用構(gòu)造法巧解初中代數(shù)題

廖建光

由于初中代數(shù)是學(xué)生第一次接觸的知識內(nèi)容，對學(xué)生的思維轉(zhuǎn)變要求比較高，不少學(xué)生在這個學(xué)習(xí)過程中遇到困難.原因之一就是學(xué)生沒有掌握合適的學(xué)習(xí)方法和解題技巧.而構(gòu)造法是根據(jù)解題的需要，構(gòu)造出題目所沒有提及的代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)，等等，將已知條件和所求問題聯(lián)系起來，達(dá)到解題目的的一種創(chuàng)造性數(shù)學(xué)方法.它能起到發(fā)散學(xué)生思維作用，提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維.筆者結(jié)合例題，談?wù)剺?gòu)造法在初中代數(shù)題中的應(yīng)用.

一、構(gòu)造輔助函數(shù)法

對于一些復(fù)雜的基本函數(shù)，學(xué)生無法很好地厘清結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致無從下手解題.教師可以用構(gòu)造輔助函數(shù)法，來幫助學(xué)生解題.構(gòu)造輔助函數(shù)法是根據(jù)題意和結(jié)論，重新構(gòu)造出一個新的函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)而利用函數(shù)的一些性質(zhì)來解題.

例題1：已知x，y，z∈（0，1），求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

這題用構(gòu)造輔助函數(shù)法，構(gòu)造出f（x）=（1-y-z）x+y（1-z）+z，x∈（0，1）則有f（0）=y（1-z）+z=（y-1）（1-z）<1，f（1）=1-y-z+y（1-z）+z=1-yz<1，所以當(dāng)時0

上題中，直接證明會比較困難，學(xué)生也不容易理解.用構(gòu)造法就能利用函數(shù)的性質(zhì)巧妙解題，增加學(xué)生對函數(shù)的深刻認(rèn)識.

二、構(gòu)造輔助代數(shù)式

對于一些從正面思考比較困難的題目，可以考慮構(gòu)造一個聯(lián)系已知條件和結(jié)論的代數(shù)式，用反證法證明出假設(shè)錯誤或者矛盾，從而達(dá)到解題的目的.

例題2：求證：在[0，1]內(nèi)的有理數(shù)為無窮個.

此題適合用反證法和構(gòu)造法結(jié)合，可假設(shè)在[0，1]內(nèi)的有理數(shù)個數(shù)為n個，a1，a2，…，an.因為任意兩個有理數(shù)的乘積都是有理數(shù)，于是可以構(gòu)造出一個新的有理數(shù)p=a1，a2，…，an，又因為a1，a2，…，an∈[0，1]，所以p∈[0，1]，這說明在[0，1]內(nèi)的有理數(shù)個數(shù)為n+1個，與假設(shè)矛盾，所以在[0，1]內(nèi)的有理數(shù)為無窮個.

這題體現(xiàn)了學(xué)生構(gòu)造的思維和逆向思維的結(jié)合，對學(xué)生有一定的啟發(fā)作用，教師可以在課堂上多引導(dǎo)學(xué)生思考這類問題，以達(dá)到提高學(xué)生發(fā)散思維的作用.

三、構(gòu)造輔助方程法

有些初中數(shù)學(xué)題是和方程緊密結(jié)合的，需要用到解方程的思想，這時教師就應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過分析問題，構(gòu)造出輔助方程或者方程組，然后結(jié)合方程的求解或者方程解的性質(zhì)來解決問題.

例題3：已知3x+7y+z=34x+10y+z=4，求x+y+z的取值.

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，這題有三個未知數(shù)，但只有兩個方程，用一般的解方程是求解不出結(jié)果的.但結(jié)合問題和已知條件的結(jié)構(gòu)特點，可以將x+y+z當(dāng)成是一個整體、一個未知數(shù)，并通過構(gòu)造法將原方程組變成一個“二元一次方程組”，即原方程組變成x+y+z+2（x+3y）=3x+y+z+3（x+3y）=4，便可用一般的方法求解得出x+y+z的值.

四、構(gòu)造輔助不等式法

如果從題意中我們可以明顯看出有不等關(guān)系，就可以考慮用構(gòu)造輔助不等式法來解.將題目中的數(shù)量關(guān)系用不等式或不等組來表達(dá)，使問題得到解決.

例題4：某企業(yè)生產(chǎn)一種工具，其固定成本為30000元，而單個工具的成為是4元，出廠價為6元，繳稅額為銷售總額的，如果要使固定成本小于利潤，那么企業(yè)至少要生產(chǎn)銷售多少個工具？

題目中出現(xiàn)關(guān)鍵字眼“小于”、“至少”，提示我們這是數(shù)量之間的不等關(guān)系，要構(gòu)造出相應(yīng)的不等式來求解.這里可以設(shè)問題為x，即企業(yè)至少要生產(chǎn)銷售x個工具，則由題意構(gòu)造出不等式：6x-（4x+6x×10%）>30000，解不等式即可求出答案.

這類題關(guān)鍵是要學(xué)生抓住題目中的關(guān)鍵字眼，挖掘數(shù)量之間的不等關(guān)系.教師在講解過程中，應(yīng)該多用變式來提高學(xué)生對關(guān)鍵字眼的敏感度.

使用構(gòu)造法就是學(xué)生的創(chuàng)造性思想的具體表現(xiàn)，其一方面提高了學(xué)生的靈活性和創(chuàng)新型，另一方面又將不同的數(shù)學(xué)思維和知識結(jié)合起來了，能幫助學(xué)生走出固化的思維困境，開拓學(xué)生的智力和探索能力.

責(zé)任編輯 羅 峰