數學解題教學需要尋找根源

☉江蘇省通州高級中學 朱小莉

數學解題教學需要尋找根源

☉江蘇省通州高級中學 朱小莉

數學解題教學的高效和有效是教師教學最核心的教學內容.在新課程理念引入到教學之后，我們常常看到各種層出不窮的全新教學方式、方法，有很多教學模式圍繞學生進行了設計和嘗試，是非常值得我們學習和探索的，比如，以積極建構為主的數學新知類教學模式、以馬登變式理論構建的變式教學復習模式、以APOS理論進行的知識探索類教學模式等，都有較大的借鑒意義.隨著新課程理念的不斷深入，在高三復習解題教學中，我們對新課程如何更好更妙地實施教學高效性和有效性，在認識方面并不足夠.筆者常常出去觀摩高三解題教學公開課，發現相當一部分教師仍舊以傳統教學中效率最低下的大訓練模式在進行復習教學，如筆者近期觀摩的數形結合思想公開課：以形輔數兩個問題，以數解形兩個問題，一堂課就師生共同研究四個問題，并且四個問題之間沒什么聯系，隨意從教輔資料中找四個毫不相關的問題，最后是給出四個訓練問題.試問：這樣的教學模式從量來說的確不少，但是不相干的知識解答和無聯系的知識運用，乃至非常緊張的課堂只會給學生匆匆的感覺，這樣的方式比較低下.

因此，筆者認為解題教學的模式需要改一改才能適應新課程理念.因此，以題根為本的根本教學法成為解題教學高效和有效的根源.“根本”教學法就是以數學題根和學生為根本，開展數學教學，把時間還給學生，引導幫助學生去探究，為學生未來發展奠定基礎的一種教學方法.筆者以這一模式設計了一堂高三復習課，從教學設計的技術層面上看，突破了“復習知識、綜合應用”的常規模式，依托一道高考題，通過“尋根之旅—題由根生—并蒂連理—開枝散葉—枝繁葉茂—追根溯源”在探究與思考中提出問題，在合作與交流中解決問題.其課堂的形式是開放的，學生的思維可以自由馳騁，合作交流可以非常熱烈，在交流中師生可以不分彼此，是相互平等的.同時，師生的各自任務又非常明確：教師是課堂的組織者、引導者、合作者和促進者，而學生是問題的提出者、又是解決者.在這樣的課堂里，學生收獲的不單單是數學知識，更重要的是豐富了經驗、增長了智慧.下文是筆者以向量數量積與向量和及差之間的關系為載體來設計的向量教學題根復習課，與大家交流.

一、給出根源，層層遞進

美國心理學家布魯納指出：“思維起始于問題，教學活動是從提出問題開始，解決問題持續，最終繼續提出新問題的循環過程.”在本課設計中，筆者以教材中最基本的向量數量積與向量和及差之間的關系為根源，給出題根.

圖1

問題1：求證：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.

筆者給出B組課后習題作為學生思考問題題根所在.

問題2：在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則=_________.

這樣的情境創設能夠激發學生的興趣，參與到相應的學習活動之中.再以該問題的解決作為背景開展了“尋根之旅”，引導學生抓到題根，以便抓到這個相關的題族、題群、題系.學生由問題1“尋根之旅”提煉形成“向量數量積與向量和及差之間的關系式a·b=（高等數學中稱之為極化恒等式）”，通過后續問題的解決，理解、體會、運用“極化恒等式”，整個過程的安排上由淺入深、逐層遞進、拾級而上.在師生互動的過程中，新舊知識，通過理論與實踐之間的各種沖突與和諧、破壞與創造，實現學生知識的主動構建，并加強學生的思維能力，進而不斷突破現有的思維定勢，使其充滿創新、創造的欲望.選題看似平淡，卻內涵豐富，簡約而不簡單，深刻而不深奧，本節課筆者在選題上做了一番精心的準備，實在且實用.后續筆者自認為題目的安排雖然做到了很好的由淺入深，但稍顯平淡，如果順序講解做一定的調整應該可以給學生帶來更大的思維碰撞及更濃的學習興趣，進一步探索.

問題3：已知a·b=0，向量c滿足（c-a）·（c-b）=0，|ab|=5，|a-c|=3，則a·c的最大值為_________.

此題是近期模擬考試中考生剛經歷的一個“痛苦”之作，學生對此題一定記憶猶新，此時如果筆者要求學生再解決一下，相信絕大多數同學還不會處理該題或者已忘了當時筆者的講解，這充分證明學生還未掌握解決此類“難題”的方法，筆者以一句“那我們一起來開啟我們的探險之旅，找到解決此類問題的法寶吧”為開場白，筆者相信一定更能激發學生的學習欲望，喚起共鳴.

以這樣的問題提出驗證本節課的“尋根之旅”——求證：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.此證明很好地揭示了本節課的知識方法本質（即向量數量積與向量和及差之間的關系式），也找準了問題2、3的“根源”.問題2相對簡單，可以供學生“小試牛刀”，可以做到對新授知識的應用及后續知識的遷移.筆者認為此時很多同學已經迫不及待地想用此種方法去解決問題3，當發現順利解決后是何等的興奮！在這樣的背景下再由淺入深、逐層遞進地安排后面的一些問題，從處理三角形中的雷同題到略有變化的解析幾何問題.

讓學生訓練鞏固，體驗此類方法的價值，體會數學習題中的變式和遷移.所以，在新課程背景下，合理使用教材和資料，有效選擇實在且實用的例題和習題是高三復習的重中之重，而在課堂教學中合理安排例題習題的順序又是引領學生思維的關鍵環節.

二、學生為主，定位合理

新課程理念是要求教師教學以學生為主體，以學生自主建構和探索為學習的根本，在新知教學中，筆者認為這一實施是比較容易實現的.但對復習教學、解題教學而言，如何真正實施這一理念呢？學生對于問題的把握是不是脈絡清晰？對于知識點的考查方向是否如教師般透過現象直達本質？在復習解題教學大容量的課堂中能否做到高效、有效？筆者認為，找到問題的根源，以根源為主設計問題，將思維發展區都緊緊圍繞題根而設，這樣的設計定位對于解題教學而言比較高效，學生思考的方向比較明確，對于某些較難知識點的嘗試比較獨立，這里需要教師的合理引導和設計.

再比如，筆者在解決問題2：在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則=_________，有學生這么解答：假設△ABC是AB=AC的等腰三角形，則……學生的回答也許出乎了筆者的意料，但筆者沒有馬上開始自己的方法講解，只是說“這位同學回答的很好，在客觀題中特殊值法不失為一種好方法，那如果三角形不特殊又該如何解決呢？”巧妙地把問題再拋給學生，既做到對學生的肯定，又讓學生充滿興趣地進入到思索中，再在筆者的啟發下進入到本節課的軌道.

三、合適訓練，鞏固新知

向量問題一直是高考的熱點和難點，在鞏固了本內容所學的基本題根a·b=之后，筆者給出下列類似問題供學生訓練鞏固.

（1）如圖2，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C為弧上的動點，AB與OC交于點P，則O—→P·B—→P的最小值是_________.

圖2

圖3

（2）如圖3，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，E是△BCD內部任意一點，AE與BD交于點F，則的最小值是_________.

（3）平面向量a，b，e滿足|e|=1，a·e=1，b·e=2，|a-b|= 2，則a·b的最小值為_________.

四、積極研究，尋找題根

數學教師需要在不斷地研究教育教學規律、不斷地創新教學工作方法中保持青春.一位教師如果整天都陷入應付上課、批改、輔導、解題等常規事務的泥潭中，而不能進行有效地思考、總結和研究的話，那他的專業成長一定會走入高原，一般不會有太大的發展.一位教師如果失去了教學青春，變成了一名“教書匠”是可悲的，也是可怕的.

一方面筆者認為，解題教學要以文中所述弄清問題的根源，很多問題其實是同質不同樣，用合理的教學設計引領的題根式教學大大提高了解題教學的效率，也容易讓學生在這類問題中產生創新的想法和鞏固解題根源帶來的解題方向性.

另一方面筆者認為，教學必須以研究的方式進行解體教學的專題性指導，只有教師自身有著過硬的知識基本功，以高于平時解題思路與方法的解題去指導學生進行復習解題教學，將問題以根源為本、類似問題為輔的模式進行教學設計，才能體現解題教學的專業性和針對性.好的方法本身對于學生的學習就富有強烈的吸引力，在用一些奇妙的方法解決一類數學問題后，學生也會產生強烈的試試和模仿的沖動，讓學生充分享受探索、發現知識的樂趣了.從本節向量復習課而言，筆者并沒有按照高三復習教學的一般套路，而是以探索規律方法為線索，通過深入淺出、適度整合、橫挖縱拓地展開，使學生在數學知識層面、思想方法層面、學習策略層面都有頗多的收獲.從學案的設計上不只是知識點的呈現，不只是概念條目的填空和例題的組合，而是給學生一種引領的作用，讓閱讀者感到的是一條拾級而上的學習“脈絡”.

1.張繼紅.平面向量教學的新認知［J］.數學教學，2013（4）.

2.趙棟.數學習題設計與創造性思維培養［J］.中學數學月刊，2012（7）.

3.金鳳明.庖丁解牛與數學解題［J］.上海中學數學，2008（4）.F