教條，而是鮮活的學生，是學生對所學知識的理解與掌握程度，是學生數學思維能力的鍛煉與提升程度，不是教師教了多少，而是學生學了多少.當面對的學生基礎較為薄弱、學習能力不強，經常出現這樣或那樣或隱或現的思維誤區或認知障礙時，教師不應該把數學課堂穿上“皇帝的新衣”，而應該像“父母教幼兒學步”那樣，追求學生哪怕是一點一滴的進步與成長，這才是真正的數學教育.

1.普通高中課程標準實驗教科書（人教A版必修1）［M］.北京：人民教育出版社，2008.

2.曹才翰，章建躍.中學數學教學概論（第二版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2008.

3.曹才翰，章建躍.數學教育心理學（第二版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2007.

4.安振平.從學生已有知識經驗出發開始你的教學［J］.中學數學（上），2014（3）.

5.王淼生.領悟概念內涵 反思概念教學 構建魅力課堂［J］.中學數學（上），2013（12）.A