用構造法巧解初中代數題

廖建光

由于初中代數是學生第一次接觸的知識內容，對學生的思維轉變要求比較高，不少學生在這個學習過程中遇到困難.原因之一就是學生沒有掌握合適的學習方法和解題技巧.而構造法是根據解題的需要，構造出題目所沒有提及的代數式、方程、不等式、函數，等等，將已知條件和所求問題聯系起來，達到解題目的的一種創造性數學方法.它能起到發散學生思維作用，提高學生的創造性思維.筆者結合例題，談談構造法在初中代數題中的應用.

一、構造輔助函數法

對于一些復雜的基本函數，學生無法很好地厘清結構，導致無從下手解題.教師可以用構造輔助函數法，來幫助學生解題.構造輔助函數法是根據題意和結論，重新構造出一個新的函數解析式，轉而利用函數的一些性質來解題.

例題1：已知x，y，z∈（0，1），求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

這題用構造輔助函數法，構造出f（x）=（1-y-z）x+y（1-z）+z，x∈（0，1）則有f（0）=y（1-z）+z=（y-1）（1-z）<1，f（1）=1-y-z+y（1-z）+z=1-yz<1，所以當時0

上題中，直接證明會比較困難，學生也不容易理解.用構造法就能利用函數的性質巧妙解題，增加學生對函數的深刻認識.

二、構造輔助代數式

對于一些從正面思考比較困難的題目，可以考慮構造一個聯系已知條件和結論的代數式，用反證法證明出假設錯誤或者矛盾，從而達到解題的目的.

例題2：求證：在[0，1]內的有理數為無窮個.

此題適合用反證法和構造法結合，可假設在[0，1]內的有理數個數為n個，a1，a2，…，an.因為任意兩個有理數的乘積都是有理數，于是可以構造出一個新的有理數p=a1，a2，…，an，又因為a1，a2，…，an∈[0，1]，所以p∈[0，1]，這說明在[0，1]內的有理數個數為n+1個，與假設矛盾，所以在[0，1]內的有理數為無窮個.

這題體現了學生構造的思維和逆向思維的結合，對學生有一定的啟發作用，教師可以在課堂上多引導學生思考這類問題，以達到提高學生發散思維的作用.

三、構造輔助方程法

有些初中數學題是和方程緊密結合的，需要用到解方程的思想，這時教師就應該引導學生通過分析問題，構造出輔助方程或者方程組，然后結合方程的求解或者方程解的性質來解決問題.

例題3：已知3x+7y+z=34x+10y+z=4，求x+y+z的取值.

通過觀察可以發現，這題有三個未知數，但只有兩個方程，用一般的解方程是求解不出結果的.但結合問題和已知條件的結構特點，可以將x+y+z當成是一個整體、一個未知數，并通過構造法將原方程組變成一個“二元一次方程組”，即原方程組變成x+y+z+2（x+3y）=3x+y+z+3（x+3y）=4，便可用一般的方法求解得出x+y+z的值.

四、構造輔助不等式法

如果從題意中我們可以明顯看出有不等關系，就可以考慮用構造輔助不等式法來解.將題目中的數量關系用不等式或不等組來表達，使問題得到解決.

例題4：某企業生產一種工具，其固定成本為30000元，而單個工具的成為是4元，出廠價為6元，繳稅額為銷售總額的，如果要使固定成本小于利潤，那么企業至少要生產銷售多少個工具？

題目中出現關鍵字眼“小于”、“至少”，提示我們這是數量之間的不等關系，要構造出相應的不等式來求解.這里可以設問題為x，即企業至少要生產銷售x個工具，則由題意構造出不等式：6x-（4x+6x×10%）>30000，解不等式即可求出答案.

這類題關鍵是要學生抓住題目中的關鍵字眼，挖掘數量之間的不等關系.教師在講解過程中，應該多用變式來提高學生對關鍵字眼的敏感度.

使用構造法就是學生的創造性思想的具體表現，其一方面提高了學生的靈活性和創新型，另一方面又將不同的數學思維和知識結合起來了，能幫助學生走出固化的思維困境，開拓學生的智力和探索能力.

責任編輯 羅 峰