例談處理平面向量問題的常用技巧

洪曉林

現(xiàn)通過歸類舉例的方式，具體說明處理有關(guān)平面向量問題常用的解題技巧，旨在拓寬解題思維，進(jìn)一步提高分析、解決此類問題的實(shí)際能力。

技巧一：活用相關(guān)向量結(jié)論

結(jié)論：若A、B、C三點(diǎn)在直線l上，點(diǎn)P不在直線l上，則存在λ∈R，使得PC=λPA+（1-λ）PB。注意：這里向量PA、PB前的系數(shù)之和等于1。

特殊情形1：若點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，則。

特殊情形2：若點(diǎn)C在線段AB上，AC=m，CB。

例1在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若，其中。

解析：連接EF，設(shè)。

易知。

結(jié)合圖形，由結(jié)論1知：存在t∈R，使得，則。

由，得

由和，得，則。

技巧二：建“系”處理

處理涉及平面圖形的向量問題時，若能靈活建立平面直角坐標(biāo)系，則可借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算巧解題，這也體現(xiàn)了向量的代數(shù)化手段的重要性，值得我們回味、深思。

例2 如圖1，在矩形ABCD中，AB=√2，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若，則AE.BF的值是________。

解析：如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系xAy。

易知點(diǎn)A （0，0）、B（√2，O）、E（√2，1）。設(shè)點(diǎn)F（x，2）。

由，得，則點(diǎn)F（l，2）。

技巧三：構(gòu)造“基底”處理

求解有關(guān)平面向量問題時，若能靈活地選取一組基底，則往往有利于問題的簡捷獲解。

例3已知向量AB與AC的夾角為120°，且，則實(shí)數(shù)λ的值為______。

由，得，即（），解得

技巧四：按“圖”處理

處理有關(guān)平面向量問題時，若能靈活利用平面向量加、減法法則的幾何意義加以分析，則往往有利于問題的順利獲解。

例4已知a、b是單位向量，a.b=0，若向量c滿足，則的取值范圍是（）。

A.

B.

C.

D.