走出“計算”誤區，體會真正的數學

楊茸

摘 要：高等數學中的部分定義與定理具有高度抽象性，并且有很強的邏輯關系，教師不易教，學生不易學，以至于在教學中出現了教師對其進行大量的刪減，讓學生陷入了不明原理，只會“計算”的錯誤現象中。本文針對這種現象，對教學過程中抽象的定義與定理知識講解的處理進行了研究，提出了具體的方法與建議，讓學生體會真正數學。

關鍵詞：高等數學 定義與定理 教學 數學素養 數學能力

在現今很多領域中，數學的身影無處不在，高等數學作為非數學專業的一門重要的專業基礎課，有著極其重要的作用與地位。而在高職教育中，因為生源大多是來自技校或高考落榜的學生，其數學基礎比較薄弱，但高等數學中部分定義與定理內容較抽象，不好理解，這對于授課的教師來講，是一個不好處理的難點，以至于在高等數學教學中，出現了“教師難教，學生難學”的現象。針對這一難點，很多數學教師在對這些抽象、不好理解內容的處理時，進行了刪減，把大量的抽象的理論知識一句話帶過，甚至直接刪除，而把教學的重心完全放在了高等數學的計算方法與計算技巧上，以直接教會學生數學的計算為目的。這樣一種教學方法承接了一些中學的“應試”教育，數學的潛在價值沒有真正體現出來，同時也違背了開設高等數學這門課程的初衷。

一、學習定義定理的重要性

1.教學大綱需要抽象的定義定理

高職高專的高等數學教學大綱，明確地說明了學習高等數學的目的：培養學生運用數學來分析、解決實際問題的能力，培養學生的空間想象力和抽象的邏輯思維能力，訓練他們用數學思想、概念、方法并結合自己的專業把所學理論和方法運用于實踐，為后續各課程的學習奠定較好的數學基礎，形成一定的數學思想。

從大綱可以看出，該課程除了使學生掌握必要的數學知識以外，更重要的是讓學生收獲能終生受益的數學素養和數學思維，從而提高應變能力與創新能力。由于很多數學思想都在這些抽象的定義與定理中有所體現，所以大量地刪減這些內容，只注重于學生的解題方法的教學，不能讓學生體會數學的真正價值，使學數學成了應付期末考試的一種途徑。并且，高等數學的學習一旦結束，學生也將會把這門知識拋到九霄云外，這樣完全沒有形成教學大綱里提到的應有的數學思想，也就更談不上應變能力與創新能力的提高了。所以要滿足大綱的要求，學習抽象的定義定理必不可少。

2.培養數學能力需要抽象的定義定理

雖然定義與定理知識較為抽象，但它對于學生數學意識的形成和數學能力的培養起著舉足輕重的作用。數學學習的最終目的無外乎是要把現實中的問題抽絲剝繭，轉化為數學問題，然后再用數學知識解決，也就是所謂的數學能力。關于抽象定義定理的學習，例如定理的證明，都有其具體的推理過程，對于這些推理過程的理解，可以讓學生體會數學的嚴謹性，進而形成思考問題時思維的縝密性，以利于在對現實問題進行分析時，能準確無誤地將其轉化為恰當的數學問題；而對于這些定義定理知識的掌握，在一定程度上又培養了學生的邏輯思維能力，這也是在分析問題時必不可少的一種思維能力。正如一位大學老師所說：“學數學其真正目的是為了驅逐大腦中愚蠢的想法，讓我們的大腦真正地聰明起來。”

3.實際生活需要抽象的定義定理

很多抽象的定義定理知識，它的出發點就是實際生活的典型例子，例如常見的某一個變速物體的速度，學生覺得求這個隨時都在變化的速度成了一個不容易解決的難點，但從高等數學的角度來看，就是求變化率，也就是抽象的導數定義學習的切入點。所以對抽象定義定理知識的學習，可以讓學生更加深刻地了解數學與生活的緊密聯系，從而提高學生的數學興趣，并讓學生對現實生活中的現象和過程進行合理的簡化和量化，建立數學模型的思想，培養學生的實際應用能力。

二、高等數學教學中定義定理知識的處理方法

不少數學教師反映，不是不想授課時強調這些定義與定理，只是因為它們太過抽象，講解的過程花費的時間長、精力多，但學生理解的效果還是不好，典型的“吃力不討好”。筆者多年擔任高級班高等數學的教學工作，對于這些抽象的定義定理的處理有一些個人的看法，總的歸納為以下四個關鍵詞：引—化—啟—控。

1.“引”——引數學史，豐富內容

高等數學中很多定義定理知識抽象，讓學習的人容易身陷迷津，而數學史卻如指引方向的“路標”，給人以啟迪。在課堂上教師適時適當地引用數學史的知識作為補充和指導，能有效地激發學生的學習興趣，活躍課堂氣氛，讓課堂內容豐富起來。

例如在學習解析幾何時，教師給學生介紹解析幾何之父笛卡爾，以及他的經典心形線的相關軼事，讓學生明白數學可以神奇地讓單調的式子變成美麗的圖形，并且體會到數學不是枯燥的，它也可以創造浪漫。這樣激發了學生的學習興趣，讓學生更好地理解了數學中的代數與幾何的緊密關系，為后續的解析幾何的學習奠定了基礎。數學史可以幫助學生了解知識的邏輯源頭，體會數學家的創造思想，這為緊接著數學概念及定理的學習提供了必要的準備。

另一方面，數學史里記錄了很多數學家為了得出正確的定義與定理，如何排除萬難、歷盡艱辛的。學生學習數學史，除了了解定義與定理得出的過程，還會為數學家不畏艱辛、執著追求真理的精神而感動，這將讓學生在精神層面上得到一次提升。

我們讓學生了解數學的歷史，能使那些看似抽象的定義、定理變得豐富生動起來。

2.“化”——化繁為簡，重視直觀

對于抽象、繁瑣的定義定理知識，為了能讓學生易于接受，教師只有把知識直觀化、簡單化。

如在講解微分這一概念時，可以從其字面意思上下工夫，舉例地球本是一個球體，其表面應該是曲面的，可為什么我們站在地球上看到的大多卻是平面呢？答案是人肉眼看到的范圍同地球的表面相比，簡直是微不足道，也就是微分概念中的以直代曲的思想：曲面上微小的局部可以認為是一平面，一條曲線微小的部分也可以認為是直線。這樣就給學生提供了一個可以具體的想象的空間，使他們懂得用無數個簡單的平面代替復雜的曲面，利用微分這一數學概念解釋生活中的現象，加深了學生對這一概念的理解。又如對數列、函數極限概念的處理，教師可改變教材中的定義方式，注重直觀，采用通過畫數列或函數的幾何圖形，利用圖形直觀性的特點來解釋定義，從圖形中得到極限定義的本質，讓學生對極限定義有了更準確的認識。

此外，我們通過多觀察實際生活中與數學有聯系的例子，把數學概念盡量與周圍實事聯系起來，讓學生能感覺數學與生活的密切聯系，也便于理解。比如在講解定積分定義時，介紹美國著名麻省理工學院的圓形大禮堂，從外形看它的屋頂是一個巨大的不規則的半球，但實際上仔細看是由一個個近似矩形（曲邊梯形）的小玻璃窗構成的，這個看似不容易求的表面面積，實際上就是定積分的基本概念——求曲線下面積的辦法，即“分割、近似代替、求和、取極限”，同時也巧妙地表明了數學知識的應用無處不在。這樣使學生對抽象的定積分的定義，即求曲線下面積的方法加深了理解。

3.“啟”——啟發引導，自主討論

對于很多知識的掌握，學生自主探索要比教師一味灌輸要來得好。在教學時，教師選擇適當的教學內容來安排討論課，通過合理有針對性的引導，啟發學生分組討論，讓學生各抒己見，培養學生的創新思維和創新意識。

例如，微分中值定理的內容抽象、內容理論性強，對初學的學生是一個不容易處理的難點，如果單憑教師的講授，教學效果一定不好，這時可以選取一些難度適當的典型習題，把學生分成幾個小組，通過教師的適當引導，讓學生按組自由討論。在思考討論過后，學生對微分中值定理中的構造輔助函數的方法有了深刻的印象，以此加深了對這一抽象定理的理解。同時，學生的數學語言的表達能力也得到了提高，主動參與課堂的意識和創新的意識也得到了增強。

又如，在學習洛必達法則時，很多學生都知道這個法則的作用是求無窮大比無窮大或無窮小比無窮小的極限，卻并不理解它為什么會與導數有關，是利用分別求導來解題的，但如果引導學生從無窮大增長的趨勢來進行分析，同時得到導數的定義其實就是與增長趨勢密切相關，問題就可以解決了，這就是洛必達法則的本質所在。

采用教師啟發引導和學生自主討論相結合的教學方法，可以讓學生在討論探索中發現問題并解決問題，體會到發現的快樂，激發了學生學習的興趣，也增加了學生克服困難的信心。

4.“控”——掌控有度，注重嚴謹

數學課不同于其他課程，其嚴謹性非常強，教師在支持學生發揮自己的想象力的同時，要注重掌控好想象的“度”。一些教師為了讓課堂更加活躍與生動，讓學生漫無邊際地發揮自己的想象力，對一些理論知識的理解學生想怎樣解釋就怎樣解釋，這樣的結果必定是歪曲了知識的本意。所以在課堂上，對于學生的思考學習，首先教師要有正確的引導方向，并且要適時糾正一些學生錯誤的偏離事實軌跡的想法。

比如學生在學習極限時，對于其中的一個零比零的極限類型，學生誤認為高等數學里的分式的分母是可以等于零的，這時應強調此時出現的零是在某一條件下一個趨于接近的結果，并非真正等于零，強調出極限的定義，突出語言表達上的嚴謹性。

三、小結

大量的實踐證明，在數學教學中教師的作用是十分重要的，我們不能為了追求教學上的所謂教學效果而忽視了數學教育的本來意義。數學的影響不是一蹴而就的，而是潛移默化的；數學的精神、思想和方法是數學教育的根本目的。在高等數學的教學過程中，真正理解教學大綱的具體要求和目的，注重各方面的理論知識的教學，把學生從做題、解題的“題海”中解放出來，讓數學的精神、思想和方法成為他們關注的對象，并且能努力提高自身的數學素養，養成勤于思考的習慣，增強自身的數學應用能力，真正體會到數學的實際價值，為今后的可持續發展奠定堅實的基礎，這才是我們每一個數學教育工作者應該做的事。

參考文獻：

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[2]尚仲平，高等數學教學中的學生數學素養培養的幾點思考[J].佳木斯教育學院學報，2010（1）.

[3]孫宏安，“數學素質”界定我見[J].數學教育學報，1996（4）.

（作者單位：廣東省江門市技師學院）