試論電壓與電流變化量之比的意義

周寅

【摘要】通過實例詳細講解線性電路中，電壓與電流變化量之比的意義，并把這種意義延伸到解決理想氣體方程的相關問題中。

【關鍵詞】高中物理 電壓電流 變化量之比

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）08B-0071-02

高中物理中有關電壓與電流的變化關系是一個比較重要的內容，其中電壓與電流的變化量的比，所體現出來的物理意義反映了電子元器件的本質屬性。尤其是線性元件的特性，更是高中必須了解和掌握，并學會用來解決實際的電路問題。在此就線性元件的問題進行研究，供同行參考。

一、關于線性元件

首次接觸線性元件的概念，是在對電阻性質的學習中。由歐姆定律可知，對一定值的電阻，通過它的電流與加在它兩端的電壓成正比，即。根據此式作出的U—I圖象為一條過原點的直線，該直線的斜率就是該電阻的阻值。我們稱所有滿足輸入量與輸出量之比為定值的元件為線性元件。由圖象關系還可得，此時加在電阻兩端的電壓與通過其電流的變化量之比在數值上等于該電阻的阻值。雖然阻值是狀態量的比值，但符合了線性元件特征，這個比值是有明確的物理意義的。對于非線性元件而言，電壓和電流變化量之比在歐姆定律范疇中就是無意義的。正因為線性元件有這樣的一種特性，所以我們可以利用它的這個特性來解決實際的電路問題。

比如，在電容器的章節里，由電容定義式知，如果知道電容器帶電量的變化和加在兩端的電壓變化，也可以求出電容值，即。

二、閉合回路中的路端電壓與干路電流

在閉合回路中，設電源內阻r為一個定值。由公式U路=E-I r 得，此時斜率（如圖所示），即電源的內阻。從另一個角度來看， Ur=E-U路，作出的 Ur 與I 的圖象是過原點的一條直線。則由圖象得，通過求導得所表達的就是同一個意思。我們據上推導關系可認為：只有在 r 是一個定值的條件下才有意義。

〖例1〗在如圖所示的動態電路中，改變滑動變阻器的阻值，判斷和的變化。

〖解析〗因為R1的阻值是一個變量，屬于非線性原件。所以從R1的角度討論便沒有了意義，不過我們可以將U1當作是路端電壓。這樣一來，電源的等效內阻就變成了r與R2之和。因為等效內阻是定值，從路端電壓的角度來判斷就是有意義的，比值為r+R2。而的判斷正好與之相反：因為R2是定值，所以從R2的角度判斷才有意義。所以的比值也是定值，大小為 R2。

三、動態電阻的作用

高中物理課本中，有關于“描繪小燈泡的伏安特性圖線”的電學實驗，數據描點連線后如圖所示。由圖象可知，小燈泡是一非線性元件。因為我們之前對電阻的定義為狀態量的比值，圖線上任一點到原點的連線（割線）的斜率的倒數為該狀態下的電阻值，即，所以該實驗得出的結論是：小燈泡的電阻隨加在兩端的電壓的增大而增大。圖中作出P點切線的斜率，對于非線性元件是無意義的，旨在考察學生對電阻定義式的理解程度。

對于高中階段的物理學習，以上解釋足矣。但所謂“無意義”的說法向來都不是絕對的，只是我們的知識面不夠寬，研究問題程度不深，見識的題型單一而已。通過查資料，筆者發現，將某元件兩端的電壓與通過導體的電流的比值，表示元件對電流的阻礙作用，在物理學中被稱為該元件某狀態下（工作點）的靜態電阻。與之相對的還有動態電阻的定義，用來表征兩端的電壓隨電流變化的快慢或趨勢，即圖線上工作點的切線的斜率。靜態電阻和動態電阻在電路分析的時候各有用途，并產生了一個重要的分析方法：“小信號分析法。”小信號分析法是分析非線性電阻電路的一種極為重要的方法。

四、教學反思

為什么學生會對圖象題中割線和切線的斜率意義分辨不清，是源于高中階段我們遇到的第一個圖象問題的解決不夠完善，存在著隱患。

在勻速直線運動中，由公式x=vt ，如圖中甲所示，可作出一條過原點的直線，而圖線的斜率對應的就是速度的大小。若物體做變速直線運動，如圖中乙所示，為一條上升的曲線，由曲線上每一點切線斜率的變化可知，物體在做加速直線運動。此圖與小燈泡的伏安特性圖線相似，所以學生根據U=RI 與 x=vt的公式參照，想當然地套用曲線上某點切線斜率來表示電阻的阻值。

仔細比較下來，兩個公式的物理量間存在著很大的差異。在公式 U=RI中，U和I都是狀態量。而在 x=vt中，x對應的是過程量位移而非位置，t對應的是時間段而非時刻，位置與時刻的比值是無意義的。所以在非勻速直線運動中，位移非均勻變化的曲線上某點的切線含義是：在該時刻周圍極短的時間內的位移與時間的比值，表示該時刻的瞬時速度，即 。因為在高中階段，學生接觸的圖象中，大多數都是過程量的關系式所畫出的圖線，所以學生對切線的斜率使用頻率高，習慣上先入為主，缺乏理性的思考辨析。再者，學生遇到的狀態量的比值，例如在“探究加速度與質量、合外力的關系”實驗中，加速度a與合外力F就是狀態量，但因為所作出的是一條過原點的直線，被的數值關系給掩蓋住了，學生如果不認真思考，用變化量的比值去做是發現不了問題的。在理想實驗中，隨著重物質量的增加，小車的質量在不滿足遠大于重物時，a—F圖象就會出現偏離理論直線下彎的現象，這個由測量誤差導致的且并非因為小車的質量發生了變化而產生的曲線顯然是不能用斜率的意義去解釋的。

五、拓展與延伸

在高中物理課本中涉及到的變化量的比值有：位移/時間的比值=速度，速度變化量/時間=加速度，動能變化量/距離=合外力，機械能變化量/距離=除重力外其他力的合力，電勢差/距離=場強等；涉及到狀態量的比值有：電壓/電流=電阻，理想氣體狀態方程等。

同理，這種特征在理想氣體狀態方程中也可以運用。

〖例3〗如圖所示，一導熱良好的封閉試管豎直放置，A和B兩部分氣體被水銀柱隔開。已知初始溫度相同，現將兩部分氣體升高相同的溫度，試判斷水銀柱的位置變化。

〖解析〗由理想氣體的狀態方程可知 ，其中C由氣體的質量決定。假設升高溫度后，水銀柱不動，則V也不變。為一定值，所以。由變形式，可知，在 T 和△T 相同的情況下，PA教師在教學過程中應對此問題，在理解物理意義的基礎上，在初期就作好與公式所對應的圖象意義的正確解釋和辨析。在比較中，讓學生初步了解到圖線上的點到原點連線的斜率表示的是狀態量的比值，圖線上某點切線的斜率表示的是變化量的比值。接下來，理解更深層次的圖象意義，就是要弄明白一些書本上沒有直接給出的物理量比值的含義。而這個則要求學生具備對物理數學公式的轉換變形能力和數學上基本函數圖象對比聯系能力。具體步驟如下：

（1）能寫出橫縱坐標涉及到的物理量之間的關系式；

（2）將橫縱坐標涉及到的物理量通過公式變形分化在公式等號的左右兩側；

（3）知曉基本數學函數圖線的公式和畫法，例如，一次函數圖線、拋物線等；

（4）將變形后的物理公式與數學公式相對應，找出圖象的意義，例如，斜率的意義、圖線上升還是下降、開口向上還是向下等。

教學上的循序漸進，學生理解能力的提升，都依賴一個良好的根基。對剛開始接觸的物理概念，看似簡單，卻正是因為它的普遍性，使其在以結果為評價標準的教學模式中將學生的錯誤理解給掩蓋了，使許多問題無法暴露。這就需要教師預見性地設計課堂和提問來盡可能地揭示問題；鼓勵學生發言和討論，多聽學生的想法然后去發現新的問題；具備扎實的基本功和清晰的表達能力，及時處理和解決學生的問題等。往往這些在應試模式中被忽略的，或被表面解決的知識點，才是高考中所要考查的關于學生是真懂還是假懂的問題，是見識面的寬泛還是思維度的提升等問題。而人才的培養更是馬虎不得，十年樹木，百年樹人，對于學生來說，也只有根基扎實，才能正確地應對各種問題，在科學的道路上走得更久更遠。

（責編 盧建龍）